Teorema dell'energia cinetica

Fino ad ora abbiamo introdotto il concetto di lavoro in fisica e la prima forma di energia: l'energia cinetica. Queste due grandezze sono legate da una relazione data dal cosiddetto teorema dell'energia cinetica, chiamato anche teorema delle forze vive per via dell'antica espressione vis viva (forza viva) usato per indicare l'energia cinetica.

 

Il teorema dell'energia cinetica

 

Per cominciare partiamo direttamente dall'enunciato del teorema dell'energia cinetica: il lavoro della forza risultante compiuto su un corpo è uguale alla variazione della sua energia cinetica.

 

In formule scriveremo:

 

\\ L=K_f-K_i\\ \\ \\ L = \frac{1}{2}mv^{2}_{f} - \frac{1}{2}mv^{2}_{i}

 

Ecco allora che, quando su un corpo viene esercitata una forza risultante non nulla, l'energia cinetica del corpo cambia. Supponendo la massa del corpo costante, che poi è l'ipotesi che si adotta nella stragrande maggioranza degli esercizi e delle applicazioni, ciò che cambia è solo la sua velocità.

 

Questo fatto è una diretta conseguenza del secondo principio della Dinamica, il quale afferma che, in presenza di una forza non nulla, il corpo è soggetto ad un'accelerazione che ne modifica la velocità. Se la forza è nulla, allora è nullo anche il lavoro e l'energia cinetica non cambia: in effetti sapevamo già che se la forza è nulla, allora è nulla anche l'accelerazione e pertanto la velocità rimane costante.

 

A ben vedere stiamo sostanzialmente approcciando lo stesso problema ma da un punto di vista nuovo, quello dell'energia.

 

Esempio sul teorema dell'energia cinetica

 

Vediamo un esempio relativo al teorema dell'energia cinetica. Supponiamo di dover spingere con una certa forza un oggetto in orizzontale, inizialmente fermo, per alcuni metri. Esercitando la forza, stiamo compiendo lavoro. Il risultato del lavoro compiuto consisterà in un'aumento di velocità (l'oggetto inizialmente fermo comincerà a muoversi accelerando) con un conseguente aumento di energia cinetica.

 

Poiché l'oggetto è inizialmente fermo, la sua energia cinetica iniziale è nulla; di conseguenza tutto il lavoro compiuto è pari all'energia cinetica acquisita dall'oggetto.

 

 L = \frac{1}{2}mv^{2}_{f}

 

Come vedremo in una delle lezioni successive, in natura esiste un principio fondamentale che è la conservazione dell'energia: l'energia non può generarsi dal nulla né può improssivamente sparire, ma può soltanto trasformarsi passando da una forma all'altra. Se l'oggetto che stiamo considerando acquista una certa quantità di energia cinetica che prima non possedeva, deve esserci necessariamente stato qualcosa che ha perso la medesima quantità di energia per trasferirla all'oggetto. Se lo spingiamo con le mani, l'energia acquisita dall'oggetto è pari a quella spesa dai nostri muscoli.

 

Teorema dell'energia cinetica e legame col lavoro

 

In definitiva, l'esempio serve a mettere in luce il significato del teorema dell'energia cinetica: il lavoro è un modo di trasferire energia da un corpo all'altro. Più precisamente diremo che il lavoro è energia trasferita da un corpo all'altro per mezzo di una forza risultante che agisce su di esso.

 

Ecco allora una definizione di lavoro che nella lezione dedicata al concetto di lavoro non avevamo potuto dare, perché ancora non conoscevamo il teorema dell'energia cinetica!

 

A titolo di cronaca, il lavoro non è l'unico modo che esiste per trasferire energia tra corpi diversi: il calore, ad esempio, è un altro metodo possibile che tratteremo nel dettaglio nelle lezioni di Termodinamica.

 

Invarianza del teorema dell'energia cinetica

 

Dobbiamo ancora osservare che, mentre l'energia cinetica dipende dal sistema di riferimento scelto, il teorema dell'energia cinetica è una legge invariante, cioè assume la stessa epressione in qualunque sistema di riferimento inerziale.

 

Ciò significa che in ogni sistema di riferimento inerziale possiamo trovare valori diversi del lavoro e dell'energia cinetica, ma in ciascuno di essi ogni osservatore concorderà sul fatto che il lavoro è sempre uguale alla variazione di energia cinetica.

 

Dimostrazione del teorema dell'energia cinetica

 

Vediamo ora come dimostrare il teorema dell'energia cinetica, partendo dalla definizione di lavoro e dalla seconda legge di Newton e facendo riferimento al caso di una forza costante.

 

 L = \vec{F} \cdot \vec{s} = m \vec{a} \cdot \vec{s}

 

Ricordiamoci la definizione di accelerazione:

 

 \vec{a} = \frac{\vec{v_{f}} - \vec{v_{i}}}{t}

 

Inoltre lo spazio può essere riscritto come:

 

 \vec{s} = \frac{1}{2} \vec{a}t^{2} + \vec{v_{i}} t =\frac{1}{2} \frac{\vec{v_{f}} - \vec{v_{i}}}{t}t^{2} + \vec{v_{i}} t  = \frac{1}{2} \vec{v_{f}}t - \frac{1}{2} \vec{v_{i}}t + \vec{v_{i}}t =  \frac{1}{2} \left( \vec{v_{f}} + \vec{v_{i}} \right) t

 

Sostituendo l'accelerazione e lo spostamento nella formula del lavoro, otteniamo:

 

 L = m \frac{\vec{v_{f}} - \vec{v_{i}}}{t} \cdot \frac{1}{2} \left( \vec{v_{f}} + \vec{v_{i}} \right) t

 

A questo punto, dobbiamo portare avanti i conti eseguendo correttamente il prodotto scalare tra i vettori velocità. Ricordiamo che ogni vettore, moltiplicato scalarmente per se stesso, corrisponde al modulo al quadrato:

 

\\ \vec{v_{f}} \cdot \vec{v_{f}} = v_{f}^{2}\\ \\ \vec{v_{i}} \cdot \vec{v_{i}} = v_{i}^{2}

 

Semplifichiamo il tempo e otteniamo:

 

 L = \frac{1}{2} m \left(v_{f}^{2} + \vec{v_{f}} \cdot \vec{v_{i}} - \vec{v_{i}} \cdot \vec{v_{f}} - v_{i}^{2} \right)

 

Ricordiamo anche che il prodotto scalare è commutativo, per cui il secondo e il terzo termine della parentesi sono uguali ed opposti e si possono cancellare. Otteniamo così:

 

 L = \frac{1}{2} m \left(v_{f}^{2} - v_{i}^{2} \right)

 

che è l'espressione matematica del teorema dell'energia cinetica.

 

E se la forza non fosse costante? Il teorema sarebbe comunque ancora valido? La risposta è sì e si può dimostrare nel seguente modo, a partire sempre dalla seconda legge di Newton e considerando una forza dipendente dalla coordinata x.

 

 F = ma = m \frac{dv}{dt}

 

Ora effettuiamo un passaggio che potrà sembrare un po' artistico e che, per motivi didattici, non giustificheremo (a tal proposito ci servirebbe la teoria dei differenziali): moltiplichiamo e dividiamo per dx

 

 F = m \frac{dv}{dx} \frac{dx}{dt} = mv \frac{dv}{dx}

 

dove ci siamo ricordati che la derivata dello spazio rispetto al tempo (dx/dt) ci dà la velocità. Ora torniamo alla definizione del lavoro per una forza variabile e procediamo coi conti.

 

 L = \int_{i}^{f}{F \: dx} = \int_{i}^{f}{ mv \frac{dv}{dx} \: dx} = m \int_{v_{i}}^{v_{f}}{ v \: dv} = m \left[ \frac{v^{2}}{2} \right]_{ v_{i}}^{ v_{f}} = \frac{1}{2}mv^{2}_{f} - \frac{1}{2}mv^{2}_{i}

 

e abbiamo così dimostrato che il teorema è valido anche per una forza variabile. ;)

 


 

Come avrete modo di constatare con i vostri occhi, il teorema dell'energia cinetica riveste un'importanza fondamentale nelle applicazioni e negli esercizi, e a tal proposito se siete in cerca di esercizi da svolgere o già risolti potete usare la barra di ricerca interna. In alternativa, potete passare direttamente alla lezione successiva, in cui parleremo delle forze conservative. ;)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Alessandro Catania (Alex)

 

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