Lavoro della forza elastica

Riassunto delle puntate precedenti: abbiamo introdotto la nozione di lavoro di una forza costante e abbiamo visto come calcolare il lavoro di una forza variabile mediante un opportuno integrale.

 

Abbiamo già proposto un esempio di calcolo con una forza costante nella lezione sul lavoro della forza peso; ora è il momento di considerare un esempio con una forza variabile, e noi conosciamo già una forza di questo tipo: è la forza elastica delle molle, che non è costante ma cambia a seconda del valore di compressione o di allungamento.

 

In questa lezione mostreremo quindi come calcolare il lavoro della forza elastica, proponendone la formula e mostrando il procedimento per ricavarla.

 

Formula per il lavoro della forza elastica

 

Prima di tutto scriviamo subito la formula per il calcolo del lavoro della forza elastica, in modo da sapere a cosa andiamo incontro :P dopodiché avremo cura di ricavarla:

 

 

L= - \frac{1}{2} k \left( x^{2}_{f} - x^{2}_{i}  \right)

 

 

dove k è la costante elastica della molla mentre x_i,\ x_f sono l'elongazione iniziale e l'elongazione finale della molla, dove con elongazione x si intende la differenza tra la lunghezza della molla e la lunghezza a riposo:

 

\\ x_i=L_i-L_0\\ \\ x_f=L_f-L_0

 

La formula scritta in precedenza può essere ovviamente usata per ricavare le inverse e determinare le grandezze richieste nelle applicazioni e nei vari esercizi

 

Dalla formula per il lavoro compiuto dalla forza elastica si vede subito che esso dipende dalla costante elastica k e dalle elongazioni iniziale e finale della molla, ossia dalle posizioni iniziali e finali rispetto alla posizione di riposo.

 

Se consideriamo il caso di una inizialmente molla a riposo, abbiamo come elongazione iniziale x_i=L_0-L_0=0 e quindi

 

 

L= - \frac{1}{2} k \left( x^{2}_{f}\right)

 

 

Analizziamo per un istante la formula del lavoro della forza elastica con elongazione iniziale zero. In questo caso particolare, indipendentemente che la molla venga allungata (x_f>0) o compressa (x_f<0) la quantità x_f^2 sarà sempre positiva, perché si tratta di un quadrato. Di conseguenza, essendo la costante elastica positiva per definizione, il lavoro sarà sempre negativo e avremo sempre a che fare con un lavoro resistente.

 

Ciò è perfettamente in accordo con il modello fisico, perché la forza elastica di una molla tende sempre ad opporsi all'elongazione della molla, in modo da riportarla alla sua lunghezza a riposo.

 

 

Più in generale il segno del lavoro della forza elastica, nel caso di compressioni o allungamenti che non partono dalla lunghezza a riposo, dipende dalle posizioni iniziale e finale e può essere positivo o negativo.

 

Esempi sul lavoro della forza elastica

 

A) Una molla di costante elastica 10 N/m, fissata ad un estremo, viene allungata di 0,05 metri dalla lunghezza a riposo di 50 cm. Calcolare il lavoro della forza elastica.

 

Svolgimento: dato che l'elongazione iniziale è nulla, x_i=0\mbox{ m}. L'elongazione finale è invece data da x_f=0,05\mbox{ m}. Essendo l'elongazione iniziale nulla, possiamo determinare il lavoro della forza elastica con la formula

 

L= - \frac{1}{2} k \left( x^{2}_{f}\right)=-\frac{1}{2}\cdot 10\ \frac{\mbox{N}}{\mbox{m}}\cdot (0,05\mbox{ m})^2=-0,0125\mbox{ J}

 

Notiamo che il segno del lavoro è negativo (lavoro resistente) perché la molla viene allungata dalla posizione di riposo, quindi la forza elastica si oppone e tenta di riportare la molla alla configurazione a riposo.

 

 

B) Ora supponiamo che la molla dell'esempio A) venga allungata dalla posizione iniziale di 48 cm alla posizione finale di 49 cm. Quanto vale il lavoro della forza elastica in questo caso?

 

Svolgimento: calcoliamo le elongazioni iniziale e finale

 

\\ x_i=L_i-L_0=48\mbox{ cm}-50\mbox{ cm}=-2\mbox{ cm}=-0,02\mbox{ m}\\ \\ x_f=L_f-L_0=49\mbox{ cm}-50\mbox{ cm}=-1\mbox{ cm}=-0,01\mbox{ m}

 

e grazie alla formula generale, otteniamo

 

L= - \frac{1}{2} k \left( x^2_f-x_i^2\right)=-\frac{1}{2}\cdot 10\ \frac{\mbox{N}}{\mbox{m}}\cdot [(0,01\mbox{ m})^2-(0,02\mbox{ m})^2]=+0,015\mbox{ J}

 

In questo caso il lavoro è positivo (lavoro motore) perché forza elastica e spostamento sono concordi: la molla si sta allungando per tornare alla configurazione a riposo.

 

Come ricavare la formula per il lavoro della forza elastica

 

Partiamo dalla legge di Hooke, che consente di determinare la forza elastica di una molla

 

\vec{F}_{e}=-k\vec{x}

 

Abbiamo dunque una forza che varia in funzione di una variabile spaziale x. Supponiamo di volere allungare la molla modificandone l'elongazione da un valore iniziale xi ad uno finale xf. Grazie alla definizione del lavoro per una forza variabile, possiamo calcolare il lavoro impostando il seguente integrale:

 

 L = \int_{x_{i}}^{x_{f}}{F_e(x) \: dx}

 

dove gli estremi di integrazione corrispondono all'elongazione iniziale (in basso) e a quella finale (in alto).

 

Attenzione perché stiamo lavorando in una dimensione e la grandezza indicata con F_e non è il modulo della forza elastica, bensì un vettore. Proprio perché stiamo lavorando in una dimensione possiamo però riscrivere la grandezza vettoriale come modulo con segno, perché la direzione è fissata, mentre il segno ci permette di individuare il verso della forza

 

 L = \int_{x_{i}}^{x_{f}}{-kx \: dx}

 

Visto che k è una costante, possiamo applicare le proprietà degli integrali e portarla fuori dal segno di integrale

 

 L = -k \int_{x_{i}}^{x_{f}}{x \: dx} = - k \left[ \frac{x^{2}}{2} \right]_{x_{i}}^{x_{f}} = - \frac{1}{2} k \left( x^{2}_{f} - x^{2}_{i}  \right)

 

In definitiva

 

 

L= - \frac{1}{2} k \left( x^{2}_{f} - x^{2}_{i}  \right)

 

 

Se allunghiamo o comprimiamo la molla a partire dalla sua posizione di riposo (ovvero con elongazione iniziale nulla, x_i=0 ), allora l'estremo inferiore dell'integrale del lavoro è zero, ed otteniamo:

 

 L = -k \int_{0}^{x_{f}}{x \: dx} = - k \left[ \frac{x^{2}}{2} \right]_{0}^{x_{f}} = - \frac{1}{2} k x^{2}_{f}

 

ed in questo caso particolare il lavoro della forza elastica dipende solamente dall'elongazione finale.

 

 

L= - \frac{1}{2} k x^{2}_{f}

 

 

Interpretazione geometrico-analitico del lavoro della forza elastica

 

Vi ricordate che, dal punto di vista grafico, il lavoro di una forza variabile poteva essere visto come l'area sottesa dal grafico della funzione che rappresenta la forza in funzione della variabile x?

 

Bene: e vi ricordate qual è la rappresentazione della forza elastica intesa come funzione della variabile x? Essendo

 

F_e(x)=-kx

 

abbiamo a che fare con una retta.

 

 

Lavoro della forza elastica

 

 

Consideriamo due punti sull'asse x che corrispondono alle elongazioni iniziale e finale della molla, ed evidenziamo l'area sottesa dal grafico tra questi due punti. La figura che otteniamo è un trapezio, la cui area è data da:

 

 A_{trapezio} = \frac{(b + B)h}{2}

 

La base minore b è data dal valore che la funzione assume in xi mentre la base maggiore B è uguale a valore della funzione in xf.

 

\\ b = F(x_{i}) = - kx_{i}\\ \\ B = F(x_{f}) = - kx_{f}

 

L'altezza h invece è uguale alla differenza tra le due posizioni:

 

 h = x_{f} - x_{i}

 

Allora, se impostiamo l'area del trapezio, otteniamo:

 

\\ L = \frac{(- kx_{i} - kx_{f}) (x_{f} - x_{i}) }{2} = - \frac{1}{2}kx_{i}x_{f} + \frac{1}{2}kx_{i}^{2} - \frac{1}{2}kx_{f}^{2} + \frac{1}{2}kx_{i}x_{f} = \\ \\ \\ =\frac{1}{2}kx_{i}^{2} - \frac{1}{2}kx_{f}^{2} = - \frac{1}{2}k \left( x^{2}_{f} - x^{2}_{i} \right)

 

che è proprio ciò che abbiamo ottenuto in precedenza nel calcolo dell'integrale (in caso di dubbi, si ricordi che gli integrali hanno il significato geometrico di area sottesa dal grafico di una funzione con segno).

 

 

Osserviamo ancora che, se partiamo da una elongazione iniziale negativa (molla compressa) ed arriviamo ad una elongazione positiva (molla allungata) di pari valore, allora il lavoro è nullo.

 

 

Lavoro della forza elastica con posizione iniziale negativa

 

 

Graficamente si osserva infatti che la parte di area sottesa al grafico per le x negative è identica a quella che si ha per le x positive. Ricordando che le aree disegnate al di sopra dell'asse x sono positive mentre quelle che si trovano al di sotto sono negative, si capisce allora che la loro somma è necessariamente nulla.

 

In maniera più raffinata, possiamo dire che il lavoro è nullo perché abbiamo un integrale di una funzione dispari su un intervallo simmetrico rispetto all'origine.

 

 


 

 

Nella lezione successiva inizieremo a presentare una vera e propria colonna della Fisica: la nozione di energia. Intanto, se volete esercitarvi sul concetto di lavoro, sappiate che qui su YM avete a disposizione tantissimi esercizi svolti e spiegati nel dettaglio: non dovete fare altro che usare la barra di ricerca interna. ;)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Alessandro Catania (Alex)

 

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