Energia potenziale gravitazionale

Dopo aver introdotto la nozione di energia potenziale e averne fornito la definizione generale, passiamo a studiarla nel caso di modelli fisici particolari e più precisamente caratterizzarla nel caso delle forze che abbiamo già affrontato. Il primo caso che prendiamo in esame è quello dell'energia potenziale gravitazionale, che è legata alla forza peso.

 

Formula per l'energia potenziale gravitazionale 

 

Abbiamo visto che ad ogni forza conservativa è possibile associare un particolare tipo di energia, l'energia potenziale, la quale viene definita mediante una formulazione generale. Mediante calcoli piuttosto semplici è possibile partire da tale definizione e ottenere un formulazione specifica per ciascuna delle conservative che si studiano in Fisica. Vogliamo qui trovare la particolare formula dell'energia potenziale gravitazionale, cioè associata alla forza peso.

 

Patiamo subito dalla formula, tra poco avremo cura di mostrare come si ricava

 

 U = mgh

 

dove m indica la massa del corpo, g è l'accelerazione di gravità ed h l'altezza cui è situato il corpo rispetto ad un determinato livello, che viene considerato pari a zero nel sistema di riferimento scelto.

 

Naturalmente l'unità di misura dell'energia potenziale gravitazionale è la stessa dell'energia, vale a dire il joule (simbolo J).

 

Le formule inverse dell'energia potenziale gravitazionale sono le seguenti:

 

\\ m = \frac{U}{gh}\\ \\ \\ h = \frac{U}{mg}

 

Come vedete, l'energia potenziale gravitazionale è direttamente proporzionale sia alla massa m del corpo soggetto alla forza peso, sia all'accelerazione di gravità, come pure all'altezza h rispetto ad un livello scelto pari a zero.

 

Esempio di calcolo dell'energia potenziale gravitazionale

 

Ad esempio, se vogliamo sapere qual è l'energia potenziale di un libro di 0,35 kg posto sulla libreria ad un'altezza di 1,8 m dal pavimento di casa, ci basta sostituire i dati nella formula dell'energia:

 

U=(0,35\mbox{ kg}) \cdot \left(9,81\ \frac{\mbox{m}}{\mbox{s}^2}\right) \cdot (1,8\mbox{ m})=6,18\mbox{ J}

 

Dipendenza dell'energia potenziale dal sistema di riferimento

 

Come vedete, per il calcolo dell'altezza bisogna specificare il livello zero (il pavimento, nel nostro esempio) a partire dal quale iniziamo a misurare l'altezza h; il valore dell'energia potenziale cambia quindi a seconda del sistema di riferimento scelto.

 

Ciò che invece non cambia è la differenza di energia potenziale. Riprendiamo l'esempio precedente e spostiamo il libro su un ripiano più basso della libreria, ad un'altezza dal pavimento uguale a 1,3 m, otteniamo come differenza di energia potenziale:

 

\\ U_f-U_i=mgh_f-mgh_i=mg(h_f-h_i)=\\ \\ \\ =(0,35\mbox{ kg}) \cdot \left(9,81\ \frac{\mbox{m}}{\mbox{s}^2}\right)\cdot \left(1,3\mbox{ m}-1,8\mbox{ m}\right)=-1,72\mbox{ J}

 

Se invece scegliessimo come livello zero quello della strada che si trova 10 m più in basso rispetto al pavimento di casa, i valori delle altezze iniziale e finale cambierebbero (rispettivamente 11,8 m e 11,3 m) ma la loro differenza rimarebbe comunque uguale a 0,5 m, dunque il conto della differenza di energia potenziale rimarrebbe esattamente lo stesso.

 

Se starete pensando che un esempio non costituisce una dimostrazione, avete assolutamente ragione! :) Ma l'idea di fondo è che nel calcolo della variazione di energia potenziale gravitazionale si viene a perdere la dipendenza dal sistema di riferimento. Infatti se chiamiamo y_0 il livello zero e y_i,\ y_f rispettivamente le posizioni iniziale e finale del corpo, abbiamo

 

\\ U_f-U_i=mgh_f-mgh_i=mg(h_f-h_i)=\\ \\ =mg[(y_f-y_0)-(y_i-y_0)]=mg(y_f-y_i)

 

il che dimostra che la variazione di energia potenziale gravitazionale non dipende dal sistema di riferimento scelto.

 

Proprietà dell'energia potenziale gravitazionale

 

1) Osserviamo che maggiore è la quota rispetto al livello zero, maggiore sarà il valore dell'energia potenziale. Se invece scendiamo di quota, l'energia potenziale diminuisce, come abbiamo visto nell'esempio precedente.

 

Ciò è in perfetto accordo con quanto visto nella lezione precedente, in cui abbiamo dimostrato che una forza conservativa tende a spingere un corpo nella direzione e nel verso in cui l'energia potenziale diminuisce; la forza peso, che punta verso il basso, è diretta nel verso in cui l'energia potenziale decresce.

 

2) Naturalmente, la formulazione matematica e la scelta di determinati sistemi di riferimento non vietano di avere a che fare con valori dell'energia potenziale gravitazionale negativi.

 

 

Limiti della formula per l'energia potenziale gravitazionale

 

Attenzione: la formula che abbiamo scritto sopra per l'energia potenziale gravitazionale

 

U=mgh

 

ha un limite: è valida solo se siamo in prossimità della superficie terrestre. Ciò è dovuto al fatto che per piccoli valori di quota possiamo considerare costante l'accelerazione di gravità g, la quale in realtà cambia il proprio valore al variare della distanza dal centro della Terra.

 

Nelle applicazioni e negli esercizi che si affrontano a scuola e all'università questo tipo di approssimazione è ampiamente utilizzata e consente di trattare la forza peso come una forza costante. Lo studio della Fisica deve essere necessariamente progressivo e, quando tratteremo la teoria della gravitazione universale, avremo modo di fornire la versione esatta della formula per l'energia potenziale gravitazionale.

 

Dimostrazione per la formula dell'energia potenziale gravitazionale

 

La dimostrazione della formula dell'energia potenziale gravitazionale richiede di saper lavorare con gli integrali (≥ V superiore), quindi chiunque non abbia ancora affrontato l'argomento è esonerato dalla lettura. ;)

 

Per dimostrare che l'energia potenziale gravitazionale si calcola mediante la formula

 

U=mgh

 

partiamo dalla formula della forza di gravità

 

\vec{F}_p=m\vec{g}

 

che può essere considerata costante per quote prossime alla superficie terrestre, in modo che il valore dell'accelerazione di gravità non subisca modifiche dovute al variare dell'altitudine.

 

Abbiamo anche visto che la forza peso è una forza conservativa in quanto il lavoro da essa prodotto su un percorso chiuso è sempre nullo. Ne segue che per la forza peso è possibile definire un'energia potenziale secondo la formula:

 

U_f-U_i=-\int_{x_i}^{x_f}F(x)dx

 

Poiché la forza peso si esercita sempre in verticale, dunque lungo una direzione specifica, possiamo riscriverne la formula considerando un sistema di riferimento con quote crescenti verso l'alto e specificando il verso mediante un apposito segno. Poiché essa viene esercitata verso il basso, dovremo scrivere

 

F_p=-mg

 

Dato che stiamo lavorando con le quote, possiamo indicare la sua dipendenza non dalla coordinata x ma piuttosto dall'altezza h. Dal punto di vista matematico non cambia nulla:

 

U_f-U_i=-\int_{h_i}^{h_f}F(h)dh

 

Sostituendo al posto di F la formula della forza peso, otteniamo:

 

U_f-U_i=-\int_{h_i}^{h_f}(-mg)dh

 

Poiché sia la massa sia l'accelerazione di gravità sono costanti, possono essere portate fuori dal segno di integrale (in accordo con le proprietà dell'integrale)

 

U_f-U_i=mg\int_{h_i}^{h_f}dh

 

Ora calcoliamo l'integrale definito:

 

U_f-U_i=mg[h]_{h_i}^{h_f}=mg(h_f-h_i)

 

da cui si vede che, fissando un sistema di riferimento in modo che l'altezza iniziale sia nulla, per una generica altezza h l'energia potenziale è:

 

U=mgh

 

Ecco la formula per l'energia potenziale gravitazionale, che poi non è nient'altro che il lavoro della forza peso cambiato di segno, coerentemente con la definizione di energia potenziale

 

Volendo, possiamo anche verificare che la derivata dell'energia potenziale cambiata di segno è uguale alla forza peso.

 

-\frac{dU}{dh}=-mg=F_p

 

In questo modo abbiamo anche applicato nella pratica ciò che nella lezione precedente avevamo visto solo a livello teorico. :)

 

 


 

 

Nella lezione successiva vedremo quali sono le formule che permettono di calcolare l'energia potenziale elastica e come si ricavano, mentre (molto più) avanti nelle lezioni dedicate all'elettromagnetismo prenderemo in considerazione il caso dell'energia potenziale elettrica.

 

Come al solito, se vi servono esercizi svolti o se volete consultare altri esempi, vi invitiamo ad usare la barra di ricerca interna con cui potrete trovare tutto quello che vi serve tra gli innumerevole esercizi risolti e spiegati dallo Staff di YM. ;)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Alessandro Catania (Alex)

 

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