Equilibrio delle forze: equilibrio statico e dinamico

Un importantissima condizione che caratterizza certi sistemi meccanici è la cosiddetta condizione di equilibrio, la quale a partire dalla quiete o dal moto rettilineo uniforme dei corpi permette di effettuare un'analisi dinamica completa dei sistemi.

 

Qui di seguito parleremo dell'equilibrio delle forze e vedremo la differenza che intercorre tra l'equilibrio statico e l'equilibrio dinamico. Nel frattempo considereremo opportuni esempi e mostreremo come utilizzare la condizione di equilibrio per risolvere i problemi e gli esercizi sia in una che in due dimensioni, riducendo lo studio delle forze alle componenti sugli assi cartesiani.

 

Pronti per cominciare? :)

 

In cosa consiste l'equilibrio delle forze?

 

Abbiamo già visto che se la forza risultante applicata a un punto materiale è pari a zero, allora per il primo principio della Dinamica il punto è in quiete oppure si muove di moto rettilineo uniforme. In questa situazione, si dice che il punto è in equilibrio e si parla di equilibrio delle forze.

 

Dunque la condizione affinché un punto sia in equilibrio è la risultante delle forze sia nulla

 

 \vec{F}_{ris} = 0

 

o, in modo del tutto equivalente, la somma vettoriale delle forze deve essere nulla

 

 \sum_{k=1}^{n}{\vec{F}_{k}} = 0

 

dove, con l'operatore sommatoria, indichiamo la somma vettoriale delle n forze che agiscono sul punto.

 

Equilibrio statico

 

Nel caso in cui il punto rimanga in quiete e la risultante delle forze sia nulla, si parla di equilibrio statico.

 

Vediamo subito dei casi pratici in cui si ha equilibrio statico considerando forze disposte lungo una sola direzione.

 

Abbiamo un fermacarte appoggiato sul tavolo; esso è in equilibrio perché la forza risultante è nulla. Infatti la forza peso che lo tira verso il basso, è perfettamente controbilanciata dalla reazione vincolare del tavolo che lo sorregge.

 

Pertanto:

 

\vec{F}_p+\vec{R}_v=0

 

Dal momento che stiamo lavorando lungo una direzione possiamo riscrivere i vettori specificando i rispettivi versi con i segni. Se consideriamo come verso delle coordinate crescenti quello rivolto verso l'alto, abbiamo

 

-F_p+R_v=0

 

 

Consideriamo ora un sacco da pugilato appeso al soffitto di un palestra. Quando nessuno si sta allenando, il sacco è fermo ed è in equilibrio: la sua forza peso è bilanciata dalla tensione della fune che lo sorregge dall'alto, per cui:

 

\vec{T}+\vec{F}_p=0

 

Anche qui possiamo riscrivere i vettori specificando i segni, perché il problema è unidimensionale; e anche qui consideriamo come verso delle coordinate crescenti quello rivolto verso l'alto.

 

T-F_{p}=0

 

 

Ora passiamo a considerare l'equilibrio statico nel caso di forze in due dimensioni.

 

Osserviamo la seguente figura

 

 

Equilibrio statico delle forze

 

 

Il semaforo è sorretto da due funi con inclinazione diversa rispetto alla verticale. Ci troviamo di fronte ad un problema in due dimensioni dove, per avere equilibro statico, dobbiamo avere una forza risultante nulla. Nella pratica per semplificare lo studio e l'analisi del problema imporremo che la risultante delle forze sia nulla su entrambi gli assi cartesiani, separatamente.

 

Fissiamo allora un sistema di riferimento con l'asse y in verticale (ordinate crescenti verso l'alto) e l'asse x in orizzontale (ascisse crescenti verso destra), con origine nel punto di aggancio delle funi sul semaforo, e scomponiamo le tensioni lungo i due assi. In questo frangente dovremo fare abbondante uso delle formule goniometriche per triangoli rettangoli.

 

Consideriamo solo l'asse x. Abbiamo due forze discordi e, per avere equilibrio statico, esse dovranno avere lo stesso modulo cosicché la loro somma sia nulla. Scriviamo quindi la somma vettoriale delle componenti la quale, riferendosi ad un asse, si riduce ad un confronto tra moduli con segno:

 

 

\begin{matrix}\mbox{Asse }x:\ \ \ & & \vec{T}_{1x} + \vec{T}_{2x} & = & 0 \\ & & & & \\ & \to\ & T_{1x} - T_{2x} & = & 0 \\ & & & & \\ & \to\ & T_{1x} & = & T_{2x}\\ & & & & \\ & \to\ & T_{1}\sin(\alpha) & = & T_2\sin(\beta)\end{matrix}

 

 

Consideriamo ora l'asse y: per avere equilibrio, deve essere verificata la seguente condizione

 

 

\begin{matrix}\mbox{Asse }y:\ \ \ & & \vec{T}_{1y} + \vec{T}_{2y}+\vec{F}_p & = & 0 \\ & & & & \\ & \to\ & T_{1y} + T_{2y}-F_p & = & 0 \\ & & & & \\ & \to\ & T_{1x}+T_{2y} & = & F_p\\ & & & & \\ & \to\ & T_{1}\cos(\alpha)+ T_2\cos(\beta) & = & F_p\end{matrix}

 

 

Complessivamente, il semaforo è in equilibrio se le due condizioni scritte su i due assi sono entrambe verificate; deve cioè essere verificato il sistema:

 

 

 \begin{cases} T_{1} \sin(\alpha)= T_{2} \sin(\beta) \\  T_{1} \cos(\alpha) + T_{2} \cos(\beta) = F_{p} \end{cases}

 

 

Il metodo proposto negli esempi considerati è standard e ci permetterà di studiare qualsiasi sistema meccanico in equilibrio statico. Nella pratica si tratta di imporre l'equilibrio per le componenti delle forze su ciascun asse, e di ricavare così tutte le informazioni richieste risolvendo un'opportuna equazione o un sistema, a seconda che il problema si riferisca al caso unidimensionale o bidimensionale.

 

A ben vedere, dopo aver introdotto il secondo principio della Dinamica e il concetto di risultante delle forze, avevamo già applicato questo procedimento nel caso del piano inclinato. Ve ne ricordate? :)

 

Equilibrio dinamico

 

Se la forza risultante è nulla e il corpo è in moto, dal primo principio della Dinamica sappiamo che esso si muove a velocità costante. In una situazione del genere si parla di equilibrio dinamico perché l'accelerazione del corpo è nulla.

 

La trattazione matematica in effetti non è diversa da quella vista nel caso dell'equilibrio statico. Se trasciniamo un divano sul pavimento di casa e questo si muove a velocità costante, ciò significa che la forza esercitata sul divano è perfettamente controbilanciata dalla forza di attrito dinamico. La risultante è così zero e il moto che ne deriva è rettilineo uniforme.

 

Se spingiamo il carrello della spesa a velocità costante con una forza inclinata di un angolo \alpha rispetto all'orizzontale, dobbiamo di nuovo scomporre le forze lungo la direzione dei due assi cartesiani e impostare la condizione di equilibrio su entrambi gli assi.

 

Come sistema di riferimento scegliamo l'orizzontale come asse delle x e la verticale come asse delle y, con gli usuali versi che si adottano nella rappresentazione standard del piano cartesiano.

 

 

Equilibrio dinamico delle forze

 

Lungo l'asse y abbiamo:

 

 

\begin{matrix}\mbox{Asse }y:\ \ \ & & \vec{F}_{y} + \vec{F}_{P}+\vec{R}_v & = & 0 \\ & & & & \\ & \to\ & -F_{y}-F_p+R_v & = & 0 \\ & & & & \\ & \to\ & F_y+F_{P} & = & R_v\\ & & & & \\ & \to\ & F\sin(\alpha)+ F_p & = & R_v\end{matrix}

 

 

Sull'asse x invece la sola componente orizzontale di F è controbilanciata dalla forza di attrito dinamico:

 

 

\begin{matrix}\mbox{Asse }x:\ \ \ & & \vec{F}_{x} + \vec{F}_{A} & = & 0 \\ & & & & \\ & \to\ & F_{x}-F_A & = & 0 \\ & & & & \\ & \to\ & F_x & = & F_A\\ & & & & \\ & \to\ & F\cos(\alpha) & = & F_A\end{matrix}

 

 

Anche in questo caso, le due condizioni devono essere entrambe verificate per avere l'equilibrio dinamico del corpo, e pertanto le equazioni appena scritte vanno poste a sistema.

 

 

 \begin{cases} F \sin(\alpha)+F_p=R_v\\ F\cos(\alpha)=F_A\end{cases}

 

 


 

Ogni esercizio avrà una particolare configurazione di forze specifica, che varierà di sistema in sistema, ma se si parla di equilibrio il principio di fondo è sempre lo stesso: la somma vettoriale delle forze deve essere nulla. A titolo di cronaca, molto più avanti estenderemo la nozione di equilibrio statico ai corpi rigidi.

 

Per il momento se volete fare un po' di allenamento e ed eventualmente consultare un po' di esempi ed esercizi svolti, potete usare la barra di ricerca interna: qui su YM ci sono migliaia di esercizi interamente svolti e spiegati nel dettaglio. Vi aspettiamo nella lezione successiva, in cui tratteremo i sistemi con le carrucole. ;)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Alessandro Catania (Alex)

 

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