Il piano inclinato con attrito

Nella precedente lezione abbiamo presentato il modello del piano inclinato, e abbiamo trattato il caso ideale in cui non si considera la forza d'attrito.

 

E se sul piano inclinato fosse presente l'attrito? In effetti sappiamo bene che l'attrito può essere ridotto fino a renderlo trascurabile in alcuni casi, ma di certo non è mai eliminabile. Per quanto lieve possa essere la resistenza che esercita, l'attrito nel caso reale sarà sempre presente.

 

Formule per il piano inclinato con attrito

 

Come di consueto partiamo da un riepilogo delle formule, che avremo cura di ricavare e commentare nel seguito, in modo da agevolare chi ci sta leggendo per ripassare e chi è in cerca delle formule per la risoluzione degli esercizi.

 

Il sistema di riferimento è quello già adottato nel caso del piano inclinato senza attrito, nonché quello riportato nelle figure che seguono.

 

 

Accelerazione perpendicolare al piano
(corpo inizialmente fermo)

a_y=0

Accelerazione parallela al piano
(corpo inizialmente fermo)

 a_{x} = g \sin (\alpha)-\mu_sg\cos(\alpha)

Angolo critico per l'equilibrio
(corpo inizialmente fermo)

\alpha=\arctan(\mu_{s})

-

-

Accelerazione perpendicolare al piano
(corpo inizialmente in moto)

a_y=0

Accelerazione parallela al piano
(corpo inizialmente in moto)

 a_{x} = g \sin (\alpha)-\mu_dg\cos(\alpha)

Angolo critico
(corpo inizialmente in moto)

\alpha=\arctan(\mu_{d})

- -
Angolo da altezza e lunghezza \sin(\alpha)=\frac{h}{l}

Angolo da base e lunghezza

\cos(\alpha)=\frac{d}{l}

Angolo da altezza e base \tan(\alpha)=\frac{h}{d}

 

 

Diagramma delle forze per il piano inclinato con attrito statico

 

Consideriamo un corpo fermo sul piano e proviamo a costruire il diagramma delle forze aggiungendo la forza d'attrito statico.

 

 

Piano inclinato con attrito

 

 

Poiché il corpo posto sul piano tenderà a muoversi verso il basso, la forza d'attrito è rivolta verso l'alto lungo la direzione del piano, secondo il principio per cui la forza d'attrito è sempre parallela alla superficie e ha verso contrario a quello del moto.

 

 

Sull'asse y abbiamo sempre la situazione in cui la componente della forza peso perpendicolare al piano F_{P,y} è perfettamente equilibrata dalla reazione vincolare uguale e contraria.

 

Di conseguenza la risultante lungo l'asse x è nulla, dunque è nulla l'accelerazione grazie alla seconda legge di Newton

 

 

\begin{matrix}\mbox{Asse }y:\ \ \ & & \vec{F}_{Ris,y} & = & \vec{F}_{P,y}+\vec{R}_{v}\\ & & & & \\ & \to\ & F_{Ris,y} & = & -F_{P,y}+R_{v}\\ & & & & \\ & \to\ & F_{Ris,y} & = & 0 \\ & & & & \\ & \to\ & ma_y & = & 0 \\ & & & & \\ & \to\ & a_y & = & 0\end{matrix}

 

 

Notate che, poiché stiamo ragionando lungo una direzione, abbiamo riscritto i vettori come scalari con segno, il quale ne specifica i versi.

 

 

Passiamo all'analisi delle componenti delle forze e al calcolo della risultante lungo l'asse x. Sono presenti due forze discordi: la componente della forza peso \vec{F}_{P,x} che "tira" il corpo verso il basso, e la forza d'attrito F_{As} che spinge verso l'alto perché si oppone al moto.

 

La forza risultante lungo l'asse x è dunque data da:

 

 

\mbox{Asse }x:\ \ \ \vec{F}_{Ris,x}=\vec{F}_{P,x}+\vec{F}_{As}

 

 

Mentre nel caso del piano inclinato senza attrito la componente F_{P,y} rimaneva inutilizzata, perché non contribuiva in nessun modo al moto del corpo, questa volta ci torna utile per calcolare il valore della forza d'attrito statico.

 

Ricordiamoci che il modulo della forza d'attrito statico è dato da

 

 F_{As} = \mu_{s} \cdot F_{\perp}

 

dove con F_{\perp} indichiamo la forza che preme perpendicolarmente contro la superficie. Nel caso del piano inclinato, ciò che preme il corpo contro la superficie del piano è proprio la componente F_{P,y}, per cui possiamo scrivere:

 

 F_{As} = \mu_{s} \cdot F_{Py} =  \mu_{s} mg \cos (\alpha)

 

La forza d'attrito statico è dunque dipendente dall'angolo di inclinazione del piano rispetto all'orizzontale, e acquisirà valori via via minori al crescere dell'angolo fino ad annullarsi quando α = 90°.

 

Possiamo così calcolare la risultante lungo l'asse x: 

 

 

\begin{matrix}\mbox{Asse }x:\ \ \ & & \vec{F}_{Ris,x} & = & \vec{F}_{P,x}+\vec{F}_{As}\\ & & & & \\ & \to\ & F_{Ris,x} & = & F_{P,x}-F_{As}\\ & & & & \\ & \to\ & ma_x & = & mg\sin(\alpha)-\mu_{s} mg \cos(\alpha)\\ & & & & \\ & \to\ & a_x & = & g\sin(\alpha)-\mu_{s}g\cos(\alpha)\end{matrix}

 

 

Anche in questo caso abbiamo riscritto i vettori come scalari con segno perché stiamo ragionando su una direzione specifica, quella dell'asse x. 

 

Abbiamo così scoperto che l'accelerazione con cui si muove il corpo è tutta concentrata lungo l'asse x, ed è data da

 

 

 a=a_x=g[\sin (\alpha) - \mu_{s} \cos (\alpha)]

 

 

Osservazioni

 

Notate che la formula per l'accelerazione non dipende dalla massa del corpo.

 

Inoltre, nell'equazione dell'accelerazione compaiono solamente costanti, dunque l'accelerazione è costante. Di conseguenza se l'accelerazione è diversa da zero, allora il corpo inizia a muoversi di moto rettilineo uniformemente accelerato; se invece l'accelerazione è uguale a zero, allora il corpo rimane fermo perché è inizialmente fermo.

 

Angolo critico per l'equilibrio sul piano inclinato con attrito

 

Dalla lezione sulla forza d'attrito sappiamo che, se la forza che cerca di mettere in moto il corpo (nel nostro caso F_{P,x}) ha un valore inferiore a quello della forza di attrito statico, allora il corpo rimane fermo.

 

Riguardiamo la formula per l'accelerazione ricavata poco sopra. È possibile determinare un angolo al di sotto del quale l'accelerazione risulti nulla, ossia ci sia equilibrio sul piano inclinato?

 

Certamente: per angoli al di sotto di una certa ampiezza il corpo non si mette in movimento. L'angolo critico di equilibrio, al di sopra del quale il corpo comincia a scendere lungo il piano inclinato, si trova uguagliando la componente lungo l'asse x della forza peso alla forza d'attrito, ovvero ponendo la forza risultante uguale a zero.

 

Questa condizione si realizza quando:

 

\\ \sin(\alpha)-\mu_{s}\cos(\alpha)= 0\\ \\ \mu_{s}=\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}=\tan(\alpha)

 

e quindi, applicando l'arcotangente ad ambo i membri, otteniamo l'angolo critico per il piano inclinato con attrito

 

 

\alpha=\arctan(\mu_{s})

 

 

Per angoli maggiori dell'angolo critico il corpo scivola lungo il piano soggetto alla forza risultante scritta prima; per angoli inferiori invece il corpo rimane in equilibrio.

 

Corpo in movimento lungo il piano inclinato (con attrito dinamico)

 

E se il corpo fosse già in movimento e quindi possedesse una propria velocità iniziale? In tal caso basterebbe sostituire la forza di attrito statico con quella di attrito dinamico.

 

In questo caso non è necessario ripetere i calcoli. È sufficiente considerare la formula per l'accelerazione lungo l'asse x, sostituire il coefficiente d'attrito statico con il coefficiente d'attrito dinamico

 

 a=a_x=g[\sin (\alpha) - \mu_{d} \cos (\alpha)]

 

e considerare la disequazione a>0, da cui

 

\sin (\alpha) - \mu_{d} \cos (\alpha)>0

 

ossia

 

 

 \mu_{d} > \tan (\alpha)

 

 

Se si realizza tale condizione, allora il corpo scende lungo il piano muovendosi di moto uniformemente accelerato sotto l'effetto della forza risultante.

 

Al contrario, se:

 

 

 \mu_{d} < \tan (\alpha)

 

 

il corpo rallenta muovendosi di moto uniformemente decelerato, fino a fermarsi.

 

Nel caso in cui invece risultasse

 

 

 \mu_{d} = \tan (\alpha)

 

 

allora la forza risultante sarebbe nulla e saremmo in presenza di un moto rettilineo uniforme.

 

Esempio: piano inclinato con attrito e una forza aggiuntiva

 

A titolo di esempio possiamo considerare un esempio sul piano inclinato con attrito in cui viene coinvolta un'ulteriore forza.

 

Ad esempio potrebbe esserci un'altra forza in gioco, tale da tirare il corpo verso l'alto o verso il basso. A seconda del verso del moto, dobbiamo rappresentare la forza d'attrito nel modo corretto ovvero sempre nel verso opposto al moto.

 

 

Piano inclinato con attrito e forza aggiuntiva

 

 

Nel primo caso la forza risultante, tutta concentrata lungo l'asse x, è data da:

 

 F_{ris,x} = F - F_{A} - F_{P,x}

 

Nel secondo invece:

 

 F_{ris,x} = F  + F_{P,x} - F_{A}

 

Badate bene che quelle appena scritte sono relazioni vettoriali, anche se non sembra (stiamo ragionando lungo un asse specifico)...

 

Può anche capitare la situazione in cui, in base ai dati di cui disponiamo, non siamo in grado di capire con certezza se il corpo debba scendere o salire lungo il piano. In questo caso siamo costretti a fare una scelta scrivendo l'equazione delle forze di conseguenza (le forze che tirano dalla parte in cui si muove il corpo meno le forze che tirano dalla parte opposta).

 

Sarà l'accelerazione a dirci se abbiamo fatto la scelta giusta: se l'accelerazione risulterà positiva, allora il corpo si muoverà nel verso scelto all'inizio, altrimenti se l'accelerazione risulterà negativa, il corpo si muoverà in verso contrario.

 

 


 

Nella prossima lezione passeremo ad un nuovo tipo di forza: la forza elastica. Nel frattempo se siete alla ricerca di esercizi svolti vi suggeriamo di usare la barra di ricerca interna, qui su YM potete trovare tutto quello che vi serve. ;)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Alessandro Catania (Alex)

 

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