Secondo principio della Dinamica: formula della forza

Dopo aver visto il primo principio della Dinamica possiamo passare al secondo principio della Dinamica, noto anche come seconda legge di Newton.

 

Come vedremo tra un istante, oltre a fornire l'enunciato della seconda legge e a spiegarlo nel dettaglio, vedremo che tutta la questione è incentrata su una relazione che lega il concetto di forza a quello di accelerazione: la cosiddetta formula del secondo principio della Dinamica.

 

Nelle lezioni che seguiranno entreremo poi nella fattispecie dei vari tipi di forze e vedremo come caratterizzare la seconda legge di Newton nei casi specifici, proponendo anche diversi esempi ed esercizi svolti.

 

Formula del secondo principio della Dinamica

 

Come si può formalizzare la definizione di forza e come si calcola una forza? Da osservazioni sperimentali, Newton ricavò la formula del secondo principio della Dinamica:

 

 

 \vec{F} = m \vec{a}

 

 

dove \vec{F} è la forza, m è la massa del corpo e \vec{a} l'accelerazione.

 

A parole possiamo esprimere la seconda legge di Newton nel modo seguente:

 

 

la forza agente su un corpo è direttamente proporzionale all'accellerazione e ne condivide la direzione e il verso, con costante di proporzionalità data dalla massa del corpo.

 

 

Essa in particolare stabilisce che la forza è una grandezza vettoriale con la stessa direzione e lo stesso verso dell'accelerazione, e che essa è direttamente proporzionale all'accelerazione, con costante di proporzionalità data dalla massa del corpo.

 

Di contro, a parità di forza, l'accelerazione del corpo è inversamente proporzionale alla massa.

 

Significato del secondo principio della Dinamica

 

Analisi dimensionale della formula del secondo principio della Dinamica

 

L'unità di misura della forza è detta newton (simbolo N). Tale unità di misura, introdotta in onore del padre della Dinamica, viene definita proprio a partire dalla formula della seconda legge di Newton.

 

Per effettuare l'analisi dimensionale della forza è infatti sufficiente rileggere la definizione del secondo principio nel modo seguente: poiché la massa si misura in kg e l'accelerazione in m/s2, una forza di 1 N è definita come quella che accelera un corpo di massa 1 kg di 1 m/s2.

 

 

1\ \mbox{N}=1\ \mbox{kg}\cdot 1\ \frac{\mbox{m}}{\mbox{s}^2}

 

 

Quindi, in riferimento all'analisi dimensionale, il newton ha come dimensioni massa per lunghezza fratto tempo al quadrato

 

 

[\mbox{M}\cdot \mbox{L}\cdot \mbox{T}^{-2}]

 

 

Teniamo a precisare che in quanto appena scritto non c'è nulla di particolare da comprendere, se non che il newton è un'unità di misura definita come chilogrammi per metri al secondo quadrato. Si tratta di una definizione che nasce direttamente dalla definizione di forza fornita dalla suddetta formula. :)

 

 

Formule inverse del secondo principio della Dinamica 

 

Scriviamo le formule inverse a partire dalla formula della seconda legge di Newton:

 

 

\\ \vec{a} = \frac{\vec{F}}{m}\\ \\ \\ m = \frac{F}{a}

 

 

Dalla prima relazione vettoriale si vede immediatamente che l'accelerazione è direttamente proporzionale alla forza. Per quanto riguarda la seconda, notate che ci siamo limitati a considerare i moduli di forza e accelerazione perché la divisione tra vettori non esiste come operazione vettoriale, e che in termini di moduli essa stabilisce che la massa è inversamente proporzionale all'accelerazione.

 

 

Il concetto di massa inerziale nel secondo principio della Dinamica

 

La massa che compare nella seconda legge di Newton è una grandezza scalare e viene anche chiamata "massa inerziale", perché è la grandezza che misura l'inerzia di un corpo, ovvero la sua capacità di opporsi alle alterazioni del suo stato di moto.

 

Vi ricordate ciò che abbiamo visto nel primo principio della Dinamica? In quel contesto abbiamo parlato della tendenza di un corpo, è soggetto ad una risultante di forze nulla, a preservare il proprio stato di quiete o di moto. In tre parole: principio di inerzia.

 

Ora il secondo principio della Dinamica, oltre a fornire una vera e propria definizione di forza, ci dice anche qualcosa in più e stabilisce il significato fisico della massa, o meglio della massa inerziale. A parità di forza, una massa maggiore subirà un'accelerazione minore e viceversa.

 

Inoltre, la massa è una proprietà intrinseca dei corpi, cioè è una caratteristica che non dipende né dall'ambiente circostante né dal modo che abbiamo scelto per misurarla.

 

Secondo principio della Dinamica come equazione vettoriale

 

La formula del secondo principio della Dinamica è un'equazione vettoriale perché lega due grandezze vettoriali: la forza a primo membro e l'accelerazione a secondo membro.

 

Di conseguenza, dato che le grandezze vettoriali sono caratterizzate da un modulo, una direzione ed un verso, non dobbiamo limitarci all'informazione relativa al modulo della forza

 

 

F=ma

 

 

ma dobbiamo tenere a mente le ulteriori informazioni fornite dalla seconda legge di Newton in merito alla direzione e al verso della forza. A tal proposito la relazione è chiara e semplice: se su un corpo agisce una singola forza, questa avrà la stessa direzione del vettore accelerazione. Inoltre, poiché la massa di un corpo non può che essere positiva, la forza è un vettore concorde rispetto all'accelerazione e dunque entrambe le grandezze condividono lo stesso verso.

 

 

\vec{F}=m\vec{a}\ \to\ \mbox{forza e accelerazione}\begin{cases}\mbox{modulo}: F=ma\\ \mbox{stessa direzione}\\ \mbox{stesso verso}\end{cases}

 

 

Ovviamente se su un medesimo corpo agiscono più forze, allora sarà la forza risultante, ovvero la somma vettoriale di tutte le forze in gioco, ad essere un vettore parallelo e concorde all'accelerazione.

 

 

Dimostrazione del secondo principio della Dinamica

 

Essendo un'equazione scritta a partire da osservazioni sperimentali, non c'è un modo per dimostrare la seconda legge di Newton (che non a caso viene chiamata principio e non teorema). La sua validità può solamente essere confermata dalla correttezza tramite l'evidenza sperimentale.

 

 

Prima legge di Newton come caso particolare della seconda legge

 

Alla luce della seconda legge, si potrebbe dire che la prima legge di Newton è soltanto un caso particolare della seconda, ovvero il caso in cui l'accelerazione è nulla.

 

In effetti, se nella formula poniamo l'accelerazione uguale a zero e dunque consideriamo un corpo in quiete o che si muove a velocità costante (moto rettilineo uniforme), otteniamo una forza nulla e quindi ritroviamo quanto scritto per la prima legge.

 

Considerare però la prima legge come caso particolare della seconda è riduttivo (altrimenti non avrebbe avuto senso definirla a parte); la prima legge di Newton fornisce infatti un'ulteriore informazione, ossia che esistono i sistemi di riferimento inerziali e stabilisce implicitamente un modo per poterli individuare.

 

Così come la prima, anche la seconda legge di Newton è valida solo nei sistemi di riferimento inerziali, ovvero nei sistemi in moto rettilineo uniforme gli uni rispetto agli altri ed è in questi sistemi che va misurata l'accelerazione che compare nella definizione della forza.

 

In sistemi di riferimento in moto accelerato, la legge va corretta con l'aggiunta di altri termini. Inoltre la validità della seconda legge è applicabile solo nello studio dei moti dei corpi che possiedono velocità molto inferiori alla velocità della luce; nel caso in cui ci avvicinassimo alla velocità della luce, la legge andrebbe corretta seconda le regole della relatività di Einstein. Per il momento va benissimo così, ci occuperemo della relatività molto più avanti.

 

Secondo principio della Dinamica come equazione differenziale

 

Fermi tutti: questo trafiletto è un'infarinatura rivolta solamente agli studenti delle superiori che hanno dimestichezza con le derivate, e in termini approfonditi agli studenti universitari che hanno già studiato le equazioni differenziali.

 

Sappiamo dalla Cinematica che l'accelerazione può essere scritta come la variazione della velocità nel tempo, ovvero come la derivata della velocità rispetto al tempo.

 

 a = \frac{dv}{dt}

 

A sua volta, la velocità può essere scritta come la derivata dello spazio rispetto al tempo.

 

 v = \frac{ds}{dt}

 

Possiamo dunque riscrivere il secondo principio della Dinamica come equazione differenziale

 

 F = m\frac{d^{2} s}{dt^{2}}

 

la quale ci permette di determinare, mediante opportune condizioni iniziali (posizione e velocità iniziali), la posizione e la velocità di un corpo conoscendo le forze che agiscono su di esso.

 

 


 

Abbiamo finito! Come abbiamo già anticipato nell'introduzione, nel seguito avremo moto di entrare nel dettaglio degli esempi e delle varie forme che assume la seconda legge di Newton con le varie tipologie di forze e in alcuni sistemi esemplificativi (ad esempio, forza peso e piano inclinato). Nel frattempo, se avete qualche dubbio o se vi servono degli esercizi risolti sulla seconda legge di Newton, potete servirvi della barra di ricerca interna. :)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Alessandro Catania (Alex)

 

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