Accelerazione angolare

L'accelerazione angolare è una grandezza che esprime la variazione della velocità angolare di un punto in moto circolare: si può parlare di accelerazione angolare media o istantanea. Nel caso del MCU essa è sempre nulla, mentre nel MCUA assume un valore costante.

 

Proseguiamo con il riepilogo delle grandezze coinvolte nei moti circolari: qui di seguito proponiamo la definizione di accelerazione angolare e ne analizziamo le caratteristiche e le principali proprietà, con particolare riferimento al moto circolare uniforme ed al moto circolare uniformemente accelerato.

 

Naturalmente avremo cura di elencare tutte le principali formule dell'accelerazione angolare da usare negli esercizi e nelle applicazioni.

 

Definizione di accelerazione angolare media e istantanea

 

Per introdurre la nozione di accelerazione angolare è utile effettuare un parallelo tra i moti rettilinei ed i moti circolari. Quando guardiamo un'auto che aumenta la propria velocità muovendosi in linea retta, diciamo che essa sta accelerando, intendendo con il termine accelerazione la variazione di velocità in un certo intervallo di tempo, in accordo con la definizione:

 

 a = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{v_{f} - v_{i}}{\Delta t}

 

In questo frangente si parla di accelerazione lineare perché applicabile ad un corpo che si muove lungo una retta. Era questa infatti la definizione di accelerazione che abbiamo dato nella lezione dedicata al moto rettilineo uniformemente accelerato.

 

Ora spostiamoci al luna park e guardiamo una giostra ruotare attorno all'asse centrale. Se essa parte da ferma e raggiunge una certa velocità in un determinato intervallo di tempo, parleremo ancora una volta di accelerazione. In questo caso però dobbiamo sostituire la velocità lineare v con la velocità angolare \omega, e possiamo definire l'accelerazione angolare in modo del tutto analogo a quanto visto per l'auto.

 

 \alpha = \frac{\Delta \omega}{\Delta t} = \frac{\omega_{f} - \omega_{i}}{\Delta t}

 

L'accelerazione angolare è dunque data dalla variazione della velocità angolare in un fissato intervallo di tempo. Si tratta di una grandezza scalare la cui unità di misura è il rad/s2 .

 

Come accade di consueto con le grandezze cinematiche definite mediante un rapporto temporale, anche la formula per l'accelerazione angolare scritta in precedenza va intesa come accelerazione media. Parleremo dunque di accelerazione angolare media.

 

 

Esempio (accelerazione angolare media)

 

Se in un moto circolare aumentiamo la velocità angolare da un valore iniziale di 4 rad/s ad uno finale di 20 rad/s in un tempo di 8 s, allora otteniamo un'accelerazione angolare pari a:

 

\\ \alpha = \frac{\omega_{f} - \omega_{i}}{\Delta t} =\\ \\ \\ = \frac{(20 - 4) \: \frac{\mbox{rad}}{\mbox{s}}}{8 \mbox{ s}} = 2 \: \frac{\mbox{rad}}{\mbox{s}^{2}}

 

Questo valore è da intendersi come valore medio: possiamo dire che mediamente, nell'intervallo di tempo considerato, l'accelerazione angolare è stata pari a 2 rad/s2; ciò non significa che in qualunque momento tra l'istante iniziale e quello finale il valore dell'accelerazione sia rimasto uguale a quello calcolato. Possono esserci stati dei momenti in cui l'accelerazione angolare è stata maggiore e in altri invece minore. Quello che abbiamo calcolato è solo un valore medio.

 

Accelerazione angolare nel moto circolare uniforme

 

Vediamo di contestualizzare la definizione di accelerazione angolare nei vari tipi di moto circolare che abbiamo studiato. In un moto circolare uniforme sappiamo che la velocità angolare è costante per definizione, cosicché non si manifesta alcuna variazione del valore di \omega. Da qui è immediato comprendere che l'accelerazione angolare nel moto circolare uniforme è nulla:

 

\alpha=0\ \ \ \mbox{(MCU)}

 

Accelerazione angolare nel moto circolare uniformemente accelerato

 

In un moto circolare uniformemente accelerato per definizione l'accelerazione angolare è costante; di conseguenza il valore dell'accelerazione angolare media coincide in qualsiasi istante con il valore di accelerazione angolare mantenuto da un punto nel momento in cui esso si muove di moto circolare uniformemente accelerato.

 

\alpha=\mbox{costante}\ \ \ \mbox{(MCUA)}

 

Per il moto circolare uniformemente accelerato esistono delle formule in cui compare l'accelerazione angolare. Si tratta di equazioni del tutto analoghe a quelle viste per il moto rettilineo uniformemente accelerato, dove basta sostituire le grandezze lineari (velocità v, spazio s, accelerazione a) con le corrispondenti grandezze angolari (velocità angolare \omega, angolo \theta, accelerazione angolare \alpha). Si ottengono così le formule dell'accelerazione angolare nel MCUA:

 

 \begin{cases} \theta = \frac{1}{2}\alpha t^{2} + \omega_{0} t + \theta_{0} \\ \omega = \omega_{0} + \alpha t \end{cases}

 

La seconda equazione non è altro che una formula inversa della definizione di accelerazione angolare, in forma esplicita rispetto alla velocità angolare finale \omega. Normalmente le due equazioni vanno usate a sistema ed è dunque possibile ricavare una grandezza da una delle due equazioni e sostituirla nell'altra.

 

 

Esempio (accelerazione angolare nel moto circolare uniformemente accelerato)

 

Supponiamo ad esempio di voler calcolare l'accelerazione angolare di un punto che descrive un angolo di 180° (\theta=\pi\mbox{ rad}) partendo con una velocità angolare \omega_0=3\ \frac{\mbox{rad}}{\mbox{s}} e raggiungendo una velocità angolare finale \omega=5\ \frac{\mbox{rad}}{\mbox{s}}.

 

Svolgimento: consideriamo un sistema di riferimento in cui l'angolo iniziale \theta_0 è nullo. Ricorrendo al sistema di formule possiamo ricavare il tempo dalla seconda equazione e sostituirlo nella prima.

 

 \begin{cases} \theta = \frac{1}{2}\alpha t^{2} + \omega_{0} t  \\ t = \frac{\omega - \omega_{0}}{\alpha} \end{cases}

 

Sostituiamo l'espressione della seconda equazione nella prima

 

\frac{1}{2}\alpha \left( \frac{\omega - \omega_{0}}{\alpha} \right)^{2} + \omega_{0} \cdot \frac{\omega - \omega_{0}}{\alpha} = \frac{1}{2} \frac{\omega^{2} - 2 \omega \omega_{0} + \omega_{0}^{2}}{\alpha} + \frac{\omega \omega_{0} - \omega_{0}^{2}}{\alpha}

 

e facciamo i calcoli

 

\\ \theta = \frac{\omega^{2} - 2 \omega \omega_{0} + \omega^{2} +2 \omega \omega_{0} - 2 \omega_{0}^{2}}{2 \alpha} = \frac{\omega^{2} - \omega_{0}^{2}}{2 \alpha}\\ \\ \\ \alpha = \frac{\omega^{2} - \omega_{0}^{2}}{2 \theta} = \frac{(25 -9) \frac{\mbox{rad}^{2}}{\mbox{s}^{2}}}{2 \cdot \pi \: \mbox{rad}} = 2,55 \: \frac{\mbox{rad}}{\mbox{s}^{2}}

 

Accelerazione angolare in un moto circolare qualsiasi

 

Abbiamo visto che l'accelerazione angolare media è una grandezza che permette di descrivere appieno l'accelerazione di un punto in moto circolare uniforme o uniformemente accelerato. Che dire del caso generale, in cui l'accelerazione non è necessariamente costante?

 

In tal caso ci servirebbe una grandezza tale da esprimere il valore esatto dell'accelerazione angolare in un certo istante preciso di tempo. In parole povere ci serve la definizione di accelerazione angolare istantanea.

 

Analogamente a quanto visto per le altre grandezze cinematiche dobbiamo considerare un intervallo di tempo piccolissimo (infinitesimo) per il quale anche la variazione di velocità angolare sia molto piccola. Dobbiamo cioè spingere l'intervallo di tempo \Delta t a zero e impostare un opportuno limite.

 

\alpha=\lim_{\Delta t \to 0}{\frac{\Delta \omega}{\Delta t}} = \frac{d \omega}{dt}

 

Con la lettera d che va a sostituire \Delta si vuole intendere che le variazioni delle grandezze che seguono sono infinitesime. Per chi conosce le derivate, possiamo dire che l'accelerazione angolare istantanea è la derivata della velocità angolare rispetto al tempo.

 

Si noti che l'accelerazione angolare istantanea coincide con quella media solamente nel caso dei moti circolari uniforme ed uniformemente accelerato: nella prima eventualità il valore è nullo in qualsiasi istante di tempo, nella seconda è costante. Niente di nuovo, esattamente come succedeva nei moti rettilinei. ;)

 

In un moto circolare qualsasi, in cui l'accelerazione può non essere costante e di cui conosciamo una legge \omega=\omega(t) che descrive la velocità angolare, possiamo derivare tale legge per trovarne una nuova che ci dice come cambia nel tempo l'accelerazione angolare.

 

 

Esempio (accelerazione angolare istantanea)

 

Supponiamo ad esempio di sapere che la velocità angolare cresca nel tempo secondo la seguente legge esponenziale:

 

 \omega(t) = \omega_{0} e^{kt}

 

Se deriviamo la precedente legge rispetto al tempo otteniamo proprio la legge che descrive l'accelerazione angolare nel tempo:

 

 \alpha(t) = \frac{d \omega(t)}{dt} = \omega_{0} k e^{kt}

 

Formule dell'accelerazione angolare

 

Concludiamo questa lezione di riepilogo elencando tutte le formule per il calcolo dell'accelerazione angolare.

 

 

Accelerazione angolare media

 \alpha = \frac{\Delta \omega}{\Delta t} = \frac{\omega_{f} - \omega_{i}}{\Delta t}

Accelerazione angolare istantanea

 \alpha = \lim_{\Delta t \to 0}{ \frac{\Delta \omega}{\Delta t}}

Accelerazione angolare nel MCU

\alpha=0

Accelerazione angolare nel MCUA

\alpha=\mbox{costante}

Accelerazione angolare e legge oraria nel MCUA

 \begin{cases} \theta = \frac{1}{2}\alpha t^{2} + \omega_{0} t + \theta_{0} \\ \omega = \omega_{0} + \alpha t \end{cases}

 

 


 

In caso di dubbi o se siete in cerca di esercizi svolti, non esitate: qui su YM ci sono tantissimi esercizi svolti e potete reperire tutto quello che vi serve usando la barra di ricerca interna. ;)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Alessandro Catania (Alex)

 

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