Velocità tangenziale

La velocità tangenziale è la velocità di un punto che si muove di moto circolare lungo una circonferenza, e più in generale di moto lungo una traiettoria curvilinea, con direzione perpendicolare alla traiettoria in ogni punto e verso individuato dal senso del moto.

 

Per cominciare tratteremo nel dettaglio la definizione di velocità tangenziale. Nel corso della lezione la contestualizzeremo al caso del moto circolare uniforme e a quello del moto circolare uniformemente accelerato, anche se tale grandezza può essere definita e calcolata per un qualsiasi moto circolare. Nel frattempo specificheremo tutte le formule della velocità tangenziale, comprese le formule inverse.

 

Definizione e formule della velocità tangenziale

 

Nel moto circolare compare una grandezza che viene chiamata velocità tangenziale. Per cominciare, la velocità tangenziale è una velocità nel senso tradizionale del termine, cioè una grandezza definita come il rapporto tra lo spostamento e il tempo impiegato per effettuarlo. La differenza rispetto ai moti rettilinei (come ad esempio il moto rettilineo uniforme ed il moto rettilineo uniformemente accelerato) sta nel fatto che ora lo spazio viene percorso lungo una circonferenza.

 

Indichiamo con \theta=\theta(t) la posizione lungo una circonferenza di raggio r, individuata da un angolo misurato a partire da un sistema di riferimento scelto. Se il corpo in moto circolare descrive un angolo qualsiasi \Delta \theta in un certo tempo \Delta t, possiamo scrivere la seguente definizione di velocità tangenziale:

 

 v_T = \frac{r\Delta \theta }{\Delta t}

 

dove con r indichiamo il raggio della circonferenza e il prodotto a numeratore r\Delta\theta ci dà l'arco di circonferenza descritto dal punto e corrispondente all'angolo \Delta \theta. Infatti, dalla definizione di angolo in radianti come rapporto tra l'arco di circonferenza sotteso all'angolo e il raggio

 

 \Delta \theta = \frac{\mbox{arco}}{\mbox{raggio}} = \frac{l}{r}

 

e da qui possiamo ricavare l'arco in questo modo:

 

 l = r\Delta \theta

 

In questo modo possiamo calcolare la velocità tangenziale conoscendo un angolo qualsiasi e il tempo impiegato per descrivere tale angolo. 

 

Velocità tangenziale media e velocità tangenziale istantanea

 

In generale, se la velocità non è costante nel tempo, con la formula appena scritta si calcola la velocità tangenziale media mantenuta tra la posizione in corrispondenza di un angolo iniziale \theta_i (posizione iniziale) e quella in corrispondenza di un angolo finale \theta_f (posizione finale)

 

 v_T = \frac{r\Delta \theta }{\Delta t}

 

Ad esempio, calcoliamo la velocità tangenziale di un punto che si muove su una circonferenza di raggio 3 metri e che descrive un angolo di 30° in 2 secondi. Attenzione perché, prima di applicare la formula, è necessario convertire i gradi in radianti, per cui l'angolo dato è uguale a π/6.

 

Ora applichiamo la formula:

 

 v_T = \frac{\frac{\pi}{6}\cdot 3\mbox{ m}}{2\mbox{ s}} = 0,8\ \frac{\mbox{m}}{\mbox{s}}

 

Se vogliamo conoscere la velocità tangenziale istantanea, cioè il suo valore in un particolare istante di tempo anziché il suo valore medio, allora dobbiamo ridurre l'intervallo di tempo fino quasi ad annullarlo. Il ragionamento è del tutto analogo a quello che abbiamo visto nella lezione sulla velocità istantanea

 

 v_T = \lim_{\Delta t \to 0}{\frac{r\Delta \theta}{\Delta t}}

 

Così anche l’angolo descritto diventerà infinitesimo ed avremo la velocità calcolata tra due posizioni talmente vicine tra di loro da essere praticamente coincidenti.

 

Si noti che la definizione più generale di velocità tangenziale è quella relativa alla velocità tangenziale istantanea, la quale può peraltro essere estesa al caso di moti lungo una qualsiasi traiettoria curvilinea (di cui non ci occupiamo in questa sede).

 

Velocità tangenziale come grandezza vettoriale

 

Come ben sappiamo la velocità è una grandezza vettoriale e pertanto va rappresentata mediante un vettore. Ne consegue che la velocità tangenziale è una grandezza vettoriale: nelle precedenti formule ne abbiamo definito il modulo, ma cosa possiamo dire riguardo alla direzione e al verso?

 

Se un punto si muove lungo una circonferenza, la sua velocità è sempre un vettore tangente alla circonferenza in ogni punto. Ne consegue che, per le proprietà geometriche della circonferenza, il vettore velocità tangenziale forma sempre un angolo retto con il raggio.

 

Da ciò consegue che la direzione del vettore non è costante ma cambia continuamente da punto a punto; il verso invece è dato dal senso di rotazione del punto (orario o antiorario). Da qui si deduce un'importante proprietà della velocità tangenziale: a prescindere dal tipo di moto circolare, la velocità tangenziale non è mai costante come grandezza vettoriale. Ciò è dovuto al fatto che il suo modulo può essere costante, come avviene nel moto circolare uniforme, ma la sua direzione cambia punto a punto.

 

Velocità tangenziale nel MCU e nel MCUA

 

Ora, tutto questo è valido in qualunque moto circolare ma esistono due moti circolari particolari che normalmente si affrontano in cinematica: il moto circolare uniforme ed il moto circolare uniformemente accelerato.

 

Cominciamo a vedere le caratteristiche che la velocità tangenziale assume nel MCU. Dobbiamo subito dire che il termine uniforme si riferisce al fatto che il modulo (ovvero il valore numerico) della velocità tangenziale resta costante durante il moto. Attenzione a specificare che è solo il modulo a rimanere costante e non tutto il vettore velocità perché, come abbiamo visto prima, la sua direzione è in continuo mutamento. Ciò implica che il vettore nel suo complesso non sia costante: se però guardiamo solo al suo valore numerico, allora questo non cambia mai, a patto che si mantenga costante il raggio della circonferenza.

 

Per quanto riguarda la velocità tangenziale nel caso di un moto circolare uniforme, partiamo dalla definizione data prima:

 

 v_T = \frac{\Delta \theta r}{\Delta t}

 

e pensiamo di percorrere un giro completo di una circonferenza. L'angolo descritto sarà allora uguale all'angolo giro, ovvero 2π radianti. Il tempo che si impiega a percorrere un giro completo si chiama periodo e si indica con T. Essendo la velocità tangenziale costante in modulo in un MCU, possiamo calcolarla nel modo seguente

 

 v_T = \frac{2 \pi r}{T}

 

da cui le formule inverse per raggio e periodo

 

T = \frac{2 \pi r}{v_T} \: \: \: ; \: \: \: r = \frac{v_TT}{2 \pi}

 

Da qui si deduce che la velocità tangenziale è direttamente proporzionale al raggio della circonferenza descritta ed inversamente proporzionale al periodo. Ciò significa che, se consideriamo un corpo rigido in rotazione (come un disco), i punti che ruotano ad una distanza maggiore dall'asse di rotazione hanno una velocità più elevata di quelli prossimi all'asse. In effetti, tutti i punti del disco devono compiere un giro nello stesso tempo, ma quelli più lontani dal centro devono percorrere una circonferenza più lunga e dunque avranno necessariamente una velocità maggiore.

 

Ricordandoci che il rapporto \frac{2\pi}{T} è uguale alla velocità angolare \omega, la quale è altresì costante nel moto circolare uniforme, possiamo scrivere:

 

 v_T = \omega r

 

da cui le formule inverse per velocità angolare e raggio

 

\omega = \frac{v_T}{r} \: \: \: ; \: \: \: r = \frac{v_T}{\omega}

 

Riguardo alla velocità angolare nel moto circolare uniformemente accelerato, dove il termine uniformemente si riferisce al fatto che il modulo dell'accelerazione è costante nel tempo, la velocità tangenziale non mantiene costante il proprio modulo ma aumenta o diminuisce nel tempo per via di un'accelerazione. La definizione data in alto, in cui compare il rapporto tra l'angolo \Delta\theta e il tempo \Delta t è dunque da intendersi come valore medio della velocità mantenuta tra la posizione in corrispondenza di un angolo iniziale \theta_i e quella in corrispondenza di un angolo finale \theta_f.

 

Formule della velocità tangenziale

 

Vediamo di riepilogare tutte le formule viste fin qui in modo da avere un quadro completo sulla velocità tangenziale.

 

 

Modulo della velocità tangenziale media

 v_T = \frac{r\Delta \theta }{\Delta t} =\frac{r(\theta_f-\theta_i)}{t_f-t_i}

Modulo della velocità tangenziale istantanea

 v_T = \lim_{\Delta t \to 0}{\frac{r\Delta \theta}{\Delta t}}

Direzione della velocità tangenziale

Tangente punto per punto alla circonferenza e perpendicolare al raggio

Verso

Dipende dal senso orario o antiorario del moto

Modulo (MCU)

v_T=\mbox{costante}

Modulo (MCU, in funzione del periodo)

 v_T = \frac{2 \pi r}{T}

Modulo (MCU, in funzione della velocità angolare)

 v_T = \omega r

 

 


 

Nella lezione successiva vedremo cos'è la velocità centripeta nel moto circolare e come si calcola; in caso di necessità non dimenticate che qui su YM ci sono migliaia di problemi ed esercizi svolti sulla velocità tangenziale. Potete trovare tutto quello che vi serve con la barra di ricerca interna. ;)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Alessandro Catania (Alex)

 

Lezione precedente..........Lezione successiva


Tags: definizione e formule della velocità tangenziale - esercizi risolti velocità tangenziale.