Grandezze scalari e grandezze vettoriali

Le grandezze scalari e le grandezze vettoriali sono due tipi di grandezze che caratterizzano lo studio della Fisica: le grandezze scalari sono caratterizzate solamente da un valore numerico e da un'unità di misura, mentre le grandezze vettoriali sono vettori caratterizzati da un'unità di misura.

 

Prima di iniziare lo studio della Cinematica, la prima branca che si affronta in Fisica, è fondamentale occuparsi di un paio di argomenti propedeutici. Qui vediamo il primo, mentre nella lezione successiva passeremo a parlare dei sistemi di riferimento.

 

In Fisica troverete tantissime grandezze diverse ed altrettante formule che mettono in relazione alcune di esse. Bisogna allora distinguere due tipi di grandezze differenti: qui di seguito introduciamo le definizioni di grandezze vettoriali e scalari, mettendo in luce le differenze tra le due tipologie di grandezze e fornendo diversi esempi che permetteranno di capire al volo come distinguere le une dalle altre.

 

Grandezze vettoriali

 

Le grandezze vettoriali sono tutte e sole le grandezze fisiche rappresentabili mediante un vettore.

 

Ad esempio, sono grandezze vettoriali la velocità, l'accelerazione e la forza, ossia tutte quelle grandezze in cui non è sufficiente esprimere un valore numerico per descrivere la grandezza considerata, ma è necessario specificare anche una direzione e un verso.

 

A tal proposito basta ricordare che un vettore ha sempre tre caratteristiche: il modulo (che corrisponde al valore numerico), la direzione (data dalla retta sulla quale giace il vettore) e il verso (che ci indica da quale parte punta la freccia lungo la direzione data).

 

 

Modulo, direzione e verso di una grandezza vettoriale

 

 

Se non avete le idee chiare a tal proposito, o se è la prima volta che affrontate questo argomento, vi rimandiamo alla lettura della lezione sui vettori in cui spieghiamo nel dettaglio cosa sono modulo, direzione e verso.

 

Le grandezze vettoriali sono molte, per cui non avrebbe molto senso pensare di compilare un elenco; le prime che si incontrano studiando la Fisica sono quelle legate al movimento (spostamento, velocità, accelerazione, forza, ...) ma ve ne sono molte altre spesso meno intuitive. In ogni caso, dopo i primi passi nello studio della Fisica, vi garantiamo che non avrete alcun problema nel riconoscere le grandezze vettoriali. ;)

 

Esempio sulle grandezze vettoriali

 

Come esempio di grandezza vettoriale possiamo pensare alla velocità.

 

Possiamo dire: "sto viaggiando alla velocità di 100 km/h", e quindi fornire soltanto il modulo della grandezza vettoriale velocità, vale a dire il suo valore numerico, ma un'informazione del genere risulterebbe incompleta.

 

Infatti qualcuno potrebbe chiederci: "Ok, ma in che direzione?".

 

Questa è una domanda lecita e nel rispondere potremmo dire: "Lungo la Torino-Milano". Così abbiamo dato un'informazione in più, ovvero la direzione lungo la quale ci stiamo muovendo (la direzione della grandezza vettoriale velocità).

 

C'è però ancora una cosa che non abbiamo detto: stiamo viaggiando da Torino verso Milano o da Milano verso Torino?

 

Se specifichiamo anche il verso della grandezza vettoriale, allora abbiamo dato un'infomazione completa sulle tre caratteristiche della velocità intesa come vettore. Si capisce allora perché la velocità è una grandezza vettoriale. :)

 

Come scrivere le grandezze vettoriali

 

Ogni grandezza vettoriale si scrive sempre con una piccola freccia sopra la relativa lettera, ed è quindi facilmente riconoscibile quando viene proposta sui libri di testo. Ad esempio, la velocità e l'accelerazione andranno scritte così:

 

 

 \vec{v} \: \: \: , \: \: \: \vec{a}

 

 

Se si scrive un'equazione in cui si mettono in relazione due grandezze vettoriali, allora bisognerà collocare una freccia al di sopra di ogni grandezza vettoriale che compare nell'equazione.

 

Ad esempio:

 

 

 \vec{F} = m \vec{a}

 

 

Se non siamo interessati alla direzione e al verso delle grandezze vettoriali che stiamo usando, ma solo al loro valore numerico, allora possiamo scriverle senza la caratteristica freccia sopra le corrispondenti lettere.

 

 

 F = ma

 

 

Ogni grandezza vettoriale è rappresentabile con un vettore su una retta, sul piano cartesiano o nello spazio euclideo (a seconda del numero di dimensioni richiesto) e soggiace alle regole del calcolo vettoriale sulla somma, sulla sottrazione e sulle moltiplicazioni (prodotto di un numero per un vettore, prodotto scalare, prodotto vettoriale).

 

Grandezze scalari

 

Rispetto alle grandezze vettoriali, le grandezze scalari sono più facili da trattare perché non richiedono il calcolo vettoriale.

 

Per dare la definizione di grandezza scalare possiamo partire da un esempio. Pensiamo alla temperatura e all'affermazione: "Oggi ci sono 24°C". Avrebbe senso se qualcuno vi chiedesse: "Ok, ma in che direzione?"? Ovviamente no. Oggi ci sono 24°C e basta, non ha nessun senso parlare di direzione o di verso in questo caso.

 

Si capisce allora come la temperatura sia una grandezza che viene caratterizzata esclusivamente da un valore numerico seguito dalla sua unità di misura, e che non può essere rappresentata con un vettore. In altri termini, la temperatura è una grandezza scalare.

 

Il termine scalare in Fisica si usa proprio per indicare un numero con la sua unità di misura. Sono grandezze scalari ad esempio la massa, il tempo e l'energia.

 

Operazioni tra grandezze scalari e vettoriali

 

Dopo aver visto le definizioni di grandezze vettoriali e scalari e le relative differenze, è lecito domandarsi quali operazioni possono essere effettuate tra grandezze di diverso tipo.

 

Come vedremo nel prosieguo delle lezioni, dobbiamo tenere a mente che capita spesso e volentieri di moltiplicare e dividere grandezze vettoriali con grandezze scalari, come ad esempio una massa per un'accelerazione.

 

In tal caso il prodotto/rapporto tra una grandezza vettoriale ed una grandezza scalare è ancora una grandezza vettoriale, in perfetto accordo con le regole del calcolo vettoriale:

 

 

\\ \vec{F}=m\vec{a}\\ \\ \vec{a}=\frac{\vec{F}}{m}

 

 

In entrambi i casi l'operazione vettoriale di riferimento è il prodotto di un vettore per uno scalare, nome che a ben vedere calza a pennello per l'occasione. Notate che nella seconda formula basta leggere la divisione come il prodotto di un vettore per il reciproco di uno scalare, che è a sua volta uno scalare.

 

D'altra parte però si possono sommare o sottrarre solo grandezze dello stesso tipo, come ad esempio una velocità con un'altra velocità o una temperatura con un'altra temperatura.

 

In questo caso la questione non riguarda solamente l'impossibilità di sommare una grandezza scalare con una grandezza vettoriale, operazione che non è definita e dunque priva di significato, ma anche l'impossibità di sommare tra loro grandezze scalari diverse e grandezze vettoriali diverse. Non dimentichiamoci che in una somma tra grandezze fisiche non bisogna solo tenere conto del vettore o del valore numerico coinvolto, ma anche dell'unità di misura!

 

In fondo, se vi chiedessimo: "Prendete 10 chilogrammi di mele e sottraete 15 secondi: cosa ottenete?" Forse delle mele che viaggiano nel tempo? :D È chiaro che la risposta corretta sarebbe: "Niente, perché la domanda non ha alcun significato.". Se invece vi si chiedesse di prendere 10 kg di mele e di toglierne 2 kg, allora è chiaro che rimarrebbero 8 kg di mele.

 

In questo senso l'analisi dimensionale, cioè l'analisi delle unità di misura coinvolte in una qualsiasi formula fisica, si rivela fondamentale per verificare la correttezza e la consistenza del risultato. :)

 

 


 

Ogni volta che studiamo una nuova grandezza o si introduce una nuova equazione, bisogna sempre capire se abbiamo a che fare con grandezze scalari o grandezze vettoriali e, nel caso di quest'ultime, stare attenti a seguire le regole del calcolo vettoriale. ;)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Alessandro Catania (Alex)

 

Lezione successiva


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