Energia potenziale

Quando abbiamo introdotto la nozione di energia abbiamo detto che ne esistono diversi tipi, e abbiamo già visto come è possibile definire un'energia legata al movimento dei corpi: la cosiddetta energia cinetica. In questa lezione ci occuperemo dell'energia potenziale (detta anche energia posizionale, simbolo U), un'ulteriore tipo di energia che caratterizza i corpi soggetti all'azione di un particolare tipo di forze.

 

Oltre a fornire la definizione, spiegheremo in cosa consiste l'energia potenziale in generale e presenteremo le formule dell'energia potenziale, le quali permettono di calcolarla esplicitamente.

 

Qui di seguito non troverete formule particolari per i casi specifici, vale a dire per i vari tipi di forze conservative che si studiano in Dinamica. A ciascuna di esse abbiamo dedicato una specifica lezione cui potete accedere comodamente con i link di navigazione presenti a fine articolo. ;)

 

Definizione e formula dell'energia potenziale

 

L'energia potenziale è un particolare tipo di energia associata esclusivamente alle forze conservative, che abbiamo trattato nella lezione precedente. Come vedremo tra un istante essa è una grandezza legata indissolubilmente al concetto di lavoro di una forza (conservativa).

 

Ogni corpo soggetto ad una forza conservativa ha una propria energia potenziale, che viene definita in termini di variazione. Per definizione la variazione di energia potenziale di un corpo è uguale al lavoro cambiato di segno.

 

Può sembrare strano introdurre una grandezza a partire da una sua variazione, ma non spaventiamoci. Sappiamo che, quando un corpo viene sottoposto ad una forza, viene effettuato un lavoro. Benissimo: nel caso delle forze conservative si decide (per ragioni che comprenderemo poco più avanti) di considerare il lavoro e di cambiarne il segno. Il valore così ottenuto viene definito come variazione di una nuova grandezza, che chiamiamo energia potenziale del corpo.

 

Se indichiamo la nuova grandezza con il simbolo U, possiamo usare la precedente definizione per scrivere la formula dell'energia potenziale:

 

 \Delta U = - L

 

dove il simbolo \Delta U ha il significato di variazione di U. Se preferite possiamo anche scrivere

 

U_{f} - U_{i} = - L

 

Naturalmente l'unità di misura dell'energia potenziale è il joule (J), dato che si tratta di un particolare tipo di energia.

 

Cos'è l'energia potenziale, in pratica?

 

A meno che non stiate leggendo per ripassare, è piuttosto normale che il concetto di energia potenziale possa sembrare oscuro per come l'abbiamo definito. Ora cerchiamo di capire cos'è l'energia potenziale e da dove nasce l'esigenza di studiarla.

 

Consideriamo un semplice esempio. Avete presente i flipper? Per far partire la pallina ed iniziare a giocare bisogna tirare un pistoncino che comprime una molla (non dimenticatevi di inserire la moneta :P ). Sulla molla è poggiata una biglia d'acciaio cosicché, una volta sganciato il pistone, la molla si allunga e lancia la biglia.

 

Il principio fisico per cui si rende necessario parlare di energia potenziale sta proprio nella fase di avvio del gioco, ed in particolare nella molla. Il giocatore infatti, quando tira il pistone per comprimerla, sta esercitando una forza che fa spostare la molla dalla sua posizione di equilibrio (x = 0) ad una posizione più arretrata, che ne determina la compressione.

 

L'energia che abbiamo speso nel comprimere la molla, compiendo lavoro, è stata trasferita alla molla stessa sotto forma di energia potenziale:

 

U_{f} - U_{i} = - L

 

Il comportamento tipico della molla del flipper si ripropone in un'infinità di modelli fisici e riguarda sempre e solamente le forze conservative. Ecco quindi spiegata l'esigenza di definire l'energia potenziale, e nello specifico di definirla a partire da una variazione che corrisponda al lavoro compiuto, cambiato di segno.

 

A ben vedere l'energia potenziale è una forma di energia (legata solamente alle forze conservative, lo ripeteremo fino alla nausea!) che in qualche modo viene immagazzinata dai corpi e che può trasformarsi in un'altra forma non appena ne ha la possibilità. Da qui il nome energia potenziale: quando rilasciamo la molla, questa libera la sua energia potenziale trasferendola alla pallina che acquista energia cinetica e quindi velocità.

 

Formule specifiche dell'energia potenziale per le varie forze conservative

 

Abbiamo una formula generale per l'energia potenziale e sappiamo che essa è legata al lavoro: siamo molto contenti

 

 \Delta U = - L \ \ \ \mbox{ossia}\ \ \ U_{f} - U_{i} = - L

 

Ancora meglio: se sostituiamo al lavoro la sua definizione generale per una forza variabile e dipendente da una coordinata spaziale, otteniamo

 

 U_{f} - U_{i} = - \int_{x_{i}}^{x_{f}}{F(x)dx}

 

Questa formula, oltre a giustificare il nome alternativo di energia posizionale, ci permette di calcolare l'energia potenziale per un corpo soggetto ad una forza conservativa F(x) che si sposta da una posizione iniziale xi ad una finale xf.

 

Ma è possibile usare la formulazione generale per ottenere caratterizzazioni relative ai vari tipi di forze conservative? È possibile arrivare a formule specifiche per l'energia potenziale con le varie forze conservative che si studiano?

 

Certamente! Ogniqualvolta che avremo una forza conservativa potremo smanettare con i calcoli e ricavare una formula specifica per l'energia potenziale, che poi potremo usare al volo nelle applicazioni e negli esercizi. Dato che non vogliamo mettere troppa carne sul fuoco, qui ci limitiamo a menzionare

 

- l'energia potenziale gravitazionale, associata alla forza di gravità

 

U=mgh

 

- l'energia potenziale elastica, associata alla forza elastica

 

U=\frac{1}{2}kx^2

 

e nelle lezioni successive mostreremo nel dettaglio come ricavare le precedenti formule a partire dalla formulazione generale di energia potenziale. Man mano che studieremo nuovi tipi di forze nelle varie branche della fisica, non mancheremo nel mostrare come ricavare l'energia potenziale nel caso considerato. È quel che faremo, per citare un esempio, nel caso dell'energia potenziale elettrica quando affronteremo l'elettromagnetismo.

 

Energia potenziale solo per le forze conservative

 

Abbiamo parlato di energia potenziale solamente nel caso delle forze conservative. Vediamo di capire perché: consideriamo la formula

 

 U_{f} - U_{i} = - \int_{x_{i}}^{x_{f}}{F(x)dx}

 

possiamo notare che, se le posizioni iniziale e finale coincidono (ovvero se ci muoviamo lungo un percorso chiuso), allora

 

U_f=U_i

 

ossia le rispettive energie potenziali coincidono e la loro differenza è così pari a zero. Nel contempo anche il secondo membro è nullo, perché sappiamo che il lavoro di una forza conservativa è nullo lungo un percorso chiuso, e quindi la definizione è in tutto e per tutto coerente.

 

È per questo motivo che possiamo parlare di energia potenziale solo per forze conservative; nel caso delle forze conservative la definizione diventerebbe inconsistente, perché il lavoro lungo un percorso chiuso non sarebbe più necessariamente nullo e l'uguaglianza non potrebbe valere.

 

In sintesi, la conservatività delle forze è una condizione imprescindibile per definire l'energia potenziale!

 

Legame tra energia potenziale e forza conservativa

 

Per concludere analizziamo un po' più a fondo la relazione tra l'energia potenziale di una forza conservativa e la forza stessa. Da qui a fine lezione la lettura è consigliata esclusivamente agli studenti universitari (e nella primissima parte ai liceali che hanno studiato le derivate e gli integrali).

 

Consideriamo l'equazione integrale per l'energia potenziale e scriviamola nella forma

 

- \int_{x_{i}}^{x}{F(x)dx}=U-U_i

 

deriviamola, ricordandoci del teorema fondamentale del calcolo integrale:

 

 F(x) = - \frac{dU}{dx}

 

Da qui si vede subito che una forza conservativa è uguale alla derivata della sua energia potenziale cambiata di segno, e ciò è vero per una forza che dipende da un'unica coordinata spaziale.

 

Riguardo al significato fisico della precedente equazione, ricordando la relazione tra la derivata di una funzione e la monotonia di una funzione, si vede che la forza è positiva quando la derivata dell'energia potenziale è negativa, dunque quando l'energia potenziale decresce; viceversa, la forza è negativa quando la derivata dell'energia potenziale è positiva, ossia quando l'energia potenziale cresce.

 

In conclusione, ne deduciamo che la forza tende a far muovere un corpo nel verso in cui l'energia potenziale diminuisce, e viceversa la forza tende ad opporsi al verso del moto in cui il corpo acquisisce energia potenziale.

 

 

Ora facciamo un passo in avanti (e invitiamo alla lettura solamente gli universitari alle prese con Analisi 2). Se la forza dovesse dipendere da tutte e tre le coordinate avremmo a che fare con un campo vettoriale e la precedente formula si tradurrebbe nella seguente

 

 \vec{F}(x,y,z) = - \nabla{U}

 

dove l'operatore \nabla indica il gradiente. Esplicitamente: 

 

 \vec{F}(x,y,z)=- \left( \frac{\partial U}{\partial x} \hat{i} + \frac{\partial U}{\partial y} \hat{j}+ \frac{\partial U}{\partial z} \hat{k} \right)

 

La precedente formula non si limita a darci un metodo operativo per calcolare la forza a partire dall'energia potenziale, ma fornisce anche un'importante informazione fisica a partire dall'interpretazione geometrica. Il vettore forza è parallelo e discorde rispetto al gradiente (anch'esso un vettore). Dall'interpretazione geometrica del teorema del gradiente, sappiamo che quest'ultimo individua la direzione di massima crescita della funzione, nel nostro caso dell'energia potenziale.

 

Dunque la forza, diretta in verso opposto, tenderà a far muovere i corpi nella direzione in cui l'energia potenziale diminuisce.

 

 


 

Possiamo fermarci qui. :P Non perdetevi le prossime puntate, in cui passeremo al calcolo esplicito dell'energia potenziale e applicheremo le considerazioni teoriche appena introdotte ad alcuni esempi concreti. Poco più avanti spiegheremo anche come l'energia potenziale e quella cinetica si legano nella definizione di energia meccanica.

 

Se volete consultare degli esercizi svolti, non dovete fare altro che usare la barra di ricerca interna: qui su YM ci sono tantissimi esercizi risolti e spiegati nel dettaglio. ;)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Alessandro Catania (Alex)

 

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