Grafico spazio-tempo e velocità-tempo del moto armonico

Nella precedente lezione abbiamo introdotto il moto armonico e abbiamo elencato tutte le formule che lo caratterizzano, iniziando a mostrare come ricavarle e come descrivono il moto del punto materiale.

 

Ci siamo fermati alla legge oraria: ora è il momento di proseguire e di parlare di velocità e accelerazione del punto materiale, ponendo particolare enfasi sui grafici del moto armonico per la posizione e la velocità.

 

I grafici di posizione e velocità per il moto armonico

 

Grafico spazio-tempo del moto armonico

 

Il primo diagramma che prenderemo in considerazione è il grafico spazio tempo per il moto armonico.

 

Proviamo a descrivere il moto armonico del punto Q mediante un opportuno grafico nel piano cartesiano, ponendo sull'asse delle ordinate la posizione del punto e sull'asse delle ascisse il tempo. Consideriamo inoltre un sistema di riferimento in cui l'origine degli assi cartesiani sia coincidente con il centro della circonferenza: in questo modo quando Q si trova in A, la sua posizione rispetto all'origine è pari al raggio della circonferenza.

 

Ricordate che, nella lezione precedente, abbiamo scritto la legge oraria completa con la costante di fase:

 

 x(t) = A cos(\omega t + \phi)

 

Tracciamo il grafico considerando per semplicità la costante di fase \phi nulla.

 

 

Grafico di posizione nel moto armonico

 

 

Noterete che il grafico ottenuto è una cosinusoide, ovvero il grafico della funzione coseno, così come ci aspettavamo guardando l'equazione della posizione.

 

Come vedete, al tempo t=0 il punto Q si trova ad una distanza A dal centro della circonferenza: successivamente la sua distanza dal centro si riduce fino ad annullarsi (quando Q si trova in O) per poi assumere valori negativi quando Q procede verso B.

 

Il percorso da B ad A è, come abbiamo già visto, perfettamente speculare.

 

Q si troverà agli estremi del suo moto, ovvero agli estremi del diametro, quando \alpha è pari a 0° (Q si trova in A), quando \alpha è pari a 180° (Q si trova in B) oppure ancora quando \alpha vale 360° (Q è tornato in A); in sintesi, in corrispondenza degli angoli per cui il coseno è uguale a 1.

 

Il grafico termina in corrispondenza di un tempo pari al periodo T; in effetti, quando il punto P ha compiuto un giro completo e in un tempo pari al periodo, il punto Q torna nuovamente nella posizione iniziale A, compiendo così un'oscillazione completa.

 

Di conseguenza, Q si troverà in B quando sarà trascorso un tempo pari alla metà del periodo, perché P avrà percorso soltanto mezza circonferenza.

 

 

Osservazione (grafico spazio-tempo del moto armonico con costante di fase)

 

Nel caso in cui la costante di fase non fosse pari a zero, otteremo comunque una cosinusoide ma traslata a destra o a sinistra di una quantità pari alla costante stessa. In caso di dubbi potete consultare la lezione sul grafico intuitivo delle funzioni.

 

Grafico velocità-tempo del moto armonico

 

Se vogliamo ricavare l'equazione della velocità a partire da quella della posizione, non dobbiamo fare altro che derivare la posizione rispetto al tempo. Ovviamente chiunque non abbia ancora studiato le derivate può e deve dare per buona la formula:

 

 

 v = \frac{dx}{dt} = - A \omega \sin(\omega t + \phi)

 

 

Il segno meno che compare nell'equazione della velocità ci fornisce informazioni sul verso del vettore velocità.

 

Se consideriamo positivi i vettori rivolti verso la direzione positiva dell'asse x (verso destra), diremo che quando Q si muove da A a B, la sua velocità è negativa. In effetti, P descriverà angoli compresi tra 0° e 180° e, per questi angoli, il seno assume valori positivi che, moltiplicati per il segno meno, forniscono risultati negativi.

 

Quando invece Q si muove da B ad A, allora il seno assume valori negativi (P descrive angoli compresi tra 180° e 360°) e di conseguenza la velocità diventa positiva, e sarà rappresentata come un vettore diretto orizzontalmente verso destra.

 

Proviamo ora a tracciare il grafico della velocità di Q in funzione del tempo.

 

 

Grafico di velocità nel moto armonico

 

 

In questo caso, siamo in presenza di una sinusoide, ovvero del grafico della funzione seno e, in effetti, più in alto avevamo scritto la velocità di Q come il prodotto della velocità di P per il seno della fase.

 

La situazione rispetto alla posizione è rovesciata: per gli angoli di 0°, 180° e 360° (quando Q si trova in A o in B), la velocità è nulla mentre è massima e pari alla velocità di P quando il seno vale 1, ossia quando la fase è uguale a  90° oppure a 270°, cioè quando Q si trova nel centro della circonferenza.

 

 

Velocità massima:  v_{max} = \omega A

 

 

Accelerazione nel moto armonico

 

Ricaviamo ora l'accelerazione del moto armonico derivando rispetto al tempo l'espressione della velocità:

 

 

 a = \frac{dv}{dt} = - A \omega^{2} \cos(\omega t + \phi)

 

 

Anche l'accelerazione ha un segno meno, pertanto sarà negativa (e quindi rappresentabile con un vettore rivolto verso sinistra) quando il coseno è positivo, ovvero quando il suo argomento è compreso tra 0° e 90° oppure tra 270° e 360°.

 

Essa sarà invece positiva (e quindi diretta verso destra) quando il coseno è negativo, cioè quando il suo argomento è compreso tra 90° e 270°.

 

L'accelerazione è massima quando Q si trova agli estremi del diametro (0° e 180°, angoli in corrispondenza dei quali il coseno vale 1) e nulla quando si trova nel centro (90°, 270°).

 

 

Accelerazione massima:  a_{max} = \omega^{2} A

 

 


 

Come al solito vi salutiamo rinnovando il nostro invito a fare buon uso della barra di ricerca: avete a disposizione tantissimi esercizi svolti! :)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Alessandro Catania (Alex)

 

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