Espressione generale del lavoro

Nelle lezioni precedenti abbiamo trovato definito il lavoro di una forza, considerando prima una forza costante con uno spostamento rettilineo e poi estendendo il concetto al lavoro di una forza variabile dipendente da una sola coordinata spaziale.

 

Il caso che non abbiamo ancora considerato è quello in cui non solo la forza sia variabile, ma anche il percorso seguito dal punto soggetto a tale forza non sia rettilineo ma curvo. Qui le cose si complicano ulteriormente, ma è comunque possibile dare un'espressione generale del lavoro nel caso più esteso: forza variabile e traiettoria data da una curva qualsiasi.

 

A scanso di equivoci, l'argomento trattato in questa lezione può essere compreso a fondo solamente dagli studenti universitari; gli studenti delle scuole superiori possono passare direttamente alla lezione successiva. ;)

 

Espressione generale del lavoro con forza variabile e traiettoria qualsiasi

 

Se abbiamo un punto che si muove sotto l'azione di una forza lungo un percorso curvilineo, dobbiamo immaginare di suddividere questo percorso in tante piccole parti. Ogni singola suddivisione deve essere sufficientemente piccola da poterci autorizzare a considerare la forza costante in quel tratto di percorso. L'idea non è dunque diversa da quella già vista nella lezione precedente, in cui abbiamo trovato l'espressione del lavoro di una forza variabile, con la differenza però che ora abbiamo un percorso tridimensionale e non più unidimensionale come prima.

 

 

Espressione generale del lavoro

 

 

A questo punto, occorre sommare tutti i piccoli contributi al lavoro totale su ogni singolo tratto di percorso Δr e per far ciò impostiamo un'opportuna sommatoria:

 

 L = \sum_{k = 1}^{n}{\vec{F}_{k} \cdot \vec{\Delta r}}

 

Ricordiamoci che il prodotto tra la forza e lo spostamento è un prodotto scalare tra vettori. Quella che abbiamo scritto è un'approssimazione del vero valore del lavoro.

 

Per ottenere la stima esatta, dobbiamo far tendere il numero di suddivisioni del percorso all'infinito. In questo modo, per ogni tratto infinitesimo di percorso, la forza sarà sicuramente costante e quindi riusciamo a giungere ad una definizione esatta.

 

Per n\to+\infty il tratto di percorso \Delta r diventa un contributo infinitesimo dr, e la sommatoria si trasforma in un integrale.

 

 L = \lim_{n \to + \infty}{\sum_{k = 1}^{n}{\vec{F}_{k} \cdot \vec{\Delta r}}} = \int_{A}^{B}{\vec{F} \cdot d \vec{ r}}

 

Gli estremi di integrazione rappresentano il punto di partenza A e il punto di arrivo B dell'intero percorso seguito.

 

 

Punto di vista strettamente matematico

 

Nel caso tridimensionale, data una forza variabile non è nient'altro che un campo vettoriale 

 

\vec{F}:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3,\ \ F(x,y,z)=(F_1(x,y,z),F_2(x,y,z),F_3(x,y,z))

 

e una traiettoria è una curva parametrica

 

\gamma:I\subseteq\mathbb{R},\ \ \gamma(t)=(\gamma_1(t),\gamma_2(t),\gamma_3(t))

 

L'espressione generale del lavoro è quindi data da un integrale di linea di seconda specie, che non a caso viene anche chiamato integrale del lavoro.

 

L=\int_{\gamma_A}^{\gamma_B}\vec{F}\cdot d\vec{\gamma}

 

Ribadiamo che questa definizione per la maggior parte degli studenti universitari avrà una valenza puramente teorica; essa avrà implicazioni pratiche e si presenterà negli esercizi solamente per chi ha già studiato (o dovrebbe aver studiato) Analisi 2. Se studiate Fisica nei corsi base universitari, non vi capiterà mai di dover risolvere esercizi sul calcolo del lavoro di una forza variabile lungo un percorso curvilineo.

 

Come usare l'espressione generale del lavoro negli esercizi

 

Quella che abbiamo scritto sopra è la formulazione più generale possibile del lavoro. L'integrale scritto potrebbe essere molto difficile da applicare nella pratica, perché bisognerebbe conoscere l'esatta dipendenza della forza dalle coordinate spaziali, e anche in questo caso potremmo comunque imbatterci in un integrale piuttosto complicato da risolvere. Quel che è necessario sapere è la definizione e la logica seguita nell'arrivare sin qui.

 

Si può comunque ricorrere alla definizione di integrale di linea di seconda specie per arrivare ad una formula un po' più digeribile, e qui ci rivolgiamo solamente agli studenti per cui è previsto lo studio di Analisi 2.

 

Nello spazio la forza è un vettore che ha tre componenti, e che può essere scritto come:

 

 \vec{F} = F_{x} \hat{i} + F_{y} \hat{j} + F_{z} \hat{k}

 

dove \hat{i},\ \hat{j},\ \hat{k} sono i versori dei tre assi cartesiani, cioè i vettori di norma 1 che individuano le direzioni degli assi. Allo stesso modo si può scrivere il vettore dr:

 

 d \vec{r} = dx \hat{i} + dy \hat{j} + dz \hat{k}

 

Dobbiamo ricordarci che, se calcoliamo il prodotto scalare tra due versori diversi, otteniamo zero perché due versori distinti sono perpendicolari e il prodotto scalare di vettori perpendicolari è nullo.

 

A questo punto, il prodotto scalare che abbiamo scritto nell'integrale diventa:

 

\\ \vec{F}_{k} \cdot d \vec{ r} = (F_{x} \hat{i} + F_{y} \hat{j} + F_{z} \hat{k}) \cdot (dx \hat{i} + dy \hat{j} + dz \hat{k}) = F_{x} dx + F_{y} dy + F_{z} dz

 

ossia

 

L = \int_{A}^{B}{\vec{F}_{k} \cdot d \vec{ r}} = \int_{A}^{B}{(F_{x} dx + F_{y} dy + F_{z} dz)}

 

Abbiamo così trovato una forma equivalente, ma molto più utile nella pratica, per calcolare l'integrale del lavoro.

 

 


 

 

È tutto: nella lezione successiva torneremo ad un livello ben più  abbordabile (superiori + università) e vedremo, a titolo di esempio e di esercizio, come calcolare il lavoro della forza peso. ;)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Alessandro Catania (Alex)

 

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Tags: espressione generale del lavoro e integrale di linea di seconda specie per il calcolo del lavoro.