Energia potenziale elastica

Dopo aver ricavato la formula per l'energia potenziale gravitazionale, passiamo a studiare l'energia potenziale elastica.

 

Un piccolo riepilogo delle puntate precedenti, per chi si fosse collegato solo ora. :) Abbiamo visto che per ogni forza conservativa è possibile definire un'energia potenziale e abbiamo anche detto che (per il momento) conosciamo due tipi di forze conservative: la forza peso e la forza elastica (individuata dalla legge di Hooke).

 

Qui vediamo la formula per l'energia potenziale elastica e mostriamo come applicare la definizione generale di energia potenziale nel caso particolare della forza elastica, in modo da poterne ricavare una formula pronta all'uso nelle applicazioni e nella risoluzione degli esercizi.

 

Formula per l'energia potenziale elastica

 

Per cominciare vi proponiamo subito la formula dell'energia potenziale elastica, che è definita da

 

 U = \frac{1}{2} kx^{2}

 

dove k indica la costante elastica della molla mentre x è l'elongazione della molla.

 

Riguardo alle formule inverse:

 

\\ k=\frac{2U}{x^2}\\ \\ \\ x=\sqrt{\frac{2U}{k}}

 

Trattandosi di un particolare tipo di energia, l'energia potenziale elastica si misura in joule (J).

 

Proprietà dell'energia potenziale elastica

 

Dalla formula scritta in precedenza si vede subito che l'energia potenziale elastica è direttamente proporzionale alla costante elastica k (considerando l'elongazione fissata), e che è direttamente proporzionale al quadrato dell'elongazione x della molla. Equivalentemente, possiamo affermare che l'energia potenziale elastica è in proporzionalità quadratica con l'elongazione della molla.

 

Onde evitare qualsiasi tipo di dubbio o di fraintendimento, ricordiamo che con x indichiamo la compressione-allungamento della molla rispetto alla sua posizione di riposo.

 

In altri termini, se prendiamo una molla con una certa costante elastica e l'allunghiamo di una quantità x, otteniamo un certo valore di energia potenziale elastica; se allunghiamo la stessa molla di una quantità doppia (2x), allora l'energia quadruplica; se l'allungamento è pari a 3x, l'energia diventa nove volte più grande.

 

Al contrario, se la molla si trova nella sua posizione di riposo (dunque non è né compressa né allungata), l'elongazione x è nulla e di conseguenza anche l'energia potenziale elastica è nulla.

 

Dalla formula possiamo dedurre un'ulteriore proprietà: dato che l'elongazione x della molla compare al quadrato, ne consegue che l'energia potenziale elastica può essere solo positiva o nulla. L'energia potenziale elastica non può essere negativa. A titolo di esempio, se allunghiamo la molla di 5 cm oppure se la comprimiamo di 5 cm rispetto alla posizione di riposo, otteniamo lo stesso identico valore di energia potenziale in entrambi i casi.

 

Esempio di calcolo dell'energia potenziale elastica

 

Vediamo un piccolo esempio sull'energia potenziale elastica. Una molla di costante elastica pari a 300 N/m ha una lunghezza di 25 cm quando è a riposo. Viene poi compressa fino a che la sua lunghezza diventa di 18 cm. Calcoliamone l'energia potenziale.

 

Innanzitutto dobbiamo calcolare l'elongazione x, che è data dalla differenza tra la lunghezza a riposo L0 e quella della molla compressa L. Non dimentichiamoci di convertire tutto in metri!

 

x=L_0-L=0,25\mbox{ m}-0,18\mbox{ m}=0,07\mbox{ m}

 

Ora calcoliamo l'energia potenziale elastica:

 

U=\frac{1}{2}kx^2=\frac{1}{2}\cdot\left(300\ \frac{\mbox{N}}{\mbox{m}}\right)\cdot(0,07\mbox{ m})^2=0,74\mbox{ J}

 

Significato fisico dell'energia potenziale elastica

 

Anche nel caso delle molle, l'energia potenziale rappresenta una forma di energia immagazzinata e pronta a liberarsi e a trasformarsi in altre forme di energia. Quando comprimiamo o allunghiamo la molla, compiamo lavoro su di essa spendendo energia. L'energia spesa nella compressione o nell'allungamento viene immagazzinata dalla molla e, non appena questa viene lasciata libera di muoversi, torna nella sua posizione di riposo. Nel far questo, trasforma la sua energia potenziale in energia cinetica ed è capace eventualmente di compiere lavoro spostando un corpo appoggiato su di essa.

 

Dimostrazione per la formula dell'energia potenziale elastica

 

La dimostrazione per la formula dell'energia potenziale elastica prevede l'utilizzo degli integrali (≥V superiore), dunque chi non li ha ancora affrontati può saltare direttamente alla parte successiva ai calcoli.

 

Recuperiamo di nuovo la definizione di energia potenziale:

 

U_f-U_i=-\int_{x_i}^{x_f}F(x)dx

 

e quella della forza elastica:

 

\vec{F}_e=-k\vec{x}

 

Ricordiamo che il meno è dovuto al fatto che la forza elastica ha sempre verso opposto rispetto al vettore elongazione x (ed è per questo che si chiama forza di richiamo).

 

Indipendentemente dal sistema di riferimento scelto, la forza si sviluppa in una direzione per cui possiamo riscrivere l'equazione della forza nella forma

 

F_e=-kx

 

Ora sostituiamo al posto di F(x) la formula della forza elastica:

 

U_f-U_i=-\int_{x_i}^{x_f}(-kx)dx

 

Portiamo fuori dal segno di integrale la costante k ed il segno meno, in accordo con le proprietà degli integrali, e procediamo con i calcoli:

 

U_f-U_i=k\int_{x_i}^{x_f}xdx=k\left[\frac{x^2}{2}\right]_{x_i}^{x_f}=\frac{1}{2}kx_{f}^2-\frac{1}{2}kx_i^2

 

ed ecco che, considerando come posizione iniziale la posizione di riposo (x_i=L_0-L_0=0), l'energia potenziale elastica per una qualsiasi x si presenta nella forma:

 

U=\frac{1}{2}kx^2

 

che avevamo scritto all'inizio.

 

 


 

Ora che abbiamo completato il quadro relativo all'energia potenziale possiamo passare a parlare dell'energia meccanica, un tipo di energia che coinvolgerà anche l'energia cinetica e che sarà protagonista della lezione successiva. Nel mentre, se volete consultare degli esercizi svolti sull'energia potenziale elastica e usarli per fare pratica, potete usare la barra di ricerca interna: qui su YM ci sono tantissimi esercizi risolti e spiegati nel dettaglio.

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Alessandro Catania (Alex)

 

Lezione precedente..........Lezione successiva


Tags: definizione e formula dell'energia potenziale elastica in fisica, con dimostrazione.