Accelerazione centripeta

L'accelerazione centripeta è una grandezza che caratterizza il moto circolare e più in generale il moto di un punto lungo una curva. L'accelerazione centripeta è responsabile della variazione della direzione della velocità del punto nel proprio moto lungo la traiettoria circolare, o curvilinea.

 

Come abbiamo già avuto modo di dirvi nelle precedenti lezioni, per chiudere il capitolo dedicato alla Cinematica vogliamo approfondire le grandezze coinvolte nei moti circolari. Qui di seguito proporremo la definizione di accelerazione centripeta e analizzeremo le principali caratteristiche di tale grandezza, soffermandoci in particolare sui casi del moto circolare uniforme e del moto circolare uniformemente accelerato.

 

Per concludere in bellezza riepilogheremo tutte le formule dell'accelerazione centripeta. ;)

 

Definizione e formule dell'accelerazione centripeta

 

Per introdurre la definizione di accelerazione centripeta dobbiamo partire da un'importante considerazione relativa ai moti circolari e, più in generale, ai moti non rettilinei lungo una curva qualsiasi.

 

Quando un corpo devia da una traiettoria rettilinea e inizia a percorrere una curva, si ha un'accelerazione che modifica la velocità del corpo. Ricordiamoci sempre che la velocità è una grandezza vettoriale definita da tre caratteristiche: modulo, direzione e verso. Modificare la velocità significa cambiare anche solo una di queste tre caratteristiche. Si parla dunque di accelerazione non solo quando varia il valore numerico della velocità (ossia il suo modulo) ma anche quando essa modifica la propria direzione.

 

Quest'ultima situazione si incontra per la prima volta in Cinematica quando si affronta il moto circolare uniforme, ovvero il moto di un corpo che descrive una circonferenza mantenendo la propria velocità tangenziale costante in modulo. È in questa occasione che si parla di accelerazione centripeta. Vediamo bene di cosa si tratta.

 

Consideriamo innanzitutto un moto circolare uniforme in quanto più semplice da trattare e da capire. In tale moto la velocità di un punto che descrive una traiettoria circolare mantiene la propria velocità tangenziale costante in modulo, ma la direzione cambia continuamente. Il vettore velocità tangenziale infatti è sempre tangente alla circonferenza in ogni punto (e quindi anche perpendicolare al raggio per le proprietà geometriche di cerchio e circonferenza). Basta disegnare il vettore velocità tangenziale in due punti diversi della circonferenza per accorgersi subito che questi giacciono su rette con diversa inclinazione e che quindi hanno diversa direzione.

 

 

Accelerazione centripeta

 

 

Anche se non abbiamo ancora studiato la Dinamica e le cause che generano il moto, vogliamo darvi sin da subito una piccola anticipazione: la continua variazione della direzione della velocità tangenziale è dovuta ad un forza agente sul punto materiale in moto, detta forza centripeta, che punta costantemente verso il centro e che obbliga il punto a muoversi lungo una circonferenza. In assenza di tale forza, il punto partirebbe per la tangente e si muoverebbe di moto rettilineo uniforme.

 

In questo contesto l'accelerazione centripeta è definita come l'accelerazione subita dal corpo, la quale modifica la direzione della velocità tangenziale in ogni punto della traiettoria curvilinea. L'accelerazione centripeta, come qualunque accelerazione, è un vettore ed è quindi caratterizzata da un modulo, una direzione ed un verso. Inoltre, trattandosi di un'accelerazione, sappiamo che l'unità di misura dell'accelerazione centripetà è il m/s2.

 

Modulo, direzione e verso dell'accelerazione centripeta

 

Vediamo di esporre tutte le principali proprietà dell'accelerazione centripeta in riferimento al caso del moto circolare uniforme: tali proprietà vengono estese in modo naturale al caso del moto rettilineo uniformemente accelerato e, successivamente, per una qualsiasi traiettoria curvilinea. In termini didattici i primi due casi sono gli unici che vengono trattati approfonditamente sia in termini teorici che negli esercizi, perlomeno alle scuole superiori e nei primissimi corsi di Fisica all'università. ;)

 

 

Accelerazione centripeta nel moto circolare uniforme

 

D) Partiamo col dire che l'accelerazione centripeta ha direzione radiale, cioè è direzionata sempre lungo il raggio della circonferenza in ogni punto. Essa è quindi perpendicolare in ogni punto al vettore velocità e, come abbiamo già detto, varia in ogni punto.

 

V) Riguardo al verso, il vettore accelerazione centripeta punta sempre verso il centro della circonferenza (ecco perché si chiama centripeta).

 

M) Riguardo al modulo dell'accelerazione centripeta, esso è costante nel MCU e possiamo calcolarlo con le seguenti formule

 

a_{c} = \frac{v^{2}}{r} \: \: \: ; \: \: \: a_{c} = \omega^{2} r

 

da cui è possibile ricavare velocemente le formule inverse. Ricordiamo che con v si indica la velocità tangenziale, con \omega la velocità angolare e con r il raggio della circonferenza. Le due formule sono equivalenti; sceglieremo se usare l'una o l'altra a seconda dei dati che abbiamo nel problema.

 

Il fatto che a_c sia costante in modulo si evince anche dalle due formule che abbiamo scritto im precedenza: sia v sia \omega sono costanti, per cui ne consegue che anche a_c debba esserlo, a patto ovviamente che il raggio non cambi.

 

 

Esempio

 

Consideriamo un punto che descrive una circonferenza di 1,5 m di raggio con una velocità di 12 m/s, l'accelerazione centripeta è:

 

 a_{c} = \frac{v^{2}}{r} = \frac{144 \: \frac{m^{2}}{s^{2}}}{1,5 \: m} = 96 \: \frac{m}{s^{2}}

 

 

Accelerazione centripeta nel moto circolare uniformemente accelerato

 

D e V) Se si considera un moto circolare uniformemente accelerato valgono considerazioni del tutto analoghe riguardo alla direzione e al verso dell'accelerazione centripeta.

 

M) Il modulo dell'accelerazione centripeta non è costante in un MCUA bensì varia punto a punto. Infatti, per definizione, in un moto circolare uniformemente accelerato è presente un'accelerazione tangenziale e costante in modulo che modifica il modulo della velocità tangenziale. Di conseguenza anche il modulo dell'accelerazione centripeta varia nel tempo.

 

 

Accelerazione centripeta in un moto curvilineo

 

Nel caso ancor più generale di un moto curvilineo lungo una curva qualsiasi basti sapere che la direzione dell'accelerazione centripeta è perpendicolare al vettore velocità tangenziale. Le precedenti formule non sono più valide e richiedono una trattazione matematica piuttosto complessa, di cui non ci occupiamo in questa sede.

 

 

Nota bene 

 

Al di là del caso del MCU, le formule per il calcolo del modulo dell'accelerazione centripeta richiedono una trattazione matematica che fa un uso abbondante delle notazioni vettoriali. Di conseguenza non ce ne occuperemo in questa sede, anche perché per i nostri scopi didattici le formule 

 

 


 

Non perdetevi la lezione successiva, in cui tratteremo nel dettaglio il concetto di accelerazione tangenziale. Nel frattempo se siete in cerca di esercizi svolti non esitate: qui su YM avete a disposizione migliaia di esercizi risolti e potete reperire tutto quello che vi serve con la barra di ricerca interna. ;)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Alessandro Catania (Alex)

 

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