Il lavoro

Il lavoro è una grandezza fisica inizialmente difficile da comprendere perché, a differenza di altre grandezze come la velocità o la forza, è decisamente meno intuitiva.

 

Nelle lezioni successive avremo modo di vedere che il lavoro è energia trasferita ad un corpo mediante le forze che agiscono su di esso; per il momento però ci basta dare la definizione di lavoro e per farlo abbiamo bisogno di una forza \vec{F} e di uno spostamento \vec{s} compiuto dal corpo soggetto alla forza.

 

Qui proporremo la definizione di lavoro di una forza costante nel caso di uno spostamento rettilineo, che poi è il protagonista delle applicazioni e degli esercizi che si affrontano a scuola e all'università.

 

Nelle lezioni successive, dedicate prevalentemente agli studenti universitari, estenderemo la definizione prima al caso delle forze variabili con spostamenti rettilinei e poi al caso delle forze variabili con spostamenti curvilinei, con lo scopo di completare il quadro teorico.

 

Definizione e formula del lavoro in Fisica

 

Data una forza costante \vec{F} esercitata su un corpo che effettua uno spostamento rettilineo \vec{s}, possiamo scrivere la formula del lavoro, che ne fornisce la definizione

 

 

 L = \vec{F} \cdot \vec{s}

 

 

A parole il lavoro è il prodotto tra la forza e lo spostamento. Ok, ma dato che forza e spostamento sono grandezze vettoriali, quale tipo di prodotto viene indicato nella formula precedente?

 

Il prodotto che compare nella definizione di lavoro è un prodotto scalare. Ciò implica che il lavoro è una grandezza scalare, cioè un numero dotato di un'unità di misura e non un vettore.

 

A prescindere dal fatto che abbiate dimestichezza con il prodotto scalare, la formula del lavoro può essere riscritta in una forma equivalente:

 

 

 L = F s \cos(\alpha)

 

 

dove con \cos(\alpha) indichiamo il coseno dell'angolo compreso tra i vettori \vec{F},\ \vec{s}.

 

Attenzione: la nozione di prodotto scalare non viene studiata alle scuole superiori, ma solo all'università. Ciò comunque non toglie che il concetto di lavoro possa essere anche studiato alle superiori perché, come vedremo qui di seguito, negli studi non universitari si considerano solamente casi particolari che semplificano notevolmente la formula del lavoro. ;)

 

 

Il lavoro

 

 

L'unità di misura del Sistema Internazionale per il lavoro è data dal prodotto dei newton (forza) e dei metri (spostamento). Tale prodotto porta alla definizione di una nuova unità di misura: il joule (simbolo J).

 

1\mbox{ J}=1\ \mbox{ N}\cdot 1\mbox{ m}

Esempi sul lavoro

 

Come abbiamo anticipato poco sopra, ci sono diversi esempi sul lavoro che costituiscono casi particolari in cui le formule si semplificano parecchio. Tali casi particolari si riferiscono a specifiche direzioni di applicazione della forza per un certo spostamento, e sono il punto di partenza da cui si inizia a studiare il lavoro in Fisica.

 

 

Lavoro di una forza parallela allo spostamento

 

Se trasciniamo orizzontalmente un oggetto sul pavimento, questo si muoverà in orizzontale. Ciò significa che la forza e lo spostamento sono vettori paralleli e l'angolo tra essi compreso è nullo.

 

 

Lavoro di una forza parallela allo spostamento

 

 

Bisogna però distinguere due casi: se la forza e lo spostamento sono vettori concordi, cioè con lo stesso verso, allora il lavoro è positivo e viene chiamato lavoro motore. Se invece i due vettori sono discordi, cioè con versi opposti, allora il lavoro è negativo e si parla di lavoro resistente.

 

Nel caso di vettori paralleli e concordi l'angolo è 0 e il coseno di 0 è 1; nel caso di vettori paralleli e discordi l'angolo è Π e il coseno di Π è -1 (se non avete ancora studiato la Trigonometria, fidatevi ;) ). Pertanto il lavoro di una forza parallela ad uno spostamento è:

 

 

\\ L=Fs\ \ \ \ \ \mbox{forza e spostamento concordi}\\ \\ L=-Fs\ \ \ \ \ \mbox{forza e spostamento discordi}

 

 

Se vi state chiedendo come sia possibile che, sotto l'effetto di una forza diretta ad esempio all'indietro, il corpo possa muoversi in avanti, pensate ai freni delle auto: essi esercitano una forza che spinge l'auto indietro anche quando questa si muove in avanti.

 

 

Lavoro di una forza perpendicolare allo spostamento

 

Se, ad esempio, camminiamo tenendo una borsa in mano, stiamo esercitando una forza sulla borsa diretta verso l'alto ma lo spostamento della borsa avviene in orizzontale. In un caso del genere forza e spostamento sono perpendicolari e l'angolo α vale 90° (a seconda del sistema di riferimento considerato).

 

 

Lavoro di una forza perpendicolare allo spostamento

 

 

Il lavoro di una forza perpendicolare ad uno spostamento è quindi nullo, perché cos(90°)=0

 

 

L=0

 

 

Un altro esempio sul lavoro in cui forza e spostamento sono perpendicolari è rappresentato dal caso della forza centripeta in un moto circolare uniforme: in ogni punto della circonferenza descritta dal corpo che ruota, la forza è sempre perpendicolare allo spostamento, per cui il lavoro è nullo.

 

 

Lavoro con spostamento nullo o con forza nulla

 

Il lavoro è nullo anche nel caso in cui la forza che stiamo considerando è nulla oppure è nullo lo spostamento. A titolo di esempio, se spingiamo un muro con una certa forza non compiamo alcun lavoro perché il muro non si muove, perciò lo spostamento del corpo soggetto alla forza è nullo.

 

Non fatevi ingannare dal significato che viene dato al lavoro nel linguaggio comune: in fisica il lavoro ha un significato preciso e non è legato al concetto di sforzo fisico. Nel caso del signore che cammina con la borsa in mano, per quanto alla lunga possa essere faticoso reggere la borsa, dal punto di vista fisico non si sta compiendo alcun lavoro perché forza e spostamento sono perpendicolari.

 

Perché il prodotto scalare nella definizione di lavoro in Fisica?

 

Analizzando la definizione di lavoro vi siete per caso chiesti perché il lavoro venga definito come prodotto scalare e non come semplice prodotto dei moduli dei due vettori?

 

Per comprendere il motivo possiamo fare riferimento ad un opportuno esempio. Pensiamo ad un bambino che tira con una corda un camioncino, il quale si sposta orizzontalmente sul pavimento. La forza \vec{F} del bambino è inclinata di un angolo \alpha rispetto all'orizzontale.

 

 

Prodotto scalare nella definizione del lavoro

 

 

Ciò che fa muovere il camioncino non è la forza \vec{F}, bensì la componente della forza lungo l'asse x. I teoremi trigonometrici sui triangoli rettangoli ci rammentano che tale componente si calcola, in modulo, come:

 

 F_{x} = F \cos(\alpha)

 

La componente Fx e lo spostamento sono paralleli e dunque il lavoro è dato da

 

L=[F\cos(\alpha)]s=Fs\cos(\alpha)

 

Di fatto abbiamo ottenuto la formula del lavoro che avevamo già scritto quando abbiamo esplicitato il prodotto scalare. Questo esempio fornisce una giustificazione algebrica per la presenza del prodotto scalare nella definizione del lavoro.

 

Chi è avvezzo allo studio dell'Algebra Lineare può giungere alla stessa conclusione ricordando che il prodotto scalare permette di moltiplicare il modulo di un vettore per il modulo della componente di un secondo vettore scomposto lungo la direzione individuata dal primo. ;)

 

Calcolo del lavoro in più dimensioni per scomposizione sulle componenti

 

Immaginiamo di aver un sistema fisico in due dimensioni, in cui agisce una forza costante \vec{F} su un corpo che effettua uno spostamento rettilineo \vec{s}. Dato che siamo in grado di scegliere un sistema di riferimento comodo e di determinare opportunamente le componenti della forza lungo gli assi, possiamo servirci di un modo alternativo per calcolare il lavoro.

 

Per arrivare alla formula che ci semplificherà i calcoli, possiamo scrivere i vettori forza e spostamento come somma delle proprie componenti lungo gli assi

 

\\ \vec{F} = \vec{F}_x+\vec{F}_y=F_{x} \hat{i} + F_{y} \hat{j} \\ \\ \vec{s} = \vec{\Delta x}+\vec{\Delta y}=\Delta x \hat{i} + \Delta y \hat{j}

 

dove \hat{i},\ \hat{j} indicano i versori degli assi cartesiani. In questo modo il lavoro dato dal loro prodotto scalare è:

 

\\ L=\vec{F}\cdot \vec{s}=(F_{x} \hat{i} + F_{y} \hat{j})\cdot (\Delta x \hat{i} + \Delta y \hat{j})

 

Ricordando che

 

\hat{i}\cdot \hat{i}=1,\ \ \ \hat{j}\cdot \hat{j}=1,\ \ \ \hat{i}\cdot \hat{j}=0

 

otteniamo

 

 L = F_{x} \Delta x + F_{y} \Delta y

 

Da qui deduciamo che per calcolare il lavoro di una forza in due dimensioni possiamo calcolare il lavoro compiuto dalle singole componenti della forza, lungo le rispettive direzioni, per poi sommarle.

 

In tre dimensioni vale un discorso del tutto analogo:

 

 L = F_{x} \Delta x + F_{y} \Delta y + F_{z} \Delta z

 

Lavoro di più forze

 

Per concludere, nel caso di un corpo su cui agiscono più forze, il lavoro va calcolato separatamente per ciascuna forza mentre il corpo si sposta. Il lavoro complessivo è quindi dato dalla somma dei singoli lavori trovati.

 

 


 

Per il momento ci fermiamo qui. Nelle lezioni successive approfondiremo la nozione di lavoro in lungo e in largo passando a considerare il caso del lavoro di una forza variabile. Più avanti mostreremo come calcolare il lavoro nel caso di forze specifiche e vedremo qual è il legame tra lavoro ed energia, dopodiché introdurremo una nuova grandezza definita a partire dal lavoro: la potenza.

 

Se siete alla ricerca di altri esempi o di esercizi svolti vi suggeriamo di usare la barra di ricerca interna, perché YM pullula di esercizi risolti e spiegati nel dettaglio. ;)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Alessandro Catania (Alex)

 

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