Forza elastica e legge di Hooke

Proseguiamo con lo studio delle Dinamica e passiamo a presentare un particolare tipo di forza che caratterizza principalmente le molle, e che non a caso viene detta forza elastica.

 

In questa lezione analizzeremo la definizione di forza elastica e tutte le principali proprietà che la contraddistinguono. Nel frattempo ci soffermeremo sulla legge di Hooke, un'importante formula dedotta sperimentalmente che permette di calcolare il valore della forza elastica in modo semplice, e concluderemo la spiegazione con un esempio numerico.

 

Le molle e la forza elastica

 

La forza elastica è un particolare tipo di forza non costante che può essere generata grazie all'uso delle molle.

 

Per presentare la definizione di forza elastica consideriamo una molla di lunghezza L_0  (detta lunghezza a riposo) e immaginiamo di allungarla fino a farle raggiungere la lunghezza L .

 

 

Forza elastica

 

 

La differenza tra la nuova lunghezza raggiunta e quella a riposo è chiamata elongazione e viene indicata con la lettera x:

 

 

 x =L-L_{0}

 

 

Una molla può anche essere compressa anziché allungata: si passa così dalla lunghezza a risposo ad una lunghezza inferiore. La differenza tra le due lunghezze è comunque l'elongazione definita prima, anche se in questo caso sarà negativa.

 

Ogni volta che la molla viene allungata o compressa interviene la forza elastica, che si oppone all'elongazione della molla e la induce a riguadagnare la propria lunghezza iniziale (ossia la lunghezza a riposo).

 

La legge di Hooke - formula della forza elastica

 

La forza elastica generata da una molla che viene allungata o compressa è una forza direttamente proporzionale all'elongazione, ed ha un modulo, una direzione ed un verso che soddisfano una specifica formula, detta legge di Hooke:

 

 

\vec{F}_{e} = - k \vec{x}

 

 

dove \vec{x} è l'elongazione definita in precedenza (si misura in metri) mentre k è detta costante elastica della molla e si misura in newton su metro (N/m).

 

La costante elastica assume valori positivi per definizione e fornisce una misura della rigidità della molla: tanto maggiore è il valore della costante elastica k , tanto più la molla è rigida e dunque sarà più difficile cercare di allungarla o comprimerla.

 

Proprietà della forza elastica mediante la legge di Hooke

 

Analizziamo la legge di Hooke. Intanto ci accorgiamo subito che si tratta di un'equazione vettoriale, poiché sia il primo membro (\vec{F}) sia il secondo (k\vec{x}) sono presenti delle grandezze vettoriali: al membro di destra l'elongazione \vec{x} , al membro di sinistra la forza \vec{F} .

 

Scegliamo ad esempio un sistema di riferimento in cui la molla stia sull'asse x con direzione positiva verso destra. In questo modo l'elongazione è positiva se tiriamo la molla verso destra, mentre è negativa se comprimiamo la molla verso sinistra.

 

Segno meno e forza elastica come forza di richiamo

 

Osserviamo innanzitutto che il segno della x nella legge di Hooke ci aiuta a capire in che modo stiamo deformando la molla.

 

 

Forza elastica ed elongazione

 

 

Ma cosa significa il segno meno presente nella formula della forza elastica? Come si vede nelle due figure precedenti, e come si desume dalla legge di Hooke, la forza elastica è parallela all'elongazione ma ha sempre verso opposto.

 

Notiamo che l'equazione descrive perfettamente il fenomeno fisico: se tiriamo la molla verso destra allungandola, essa cercherà di ripristinare la propria lunghezza a riposo esercitando una forza diretta verso sinistra. Viceversa, se comprimiamo la molla schiacciandola verso sinistra, essa cercherà di tornare alla lunghezza a riposo esercitando una forza verso destra.

 

Il segno meno nella legge di Hooke significa allora che la forza elastica ha verso opposto rispetto all'elongazione. Per questa sua caratteristica, la forza elastica è detta anche forza di richiamo.

 

Tenendo conto del segno della legge di Hooke, per gli allungamenti (x positiva), la forza è negativa mentre per le compressioni (x negativa) la forza è positiva.

 

Proporzionalità della forza elastica rispetto all'elongazione

 

Un'ulteriore proprietà che caratterizza la forza elastica è il legame diretto con l'elongazione della molla. La forza elastica non è costante ma dipende dal valore dell'elongazione: ad una elongazione maggiore corrisponde una maggiore forza.

 

In particolare, poiché stiamo lavorando lungo una direzione fissata, possiamo riscrivere la legge di Hooke nella forma

 

F=-kx

 

da cui si vede che la forza elastica è direttamente proporzionale alla x con costante di proporzionalità k . Quindi se consideriamo un grafico con l'elongazione sull'asse x e il modulo della forza elastica sull'asse y, otteniamo una retta.

 

 

Grafico forza elastica

 

 

La retta passa per l'origine perché se l'elongazione è zero, cioè se la molla non è né compressa né allungata, la forza elastica è chiaramente nulla. In tale circostanza si dice che la molla è a riposo.

 

Inoltre, il coefficiente angolare della retta, è dato dalla costante elastica k.

 

 

Esempio di applicazione della legge di Hooke

 

Vediamo un esempio sul calcolo della forza elastica, che mette in luce un peculiarità di tale forza.

 

In termini di modulo della forza Non c'è nessuna differenza tra il comprimere una molla di una certa lunghezza e l'allungarla della stessa lunghezza. Se, ad esempio, comprimiamo di 0,05 m una molla di costante elastica k = 200 N/m, otterremo una forza in modulo pari a:

 

F=k\cdot x=200\ \frac{\mbox{N}}{\mbox{m}} \cdot 0,05\mbox{ m}=10\mbox{ N}\ \ \ (\bullet)

 

Se invece allunghiamo la stessa molla di 0,05 m, otteniamo una forza identica in modulo alla precedente:

 

F=k\cdot x=200\ \frac{\mbox{N}}{\mbox{m}} \cdot 0,05\mbox{ m}=10\mbox{ N}\ \ \ (\bullet)

 

Numericamente non cambia nulla: ciò che cambia è il verso del vettore forza, che nel primo caso è diretto verso destra

 

\vec{F}=-k\vec{x}=-200\ \frac{\mbox{N}}{\mbox{m}} \cdot (-0,05)\mbox{ m}=+10\mbox{ N}\ \ \ (\bullet\bullet)

 

mentre nel secondo è diretto verso sinistra

 

\vec{F}=-k\vec{x}=-200\ \frac{\mbox{N}}{\mbox{m}} \cdot (+0,05)\mbox{ m}=-10\mbox{ N}\ \ \ (\bullet\bullet)

 

Attenzione perché le relazioni (\bullet) si riferiscono ai moduli, mentre le relazioni (\bullet\bullet) sono vettoriali. Dato che stiamo ragionando su un problema in una dimensione, la direzione è implicita ed il verso viene specificato dal segno del risultato.

 

Validità della legge di Hooke

 

Per concludere dobbiamo specificare che la legge di Hooke è valida per valori della forza elastica che stanno al di sotto di una certa soglia, ovvero al di sotto del valore di quella forza che, esercitata dall'esterno sulla molla, la deformerebbe al punto tale che questa non sarebbe più in grado di ritornare nelle condizioni iniziali. Potete verificare voi stessi l'esistenza di limite elastico con un piccolo esperimento: fintanto che si comprime o si allunga la molla di una penna a scatto di piccole quantità, esse tornano sempre ad avere la loro lunghezza a riposo, ma se si esagera, allora si deformano in maniera irreversibile e non sono più utilizzabili. ;)

 

 


 

Qui abbiamo finito; nella prossima lezione parleremo della forza centripeta. Se siete alla ricerca di altri esempi o di esercizi svolti, non esitate: qui su YM ci sono migliaia di esercizi risolti e spiegati nel dettaglio e potete reperirli agevolmente usando la barra di ricerca interna. ;) 

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Alessandro Catania (Alex)

 

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