Doppio piano inclinato

Ora che conosciamo il funzionamento delle carrucole, possiamo provare ad impostare le equazioni che ci permettono di risolvere il doppio piano inclinato. Si tratta di due piani inclinati, ognuno col proprio angolo di inclinazione rispetto all'orizzontale, sui quali giacciono due corpi collegati tra di loro mediante una fune che può liberamente scorrere su una carrucola priva d'attrito e di massa trascurabile.

 

 

Doppio piano inclinato

 

Equazioni e formule per il doppio piano inclinato senza attrito

 

Vediamo come impostare le equazioni del doppio piano inclinato nel caso più semplice in cui ciascuno dei due piani inclinati siano privi d'attrito.

 

Nello studio del doppio piano inclinato dobbiamo innanzitutto disegnare il diagramma delle forze che agiscono su ciascuno dei due corpi presenti sui rispettivi piani inclinati.

 

Nello studio di ciascuno dei due corpi considereremo un sistema di riferimento opportunamente scelto. In entrambi i casi considereremo un piano cartesiano con l'asse x parallelo al piano su cui giace il corpo e l'asse y perpendicolare al piano; tra un attimo ci occuperemo della scelta del verso delle ascisse e delle ordinate crescenti. ;)

 

Nel disegnare il diagramma delle forze dobbiamo come sempre scomporre le forze agenti su ciascun corpo individuandone le componenti sugli assi. Quali sono le forze in gioco sui singoli blocchi?

 

- La forza peso;

 

- la reazione vincolare del piano;

 

- la tensione della fune;

 

- la forza di attrito non è presente nel nostro modello;

 

Ricordiamoci che l'angolo che il piano forma con l'orizzontale è lo stesso che si forma tra il vettore forza peso e la sua componente lungo l'asse y. Lo si può dedurre facilmente considerando i rispettivi triangoli rettangoli e osservando che disponiamo di una coppia di angoli opposti al vertice.

 

 

Diagramma delle forze doppio piano inclinato

 

 

Come sapete, la componente lungo y della forza peso è perfettamente bilanciata dalla reazione vincolare del piano, pertanto su questo asse il corpo non è soggetto ad alcun moto (forza risultante uguale a zero). Consideriamo allora solo le forze dirette lungo l'asse x guardando un corpo alla volta.

 

Il corpo 1 è tirato verso il basso dalla componente della forza peso FP,1,x mentre è tirato verso l'alto dalla tensione della fune T. Per il corpo 2 abbiamo una situazione speculare.

 

Ora dobbiamo scegliere i versi per gli assi cartesiani e in particolare per l'asse x per ciascuno dei sistemi di riferimento relativi ai due corpi. Se non siamo in grado di stabilire dai dati del problema quale dei due corpi scenderà lungo il proprio piano trascinando con sé l'altro, facciamo una scelta arbitraria. In fondo, non è sufficiente conoscere il valore delle masse per capire qual è il corpo trainante e quale quello trainato, perché bisogna considerare anche l'inclinazione dei piani: per esempio, la massa maggiore potrebbe essere quella posta sul piano con la minore inclinazione, e questo ci metterebbe in difficoltà nello stabilire quale blocco sale e quale scende.

 

Supponiamo allora, ad esempio, che sia il corpo 2 a scendere. Di conseguenza per il sistema di riferimento del corpo 2 sceglieremo come verso delle ascisse crescenti quello diretto verso il basso, mentre per il sistema di riferimento del corpo 1 sceglieremo come verso delle ascisse crescenti quello diretto verso l'alto.

 

Questa scelta ci permetterà di impostare le equazioni e di attribuire i segni in modo coerente. Per ciascuno dei due corpi presenti sul doppio piano inclinato scriviamo quindi la risultante delle forze eguagliandola alla massa per l'accelerazione, in accordo con la seconda legge di Newton

 

 \begin{cases} \vec{T} +\vec{F}_{P,1,x} = m_{1} \vec{a}_1 \\ \vec{T}+\vec{F}_{P,2,x}= m_{2} \vec{a}_2 \end {cases}

 

Ribadiamo che la tensione della fune viene trasmessa inalterata dalla carrucola. Inoltre, come abbiamo visto nella precedente lezione, anche l'accelerazione è la stessa per i due corpi perché si muovono come un sistema unito

 

 \begin{cases} \vec{T} +\vec{F}_{P,1,x} = m_{1} \vec{a} \\ \vec{T}+\vec{F}_{P,2,x}=m_{2} \vec{a} \end {cases}

 

Ora possiamo riscrivere le equazioni vettoriali specificando i segni di ciascun termine, perché in entrambi i casi stiamo lavorando su una specifica direzione

 

 \begin{cases} T - F_{P,1,x} = m_{1} a \\ F_{P,2,x} - T = m_{2} a \end {cases}

 

Ora grazie ai teoremi trigonometrici per i triangoli rettangoli possiamo scrivere esplicitamente le componenti della forza peso

 

\begin{cases} T - m_{1}g \sin(\alpha) = m_{1} a \\ m_{2} g \sin(\beta) - T = m_{2} a \end {cases}

 

Questo sistema racchiude le formule del doppio piano inclinato, che ci permetteranno di risolvere il problema trovando quello che ci viene chiesto a seconda dei casi. 

 

 \begin{cases} T  = \frac{m_{1} m_{2}}{ m_{1} + m_{2}} g[\sin (\alpha) + \sin (\beta)] \\  \\ a = \frac{g[m_{2} \sin(\beta) - m_{1} \sin(\alpha)]}{ m_{1} + m_{2}}  \end {cases}

 

Ricordatevi che se l'accelerazione risultasse positiva, allora il sistema si muoverebbe nella direzione che abbiamo scelto all'inizio (nel nostro esempio il corpo 2 scende e il corpo 1 sale); se invece l'accelerazione risultasse negativa, allora il sistema si muovebbe nella direzione contraria ma col medesimo valore di accelerazione.

 

Equazioni e formule per il doppio piano inclinato con attrito

 

Ora estendiamo il modello appena visto avvicinandoci al caso reale, e supponiamo di lavorare con un doppio piano inclinato con attrito.

 

In tale eventualità le cose si complicano un po' perché bisogna aggiungere due forze in più. Consideriamo inoltre il fatto che i due piani potrebbero avere coefficienti d'attrito differenti e supponiamo, come prima, che sia il corpo 2 a scendere. Riguardo alla scelta dei sistemi di riferimento, valgono considerazioni del tutto analoghe al caso senza attrito.

 

Tenete sempre presente che le forze d'attrito vanno rappresentate come vettori diretti in verso opposto a quello del moto, e dunque per il corpo 1 la forza di attrito sarà diretta verso il basso (perché il corpo 1 si sposta verso l'alto) mentre per il corpo 2 (che scende verso il basso) sarà diretta verso l'alto.

 

 

Doppio piano inclinato con attrito

 

 

Otteniamo le seguenti equazioni:

 

\begin{cases}\vec{T}+\vec{F}_{P,1,x}+F_{A,1}=m_{1}\vec{a}\\ \vec{T}+\vec{F}_{P,2,x}+\vec{F}_{A,2}=m_2\vec{a}\end{cases}

 

Ok: riscriviamo le equazioni relative ai due blocchi e specifichiamo i segni coerentemente con i sistemi di riferimento scelti

 

 \begin{cases} T - F_{P,1,x} - F_{A,1} = m_{1} a \\ F_{P,2,x} - T - F_{A2} = m_{2} a \end {cases}

 

Scriviamo esplicitamente le componenti delle forze usando le relazioni note

 

\begin{cases} T - m_{1}g \sin(\alpha) - \mu_{1} m_{1} g \cos(\alpha)= m_{1} a \\ m_{2} g \sin(\beta) - T -  \mu_{2} m_{2} g \cos(\beta) = m_{2} a \end {cases}

 

Risolvendo, troviamo:

 

 \begin{cases} T  = \frac{m_{1} m_{2}}{ m_{1} + m_{2}} g[\sin(\alpha) + \sin(\beta) + \mu_{1} \cos(\alpha) - \mu_{2} \cos(\beta)] \\  \\ a = \frac{g[m_{2} \sin(\beta) - m_{1} \sin(\alpha) - \mu_{1} m_{1} \cos(\alpha) - \mu_{2} m_{2} \cos(\beta)]}{ m_{1} + m_{2}} \end {cases}

 

Anche in questo caso, il segno dell'accelerazione ci dirà se la direzione del moto da noi scelta è giusta o sbagliata.

 

 


 

Nella lezione successiva presenteremo un concetto importantissimo nello studio della Dinamica: il lavoro. Intanto chiunque volesse consultare altri esempi e vedere un po' di esercizi svolti può usare la barra di ricerca interna. Qui su YM ci sono migliaia di esercizi risolti e commentati! ;)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Alessandro Catania (Alex)

 

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