Tensione dei fili

Capita spesso di dover risolvere esercizi sulle forze in cui compaiono fili o corde. Bisogna tenerne conto perché i fili non sono elementi utili solamente per descrivere un sistema fisico, ma sono anche soggetti attivi che esercitano forze e che vanno pertanto assolutamente tenuti in considerazione.

 

A questo proposito vediamo in cosa consiste la tensione dei fili, come si definisce e quali sono le proprietà fisiche dei fili e della tensione che esercitano.

 

Tensione di un filo

 

Per introdurre la tensione dei fili consideriamo un esempio. Quando facciamo ruotare una pallina all'estremità di un filo, quest'ultimo si tende esercitando una forza che permette alla pallina di ruotare e di non scappare via. Questa forza viene chiamata tensione e non ha una propria formulazione particolare (come nel caso della forza di attrito o della forza elastica); di conseguenza, l'unico modo per determinare il valore della tensione di un filo prevede di lavorare con le equazioni che descrivono le forze in gioco nel sistema che consideriamo.

 

Immaginiamo di avere una nostra pallina di 130 g che ruota su un piano orizzontale con una velocità costante in modulo di 10 m/s attaccata all'estremità di un filo inestensibile (ovvero di lunghezza costante) lungo 50 cm. In questo caso (e di norma, in generale) trascuriamo la massa del filo perché è irrilevante rispetto alle masse degli altri corpi presi in considerazione. Ciò ci permette di semplificare la trattazione del problema, che altrimenti risulterebbe decisamente più complessa.

 

Vogliamo calcolare la tensione del filo.

 

Dobbiamo considerare che la tensione richiesta è la forza centripeta che costringe la pallina a muoversi di moto circolare uniforme. In assenza di tale forza (ossia se il filo si dovesse spezzare) la pallina partirebbe per la tangente, cioè proseguirebbe di moto rettilineo uniforme lungo la direzione della tangente alla circonferenza nel punto in cui è avvenuto il distacco dal filo.

 

Uguagliamo quindi la tensione del filo, che chiamiamo T, all'espressione della forza centripeta ed eseguiamo i conti, ricordandoci di convertire correttamente le unità di misura date in quelle del Sistema Internazionale (chilogrammi e metri).

 

 T = F_{c} = m \frac{v^{2}}{r} = 0,130 \mbox{ kg} \cdot \frac{100 \ \frac{\mbox{m}^2}{\mbox{s}^2}}{0,50 \mbox{ m}} = 26 \mbox{ N}

 

 

Supponiamo ora di far ruotare la stessa pallina attaccata allo stesso filo, con le medesime condizioni ma su un piano verticale. In questo caso la tensione non è più costante in ogni punto della traiettoria, ma cambia a seconda del punto in cui si trova la pallina.

 

Consideriamo due casi particolari: la posizione della pallina nel punto più alto e nel punto più basso della circonferenza, e proviamo a disegnare lo schema delle forze in questi due casi.

 

 

Tensione di un filo su un piano verticale

 

 

Come vedete, a differenza dell'esempio precedente, non possiamo fare a meno di considerare la forza peso che gioca un ruolo determinante nel sistema in esame. Nel punto più alto, tensione e forza peso sono vettori concordi che puntano entrambi verso il centro della circonferenza, pertanto scriveremo la seguente equazione:

 

 T + F_{p} = F_{c}

 

da cui

 

 T=F_c-F_p

 

Se invece consideriamo il punto più basso della circonferenza, allora la tensione e la forza peso sono discordi e l'equazione delle forze diventa:

 

T - F_{p} = F_{c}

 

per cui la tensione del filo nel punto considerato è data da

 

T=F_{p}+F_{c}

 

 

Se volessimo trovare la tensione in un punto qualsiasi della circonferenza, dovremmo considerare solo la componente della forza peso diretta lungo la direzione data dal raggio (detta direzione radiale), come in figura

 

 

Tensione del filo in un punto qualsiasi della traiettoria

 

 

Per ottenere la componente radiale della forza peso ci servono i soliti teoremi trigonometrici per triangoli rettangoli, e l'equazione delle forze diventa:

 

 T - F_{p} \cos \alpha = F_{c}

 

da cui possiamo ricavare la tensione del filo in corrispondenza del punto della traiettoria che abbiamo considerato.

 

T=F_{p} \cos \alpha+F_{c}

 

Tensione dei fili con due corpi

 

Consideriamo ora un'altra situazione, quella in cui vogliamo determinare la tensione di un filo che collega due corpi.

 

Supponiamo di avere due scatole in un magazzino; la prima scatola, piena di pacchi di pasta, viene tirata verso destra da una forza F. A tale scatola è collegata un'altra scatola di bottiglie di vino tramite una fune. Il piano è privo d'attrito.

 

 

Tensione di una fune

 

 

Questa volta abbiamo un sistema composto da due corpi collegati tra loro mediante una fune (che supponiamo inestensibile e di massa trascurabile). Quando tiriamo verso destra la scatola di pasta, questa metterà in tensione la fune.

 

Essendo la fune un unico corpo, ogni punto della fune è teso allo stesso modo e dunque esercita una forza su entrambi i suoi estremi. Se la scatola di pasta mette in tensione la fune con una forza T, allora la stessa forza T tirerà verso destra la scatola di vino mettendola in moto.

 

A questo punto, per trovare il valore della tensione, dobbiamo considerare un corpo alla volta. Se guardiamo la scatola di pasta, possiamo scrivere:

 

F-T=m_1a\ \ \ \to\ \ \ T=F-m_1a

 

Per la scatola di vino invece, la tensione è l'unica forza presente e dunque scriviamo:

 

T=m_2a

 

Come vedete, mentre abbiamo distinto le due masse, non abbiamo fatto altrettanto con le accelerazioni; questo perché, avendo a che fare con un sistema di corpi collegati tra loro, si muoveranno tutti con il medesimo valore di accelerazione.

 

Possiamo trovare la tensione mettendo a sistema le due equazioni e ricavando l'accelerazione dalla seconda, per poi sostituirla nella prima.

 

\\ \begin{cases} F - T = m_{1} a  \\ T = m_{2} a \end{cases}\\ \\ \\ \begin{cases} F - T = m_{1} a  \\ a = \frac{T}{m_{2}} \end{cases}\\ \\ \\ \begin{cases} F - T = \frac{m_{1}}{m_{2}} T  \\ a = \frac{T}{m_{2}}  \end{cases}\\ \\ \\ \begin{cases} \frac{m_{1}}{m_{2}} T  + T = F \\ a = \frac{T}{m_{2}}  \end{cases}\\ \\ \\ \begin{cases} T \left( \frac{m_{1} + m_{2}}{m_{2}} \right) = F \\ a = \frac{T}{m_{2}}  \end{cases}\\ \\ \\ \begin{cases} T = \frac{m_{2}}{ m_{1} + m_{2}}  \cdot F \\ a = \frac{T}{m_{2}}  \end{cases}

 

L'accelerazione del sistema è dunque:

 

a = \frac{1}{m_{1} + m_{2}} \cdot F

 

Anche in questo caso riusciamo a descrivere tutte le grandezze in gioco nel sistema. :)

 

 


 

Fine della puntata! ;) Nella prossima lezione sospenderemo lo studio dei vari tipi di forze per passare ad un argomento ben più generale ed estremamente ricorrente nella pratica: l'equilibrio delle forze. Prima di procedere, se volete mettervi alla prova consultando un po' di esercizi svolti, potete trovare tutto quello che vi serve qui su YM; la barra di ricerca interna è a vostra disposizione! :)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Alessandro Catania (Alex)

 

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