Lavoro della forza peso

Nel caso di alcune forze che conosciamo già, è possibile trovare delle particolari espressioni del lavoro a partire dalle formule e dalle considerazioni proposte nelle lezioni precedenti. Qui mostriamo come calcolare il lavoro della forza peso e cerchiamo una particolare equazione che ci permetta di calcolare il lavoro compiuto dalla forza peso per spostare i corpi.

 

Tenete presente che la formula del lavoro permette di determinare il lavoro di una forza qualsiasi: di norma, a titolo didattico, si sceglie di mostrare il calcolo del lavoro della forza peso per due motivi. Da un lato, perché la forza peso è piuttosto semplice e dunque ben si presta per prendere confidenza con il calcolo esplicito del lavoro; dall'altro perché, ricorrendo spesso e volentieri nelle applicazioni e negli esercizi, il procedimento permette di determinare una formula pronta all'uso.

 

In questa lezione proponiamo la formula per il lavoro della forza peso e un esempio di calcolo numerico, per poi mostrare come ricavare la formula a partire dalla definizione di lavoro che già conosciamo.

 

Formula per il lavoro della forza peso

 

Per determinare una formula per il lavoro della forza peso innanzitutto teniamo presenti le due principali caratteristiche della forza di gravità:

 

- è sempre diretta verticalmente verso il basso;

 

- fissata una certa massa, la forza è costante, almeno per spostamenti in verticale sufficientemente piccoli da poter considerare l'accelerazione di gravità g come una costante.

 

Scriviamo subito la formula, poco più sotto vedremo come ricavarla:

 

 

L=-mg(y_f-y_i)

 

 

dove m è la massa del corpo, g l'accelerazione di gravità e y_i,\ y_f sono rispettivamente la posizione iniziale e finale del corpo. A partire da questa formula si possono ricavare tutte le inverse che ci permetteranno di esaudire qualsiasi possibile richiesta nei vari esercizi.

 

Nota bene: sui libri e in rete vi capiterà spesso di incontrare una variante di questa formula in cui, al posto della differenza tra le posizioni finale e iniziale, viene indicata una h. Noi vi sconsigliamo di attenervi a quel tipo di formula perché rischia di generare una maledetta confusione con i segni. Se userete la formula che abbiamo scritto poco sopra, state pur certi che non avrete alcun problema. ;)

 

È altrettanto importante notare sin da subito che il lavoro della forza peso non dipende dal percorso seguito ma solo dalla posizione iniziale e da quella finale.

 

Esempi sul lavoro della forza peso

 

A) Consideriamo un corpo di 1,5 kg che viene lasciato libero di cadere in verticale da un'altezza di 2 metri fino a terra. Vogliamo calcolare il lavoro compiuto dalla forza peso.

 

Svolgimento: usiamo l'apposita formula tenendo conto che y_i=2\mbox{ m},\ y_f=0\mbox{ m}, per cui il lavoro della forza peso è pari a

 

 L = - 1,5\mbox{ kg} \cdot 9,81\ \frac{\mbox{m}}{\mbox{s}^{2}} (0\mbox{ m}- 2 \mbox{ m}) = 29,43\ \mbox{ J}

 

 

B) Consideriamo un corpo di 1,5 kg che scende lungo un piano inclinato da un'altezza di 2 metri fino a terra. Vogliamo calcolare il lavoro compiuto dalla forza peso.

 

Svolgimento: se lo stesso corpo scende lungo un piano inclinato da un'altezza di 2 metri, il lavoro della forza peso è:

 

 L = - 1,5\mbox{ kg} \cdot 9,81\ \frac{\mbox{m}}{\mbox{s}^{2}} (0\mbox{ m}- 2 \mbox{ m}) = 29,43\ \mbox{ J}

 

 

Come potete vedere il conto non cambia; non importa lungo quale percorso si è mosso il corpo, ciò che conta ai fini del calcolo del lavoro sono solo il punto di partenza e quello di arrivo.

 

Come calcolare il lavoro della forza peso

 

Qui di seguito useremo due approcci equivalenti per ricavare la formula del lavoro della forza peso: il primo mediante la definizione basata sul prodotto scalare; dall'altra, mediante quella più generale basata sul calcolo integrale.

 

Lavoro della forza peso: metodo 1

 

Consideriamo un sistema di riferimento dato da un piano cartesiano con l'asse y rivolto verso l'alto e un corpo che si muove in verticale da una posizione iniziale yi ad una finale yf. Come sono disposti il punto di partenza ed il punto di arrivo? Non importa, ragioniamo in generale. ;)

 

Scriviamo la formula per determinare il lavoro di una forza

 

L=\vec{F}\cdot \vec{s}=Fs\cos(\theta)

 

dove F,\ s sono rispettivamente i moduli della forza e dello spostamento, mentre \theta è l'angolo formato dai vettori \vec{F},\ \vec{s}\mbox{ e }\cos(\theta) è il coseno dell'angolo.

 

Scriviamo i moduli della forza peso e dello spostamento:

 

\\ F=F_P=mg\\ \\ s=|y_f-y_i|

 

Poiché la forza peso e lo spostamento sono paralleli nel nostro modello, l'angolo può avere un'ampiezza pari a

 

- 0° nel caso di versi concordi (lo spostamento avviene verso il basso);

 

- 180° nel caso di versi discordi (lo spostamento avviene verso l'alto)

 

Con questa osservazione possiamo distinguere due possibili casi.

 

 

1) Se lo spostamento avviene verso il basso, ossia se y_f<y_i, allora i due vettori sono concordi e

 

L=F_Ps\cos(0)=mg|y_f-y_i|

 

Per definizione di valore assoluto, essendo y_f-y_i<0, possiamo eliminare il modulo specificando il segno dell'argomento. Quindi ricaviamo

 

L=-mg(y_f-y_i)

 

Si noti che in questa eventualità il lavoro è positivo, e ciò è in perfetto accordo con la definizione che conosciamo: poiché la forza peso è concorde allo spostamento, ci troviamo di fronte ad un lavoro positivo, detto anche lavoro motore.

 

 

2) Se lo spostamento avviene verso l'alto, ossia se y_f>y_i, allora i due vettori sono discordi e

 

L=F_Ps\cos(180^o)=mg|y_f-y_i|\ (-1)=-mg|y_f-y_i|

 

Poiché y_f-y_i>0 il valore assoluto è superfluo e possiamo scrivere

 

L=-mg(y_f-y_i)

 

Qui il lavoro è negativo, perché i vettori forza peso e spostamento sono discordi. Si parla in questo caso di lavoro resistente.

 

 

In ogni caso il lavoro della forza peso è dato da

 

 

L=-mg(y_f-y_i)

 

 

dove, ricordatelo sempre, y_f\mbox{ e }y_i sono rispettivamente le posizioni finale ed iniziale del punto materiale.

 

Lavoro della forza peso: metodo 2

 

Il secondo metodo per ricavare la formula del lavoro della forza peso prevede di ricorrere alla definizione data nella lezione sul lavoro di una forza variabile, anche se nel nostro modello, per spostamenti tali da poter considerare l'accelerazione di gravità costante, la forza peso può essere in buona approssimazione costante. 

 

La forza peso, essendo rivolta verso il basso, ha un segno meno davanti perché è discorde rispetto alla direzione positiva dell'asse y (verso l'alto). Con queste premesse, siamo pronti per impostare l'integrale che ci permete di trovare il lavoro:

 

 L = \int_{y_{i}}^{y_{f}}{F_{P} \: dy} = \int_{y_{i}}^{y_{f}}{-mg \: dy}

 

dove agli estremi di integrazioni troviamo la posizione iniziale yi (in basso) e la posizione finale yf (in alto).

 

La massa m e l'accelerazione di gravità g sono entrambi costanti che possono essere portate fuori dal segno di integrale assieme al segno meno. Pertanto otteniamo:

 

 L = - mg \int_{y_{i}}^{y_{f}}{dy} = - mg [y]_{y_{i}}^{y_{f}} = - mg \left(y_{f} - y_{i} \right)

 

ossia, ancora una volta

 

 

L=-mg(y_f-y_i)

 

 

e ancora una volta ribadiamo che il lavoro della forza peso dipende dalle posizioni finale e iniziale del punto materiale, nonché dalla massa del corpo soggetto alla forza.

 

Ripetiamo anche l'analisi sul segno del lavoro. Notiamo che se il corpo si sta spostando verso il basso (come ad esempio i corpi in caduta libera), la posizione finale yf avrà un valore minore della posizione iniziale yi, per cui il lavoro sarà positivo. Se invece il corpo sta salendo (come una pallina lanciata verso l'alto) allora yf è maggiore di yi e dunque il lavoro è negativo.

 

Questo è perfettamente in accordo con quanto sapevamo già: per corpi che cadono verso il basso, la forza peso e lo spostamento sono entrambi vettori diretti verso il basso e dunque concordi e il lavoro è positivo; viceversa, quando un corpo si sposta verso l'alto, forza peso e spostamento sono discordi e il lavoro è negativo.

 

 


 

 

Nella prossima lezione vedremo come calcolare il lavoro della forza elastica. Prima di procedere, se volete consultare altri esempi o esercizi svolti sul lavoro della forza peso, potete usare la barra di ricerca interna: qui su YM ci sono migliaia di esercizi risolti e spiegati nel dettaglio. ;)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Alessandro Catania (Alex)

 

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