Carrucola

Veniamo ad alcuni degli esercizi più amati in assoluto dai professori di fisica. Si tratta degli esercizi in cui compaiono le carrucole, dove con carrucola si intende quel tipo di sostegno che, ruotando, permette alle funi che collegano più corpi di scorrere, assecondandone il movimento.

 

Sistemi fisici con una carrucola o più carrucole

 

Quando si modellizzano i sistemi ad una carrucola o con più carrucole ci sono diverse semplificazioni che vengono introdotte per agevolarne lo studio. Normalmente si considerano carrucole ideali, le quali godono delle seguenti proprietà:

 

1) sono prive di massa e prive di attrito, di conseguenza non sono elementi attivi: per semplicità ci si limita al caso in cui le carrucole non esercitano forze sul sistema;

 

2) trasmettono la tensione dei fili senza alterarla;

 

3) i corpi collegati da una carrucola ideale presentano la medesima accelerazione.

 

La presenza delle carrucole, seppur ideali, è comunque importante per impostare correttamente e coerentemente le equazioni.

 

Come abbiamo anticipato, qui di seguito proponiamo lo studio di alcuni modelli e sistemi fisici con le carrucole, in modo da capire come effettuare l'analisi dinamica e lo studio delle forze coinvolte. Naturalmente tratteremo i casi che ricorrono più frequentemente nelle applicazioni.

 

Carrucola con attrito e corpo libero

 

Il primo modello che consideriamo è quello di una carrucola con due corpi collegati, di cui uno soggetto all'attrito di un piano orizzontale e un altro sospeso. Osserviamo la seguente figura

 

 

Carrucola

 

 

Il corpo 1 appeso in verticale tenderà a muoversi verso il basso sotto l'effetto della forza di gravità. Essendo però collegato al corpo 2 tramite una fune libera di muoversi sulla carrucola, il corpo 1 tenderà a trascinare con sé il corpo 2.

 

Per capire come si muove il sistema, abbiamo bisogno di rappresentare tutte le forze che agiscono su entrambi i corpi.

 

 

Diagramma delle forze in un sistema ad una carrucola

 

 

Consideriamo un sistema di riferimento con l'asse delle x coincidente con l'orizzontale (e verso delle x crescenti rivolto verso destra) e con l'asse delle y coincidente con la verticale (e verso delle y crescenti rivolto verso il basso).

 

Studiamo le forze che agiscono sulle due masse del sistema. L'obiettivo consiste nel determinare il valore della tensione agente sulle due masse scrivendo la seconda legge di Newton relativa alle componenti x e y, per cui dobbiamo determinare la risultante delle forze agenti lungo l'asse x e lungo l'asse y, separatamente. 

 

Il corpo 1 è soggetto alla forza peso che lo tira verso il basso e alla tensione della fune che cerca di trattenerlo verso l'alto. Tenendo conto che tutta l'accelerazione è concentrata lungo l'asse y, l'equazione delle forze sarà data da:

 

\vec{F}_{P,1}+\vec{T}=m\vec{a}_1\ \ \ \ \ (\mbox{II legge di Newton})

 

Dato che le entrambe le forze sono concentrate sull'asse y, possiamo riscrivere la relazione vettoriale specificando i segni. Attenzione: i segni devono essere coerenti con la scelta del nostro sistema di riferimento!

 

 F_{P,1} - T = m_{1} a_1

 

Guardando il corpo 2 invece, abbiamo la tensione della fune che lo tira verso destra, che viene trasmessa dalla carrucola tale e quale rispetto a quella esercitata sul corpo 1, e la forza d'attrito, che tende ad opporsi al movimento. Poiché l'accelerazione è tutta concentrata sull'asse delle x, risulta

 

\vec{T}-\vec{F}_A=m_2\vec{a}_2

 

ossia

 

 T - F_{A} = m_{2} a_2

 

Possiamo tralasciare lo studio delle forze agenti sul corpo 2 lungo l'asse y perché ininfluenti ai fini del nostro scopo.

 

Ora, prima di procedere, dobbiamo tenere presenti due importantissime caratteristiche delle carrucole ideali:

 

- la tensione esercitata dal filo e agente sui due corpi viene trasmessa inalterata dalla carrucola;

 

- trattandosi di un sistema collegato, ogni corpo ha la stessa identica accelerazione e pertanto non è necessario distinguere le accelerazioni dei due corpi in a1 e a2. Chiamiamo quindi il valore comune dell'accelerazione a.

 

a_1=a_2=a\ \ \ (\mbox{in modulo})

 

 

Alla luce di tali informazioni, se poniamo le due equazioni a sistema possiamo ricavare l'accelerazione o la tensione della fune, a seconda di ciò che ci viene richiesto dal problema / esercizio.

 

 \begin{cases} F_{P,1} - T = m_{1} a \\ T - F_{A} = m_{2} a \end{cases}

 

da cui

 

\begin{cases} m_{1}g - T = m_{1} a \\ T - \mu m_{2} g = m_{2}a \end{cases}

 

Carrucola con piano inclinato

 

Consideriamo ora un caso leggermente più complesso rispetto al precedente: quello di una carrucola con due masse e un piano inclinato. Qui abbiamo ancora una carrucola ed un corpo sospeso, mentre l'altro corpo giace su un piano inclinato, come in figura.

 

 

Carrucola con piano inclinato

 

Per quanto abbiamo visto nell'esempio precedente, la carrucola collega i due corpi facendo in modo che essi si muovano assieme con la medesima accelerazione.

 

Tra il corpo 2 e il piano c'è un certo coefficiente di attrito. La questione è: quale dei due blocchi cade? Verrebbe da dire: il corpo 1 perché, essendo in verticale, è sollecitato dalla forza peso più di quanto non accada per il secondo corpo, visto che quest'ultimo scende con una certa inclinazione anziché in verticale.

 

In realtà, se attribuiamo al corpo 1 una massa di 100 g e al corpo 2 una massa di 275 kg, quale dei due corpi cadrà tirandosi con sé l'altro? Ovviamente il secondo, giusto?

 

Il punto è che per determinare qual è il corpo trainante e qual è il corpo trainato bisogna tenere conto delle masse dei due corpi, ma non solo. Anche l'inclinazione del piano incide sulla dinamica del sistema, così come il coefficiente d'attrito tra piano e massa: più sarà alto, più si opporrà al moto del secondo blocco.

 

Se non siamo in grado di capire in che direzione si muoverà il sistema, e dunque abbiamo un dubbio su come impostare le equazioni, procediamo facendo una scelta a caso. Saranno i segni dei risultati finali a dirci se la nostra scelta è stata concorde o discorde rispetto al sistema considerato. ;)

 

Stabiliamo per esempio che sia il corpo 1 a scendere e, di conseguenza, che il corpo 2 risalga lungo il piano, ed impostiamo così le equazioni. Di conseguenza nello scrivere l'equazione per il corpo 1 supporremo che l'asse y sia orientato verso il basso, mentre nel caso del corpo 2 considereremo un asse y orientato verso l'alto e l'asse delle x orientato verso destra.

 

\\ \begin{cases}\vec{F}_{P,1}+\vec{T}=m\vec{a}\\ \vec{F}_{P,2,x}+\vec{T}+\vec{F}_A=m_2\vec{a}\end{cases}

 

Notate che abbiamo trascurato le forze sul corpo 2 perpendicolari al piano, perché ininfluenti.

 

\begin{cases} F_{P,1} - T = m_{1}a \\ T - F_{P,2,x} - F_{A} = m_{2}a \end{cases}\ \ \ \mbox{occhio ai segni}!

 

Come al solito le formule goniometriche per triangoli rettangoli sono preziose come l'oro ;)

 

\begin{cases} m_{1}g - T = m_{1}a \\ T - m_{2}g \sin(\alpha)- \mu m_{2}g \cos(\alpha)= m_{2}a \end{cases}

 

A questo punto possiamo ricavare l'accelerazione dei due corpi ricordandoci che è la stessa per entrambi, così come è la stessa la tensione della fune che compare nelle due equazioni del sistema.

 

\begin{cases} T = m_{1}g - m_{1}a \\ T - m_{2}g \sin(\alpha) - \mu m_{2}g \cos(\alpha) = m_{2}a \end{cases}

 

Sostituiamo l'espressione della tensione della prima equazione nella seconda

 

\begin{cases} T = m_{1}g - m_{1}a \\ m_{1}g - m_{1}a - m_{2}g \sin(\alpha) - \mu m_{2}g \cos(\alpha) = m_{2}a \end{cases}

 

Qualche conto

 

 \begin{cases} T = m_{1}g - m_{1}a \\ m_{1}a + m_{2}a = m_{1}g - m_{2}g \sin(\alpha)- \mu m_{2}g\cos(\alpha) \end{cases}

 

e finalmente ci siamo

 

\begin{cases} T = m_{1}g - m_{1}a \\ \\ a = \frac{ m_{1}g - m_{2}g \sin(\alpha) - \mu m_{2}g \cos(\alpha) }{m_{1} + m_{2}} \end{cases}

 

Si noti che, come abbiamo anticipato, l'accelerazione dipende dalle masse m_1,m_2 dei due corpi, dal coefficiente d'attrito \mu e dall'inclinazione \alpha del piano.

 

Una volta trovata l'espressione dell'accelerazione, si tratta di fare i conti con i dati del problema. Se troviamo un valore positivo, allora vuol dire che la scelta su quale corpo si sarebbe mosso tirandosi dietro l'altro è corretta, altrimenti se l'accelerazione è negativa allora la scelta fatta è opposta rispetto al sistema reale.

 

In entrambi i casi il valore numerico dell'accelerazione trovata è corretto, così come l'eventuale valore della tensione. Ciò significa che, nel caso abbiate fatto la scelta sbagliata, non dovete assolutamente reimpostare tutto daccapo perché tanto i valori numerici dei risultati non cambierebbero! ;)

 

 


 

Ci fermiamo qui. I due tipi di sistemi con carrucole che abbiamo studiato sono quelli che ricorreranno maggiormente negli esercizi e nelle applicazioni. Non lasciatevi spaventare dal fatto che abbiamo preferito limitarci all'impostazione generale senza valori numerici: quando si affrontano esercizi sulle carrucole è importante capire la logica e impostare correttamente le equazioni, i semplici calcoli sono una banale conseguenza. Molto più in là tratteremo il caso delle carrucole con massa non trascurabile.

 

Ad ogni modo se volete consultare un po' di esercizi svolti sui sistemi con carrucola potete usare la barra di ricerca interna: YM è stracolmo di esercizi risolti e spiegati nel dettaglio. :)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Alessandro Catania (Alex)

 

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