Piano inclinato

Lo schema del piano inclinato è un classico delle applicazioni e degli esercizi di Dinamica: si tratta sostanzialmente di considerare un corpo - tipicamente un blocco con una determinata massa - collocato su un piano inclinato di un certo angolo rispetto al piano orizzontale, e di studiare le implicazioni dinamiche di una configurazione di questo tipo.

 

Di norma si considerano due modelli di moto lungo un piano inclinato: il primo caso che si affronta è quello del piano inclinato senza attrito, che permette uno studio semplificato del moto. Il secondo, ben più realistico e più aderente alla realtà, è quello del piano inclinato con attrito.

 

In questa pagina proponiamo tutte le considerazioni relative al caso del piano inclinato senza attrito, proponendone la definizione, le formule ed un esempio svolto, mentre tratteremo il caso con attrito nella lezione successiva.

 

Definizione e spiegazione sul piano inclinato

 

Nello studio della Fisica vi capiterà spessissimo di dover risolvere esercizi di corpi posti su di un piano inclinato. Proviamo a capire come si impostano e in che modo si possono risolvere considerando, come abbiamo anticipato nell'introduzione, il caso ideale in cui non vi sia attrito tra il corpo e la superficie del piano.

 

Partiamo da una definizione di piano inclinato: quando si parla di piano inclinato in Fisica si intende un piano che è inclinato di un certo angolo \alpha rispetto all'orizzontale. Un qualunque corpo posto sopra tale piano tenderà inevitabilmente a scendere per effetto della forza di gravità, fino a raggiungere il fondo.

 

Inoltre, in accordo con l'esperienza comune, tanto più il piano è inclinato, tanto più il corpo posto su di esso scenderà velocemente.

 

Formule per il piano inclinato senza attrito

 

Per la comodità dei lettori che sono in versione ripasso-esercizi-preparazione verifica/esame, proponiamo subito la tabella con le formule del piano inclinato, cui ovviamente seguono tutte le spiegazioni del caso. ;)

 

Il sistema di riferimento per le componenti è quello indicato nelle figure successive.

 

 

Accelerazione perpendicolare al piano a_y=0
Accelerazione parallela al piano  a_{x} = g \sin (\alpha)
Angolo da altezza e lunghezza \sin(\alpha)=\frac{h}{l}

Angolo da base e lunghezza

\cos(\alpha)=\frac{d}{l}

Angolo da altezza e base \tan(\alpha)=\frac{h}{d}

 

 

Diagramma delle forze per il piano inclinato

 

Cerchiamo di analizzare tutte le forze coinvolte nel moto lungo il piano inclinato. L'agente che "tira" il corpo verso il basso è naturalmente la forza peso. Sappiamo d'altronde che la forza peso è sempre perfettamente verticale, quindi come possiamo trovare la forza che "tira giù" il corpo lungo la direzione del piano inclinato?

 

Proviamo a disegnare le forze in gioco.

 

 

Piano inclinato

 

 

La forza peso, come abbiamo detto, va disegnata in verticale per sua caratteristica peculiare. Per capire la dinamica del moto del corpo lungo un piano inclinato, scegliamo un sistema di riferimento che sia comodo, come quello in cui l'asse x è diretto lungo il piano mentre l'asse y è perpendicolare al piano.

 

Scomponiamo la forza peso nelle due componenti lungo gli assi cartesiani, in modo da trovare una componente lungo l'asse x che chiamiamo \vec{F}_{P,x} e un'altra lungo l'asse y che chiamiamo \vec{F}_{P,y}

 

 

Forze nel moto lungo il piano inclinato

 

 

Per trovare le due componenti dobbiamo osservare che l'angolo che il piano inclinato forma con l'orizzontale è uguale all'angolo che l'asse y, scelto da noi, forma con la direzione verticale su cui giace il vettore forza peso.

 

(Per vederlo basta prolungare la linea di \vec{F}_P fino all'orizzontale e osservare che i due triangoli in cui compare \alpha sono triangoli rettangoli. Dato che i due angoli opposti al vertice coincidono, e coincidono anche gli angoli retti, i rispettivi angoli acuti \alpha devono necessariamente coincidere).

 

Con questa osservazione, i teoremi trigonometrici per i triangoli rettangoli ci permettono di scrivere le seguenti formule relative ai moduli delle componenti della forza peso

 

 

\\ F_{Px} = F_{P} \sin(\alpha) = mg \sin (\alpha)\\ \\ F_{Py} = F_{P} \cos (\alpha) = mg \cos (\alpha)

 

 

Osservazione: componenti della forza peso e angolo del piano inclinato

 

Dalle precedenti formule osserviamo che, al crescere dell'angolo \alpha, cresce il modulo della componente \vec{F}_{P,x} mentre diminuisce il modulo della componente \vec{F}_{P,y}. Consideriamo due casi limite:

 

- se \alpha=0 allora il piano diventa perfettamente orizzontale, la componente \vec{F}_{P,x} si annulla mentre \vex{F}_{P,y} coincide con \vec{F}_P;

 

- se \alpha=90^o allora il piano diventa verticale e, di fatto, abbiamo il moto di un corpo in caduta libera con \vec{F}_{P,y}=0,\ \vec{F}_{P,x}=\vec{F}_P.

 

 

Per completare il diagramma delle forze del piano inclinato dobbiamo ancora aggiungerne una: la reazione vincolare del piano, ovvero la forza di reazione che il piano esercita sul corpo per sorreggerlo, e che sarà un vettore da disegnare nella direzione delle y positive e uguale in modulo a \vec{F}_{P,y}.

 

 

Reazione vincolare piano inclinato

 

 

Ora abbiamo tutte le forze in gioco ed il diagramma è completo.

 

Moto lungo il piano inclinato

 

Analizziamo il moto del corpo lungo il piano inclinato ragionando sulle componenti delle forze sugli assi cartesiani.

 

Lungo l'asse delle y la componente \vec{F}_{P,y} della forza peso tendere a premere il corpo contro il piano inclinato. Il piano di contro reagisce con una forza uguale e contraria.

 

Abbiamo così due forze la cui risultante è zero, per cui il secondo principio della Dinamica ci fornisce un'importante informazione sul modulo dell'accelerazione lungo l'asse y

 

 

\begin{matrix}\mbox{Asse }y:\ \ \ & & \vec{F}_{Ris,y} & = & \vec{F}_{P,y}+\vec{R}_v & & \\ & & & & & & \\ & \to\ & F_{Ris,y} & = & -F_{P,y}+R_v & & \\ & & & & & & \\ & \to\ & F_{Ris,y} & = & 0 & & \\ & & & & & & \\ & \to\ & ma_y & = & 0 & \ & \mbox{(II legge di Newton)}\\ & & & & & & \\ & \to\ & a_y & = & 0 & & \end{matrix}

 

 

Nel passaggio dalla prima alla seconda riga abbiamo riscritto i vettori come scalari con segno, in modo da specificare i versi, il che è lecito perché stiamo ragionando sulla direzione di un asse specifico.

 

In particolare, in accordo con il primo principio della Dinamica, il corpo lungo l'asse y non si muove e che la forza \vec{F}_{P,y} ai fini del moto è del tutto ininfluente.

 

 

Lungo l'asse x invece la risultante coincide con la componente \vec{F}_{P,x} della forza peso, che è responsabile del moto del corpo lungo il piano inclinato: è questa componente che "tira giù" il corpo facendolo muovere fino al fondo del piano.

 

 

\begin{matrix}\mbox{Asse }x:\ \ \ & & \vec{F}_{Ris,x} & = & \vec{F}_{P,x} & & \\ & & & & & & \\ & \to\ & F_{Ris,x} & = & F_{P,x} & & \\ & & & & & & \\ & \to\ & ma_x & = & F_{P,x} &\ & \mbox{(II legge di Newton)}\\ & & & & & & \\ & \to\ &ma_x & = & mg\sin(\alpha) & & \\ & & & & & & \\ & \to\ & a_x & = & g\sin(\alpha) & & \end{matrix}

 

 

Anche in questo caso abbiamo riscritto i vettori della prima riga come scalari con segno, perché stiamo lavorando lungo l'asse delle x.

 

L'accelerazione impressa al corpo lungo l'asse delle ascisse è data da:

 

 

 a_{x} = g \sin (\alpha)

 

 

e, ricordando il comportamento della funzione seno, sarà tanto maggiore quanto maggiore è l'angolo di inclinazione del piano.

 

Esempio: piano inclinato con forza verso l'alto

 

A titolo esemplificativo estendiamo il nostro ragionamento e consideriamo un esempio di moto lungo un piano inclinato in cui interviene una forza aggiuntiva. Supponiamo di avere un'altra forza che tira verso l'alto il corpo lungo il piano inclinato.

 

In questo caso dobbiamo aggiungere una nuova forza allo schema delle forze rappresentato in precedenza.

 

 

Variante piano inclinato

 

 

Mentre lungo la direzione dell'asse y non è cambiato nulla, lungo l'asse x ora abbiamo due forze con verso opposto. Se vogliamo sapere con quale forza o con quale accelerazione il corpo scende o sale lungo il piano, abbiamo bisogno di trovare la risultante delle forze.

 

 

\mbox{Asse }x:\ \ \ F_{ris} = F_{P,x} - F

 

 

L'accelerazione è data da:

 

 

 a = \frac{F_{ris}}{m}

 

 

Se F_{P,x}>F allora il corpo scenderà lungo il piano e la sua accelerazione sarà positiva; se invece F_{P,x}<F allora il corpo salirà con accelerazione negativa (cioè diretta verso la direzione negativa dell'asse x).

 

Piano inclinato senza angolo, ma con lunghezza o altezza

 

È possibile che negli esercizi sul piano inclinato non vi venga dato l'angolo di inclinazione \alpha ma vi si parli di altezza del piano o della sua lunghezza

 

 

Problemi sul piano inclinato senza angolo

 

 

In queste situazioni le regole della Trigonometria permettono di ricavare l'angolo con le seguenti formule

 

 

\\ \sin(\alpha)=\frac{h}{l}\\ \\ \cos(\alpha)=\frac{d}{l}\\ \\ \tan(\alpha)=\frac{h}{d}

 

 

da cui poi è possibile risalire all'ampiezza dell'angolo \alpha ricordando i valori delle funzioni goniometriche. ;)

 

 


 

Abbiamo finito. Non perdetevi la lezione successiva, in cui tratteremo il caso del piano inclinato con attrito; nel contempo, se siete alla ricerca di esercizi svolti sul piano inclinato, sappiate che potete trovarne a volontà usando la barra di ricerca interna. YouMath è pieno zeppo di esercizi risolti nel dettaglio! :)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Alessandro Catania (Alex)

 

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