Lavoro di una forza variabile

Nella lezione precedente abbiamo definito il lavoro come prodotto scalare della forza per lo spostamento, e per farlo abbiamo considerato una forza costante, cioè una forza che non cambia mai durante lo spostamento, ed uno spostamento rettilineo.

 

Continuiamo a ragionare nel caso di spostamenti rettilinei. E se considerassimo una forza che varia, secondo una certa legge, al variare dello spostamento? Abbiamo già incontrato una forza di questo tipo: la forza elastica, che era direttamente proporzionale allo spostamento di una estremità della molla rispetto alla posizione di riposo.

 

Vediamo quindi come si può definire il lavoro di una forza variabile lungo uno spostamento rettilineo e quali sono le formule che consentono di calcolarlo. Anticipiamo sin da subito che questo concetto può essere compreso a fondo solamente dagli studenti dalla V superiore a salire, e che a livello scolastico questo argomento non ha generalmente riscontri in termini di esercizi. ;)

 

Il lavoro di una forza variabile in una dimensione

 

Per introdurre la nozione di lavoro compiuto da una forza variabile consideriamo uno spostamento unidirezionale lungo l'asse x e una forza che sia funzione della sola coordinata x. Dobbiamo immaginare di suddividere lo spostamento in tanti piccoli spostamenti, diciamo sufficientemente piccoli da poter considerare, per ciascuno di essi, la forza costante.

 

Ovviamente si tratta di un'approssimazione, perché la forza non è esattamente costante in ogni intervallo; ciononostante questo approccio ci permetterà di arrivare ad una definizione corretta e aderente al modello reale. Supponiamo di aver suddiviso lo spostamento in n piccoli intervalli.

 

Il lavoro complessivo è dato dalla somma dei lavori della forza per ogni intervallo.

 

 L = \Delta L_{1} + \Delta L_{2} + ... + \Delta L_{n} = F_{1} \Delta x + F_{2} \Delta x + .... + F_{n} \Delta x

 

In forma più compatta faremo ricorso al simbolo di sommatoria e scriveremo:

 

 L = \sum_{k=1}^{n}{F_{k} \Delta x}

 

Ora, se aumentiamo il numero delle suddivisioni, otterremo una stima del lavoro più corretta perché l'approssimazione per cui consideriamo costante la forza su ogni intervallo sarà ridotta. Ma se spingiamo il numero delle suddivisioni all'infinito e consideriamo quindi intervalli infinitesimi, allora abbiamo raffinato l'approssimazione al punto da ottenere la stima esatta del lavoro.

 

Per aumentare il numero di intervalli all'infinito infinito, dobbiamo considerare intervalli di ampiezza Δx tendente a zero e quindi applicare il limite alla sommatoria scritta in precedenza

 

 L = \lim_{\Delta x \to 0}{\sum_{k=1}^{n}{F_{k} \Delta x}}

 

Quel che abbiamo scritto è di fatto equivalente all'integrale:

 

 L = \int_{x_{i}}^{x_{f}}{F(x) \: dx}

 

ed eccoci così giunti alla definizione di lavoro di una forza variabile, dove con xi e xf indichiamo rispettivamente la posizione iniziale e finale del corpo soggetto alla forza variabile.

 

Quale formula del lavoro usare?

 

Notiamo che, in riferimento al caso di una forza e di uno spostamento che avvengono in una dimensione, quella che abbiamo scritto è un'espressione più generale del lavoro rispetto a quella della lezione precedente. Infatti, se la forza dovesse essere costante, allora grazie alle proprietà degli integrali potremmo portarla fuori dal segno di integrale, e ottenere:

 

 L = F \int_{x_{i}}^{x_{f}}{dx} = F [x]_{ x_{i}}^{ x_{f}} = F \left(x_{f} - x_{i} \right)

 

Ma la differenza tra la posizione finale e quella iniziale ci dà lo spostamento e così ci siamo ricondotti alla formula per il lavoro di una forza costante:

 

L = Fs

 

ovvero la definizione del lavoro che già conosciamo, nel caso in cui forza e spostamento siano vettori paralleli.

 

Significato geometrico del lavoro di una forza costante o variabile

 

Ora un'osservazione di natura analitica: in Matematica l'integrale definito ha un significato geometrico ben preciso: esso equivale infatti all'area sottesa dal grafico della funzione integranda sull'intervallo di integrazione. Essendo la forza F(x) una funzione della variabile x, possiamo rappresentarne il grafico su un piano cartesiano.

 

Ad esempio, supponiamo che F(x) abbia come grafico quello rappresentato nella seguente figura.

 

 

Lavoro di una forza variabile

 

 

Da qui è immediato ricavare il significato geometrico del lavoro: essendo l'integrale definito tra xi e xf della forza F(x), esso equivale all'area sottesa al grafico della funzione della forza.

 

Ciò è sempre vero, indipendentemente dal tipo di dipendenza della forza dalla coordinata x e quindi dal tipo di grafico ottenuto. Nel caso di una forza costante, il grafico sarà una retta orizzontale e quindi avremo a che fare con l'area di un rettangolo di base pari allo spostamento s e di altezza pari al valore della forza. L'area del rettangolo (base per altezza) equivale quindi al valore del lavoro per una forza costante, secondo la formula scritta poco sopra.

 

 


  

Non vogliamo mettere troppa carne sul fuoco, dunque ci fermiamo qui. Vi invitiamo calorosamente a leggere le lezioni successive: nella prossima tratteremo l'espressione generale del lavoro nel caso di una forza variabile e di uno spostamento lungo una traiettoria in più dimensioni (rettilinea o curvilinea).

 

Più avanti invece mostreremo come calcolare il lavoro per alcuni tipi di forze notevoli. Nel frattempo, se vi servissero altri esempi o esercizi svolti, potete usare la barra di ricerca interna: qui su YM ci sono tantissimi esercizi risolti e spiegati passo-passo. ;)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Alessandro Catania (Alex)

 

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