Moto armonico

Il moto armonico (abbreviato MA) è un particolare tipo di moto rettilineo, che viene individuato come il moto lungo una componente per un corpo che si muove di moto circolare uniforme, mediante scomposizione lungo un asse fissato.

 

Siete carichi? Stiamo per affrontare il moto armonico, uno degli argomenti più importanti di tutta la Cinematica che verrà ripreso e studiato in tantissime applicazioni successive. Fortunatamente, pur trattandosi di un modello importantissimo in Fisica, come vedremo tra un attimo non è affatto complicato.

 

Qui di seguito partiremo da una descrizione del modello che ci permetterà di comprendere la definizione di moto armonico; successivamente vedremo quali sono le formule del moto armonico e un semplice esempio svolto.

 

Definizione di moto armonico

 

Prima di tutto vediamo la definizione di moto armonico: esso è il moto lungo una retta di un punto che è la proiezione di un altro punto che si muove di moto circolare uniforme.

 

Sembra complicato? Non lasciatevi intimidire: ora ci accingiamo ad analizzare la definizione basandoci su un modello concreto, coadiuvato da diversi grafici, che ci permetterà di immaginare nel dettaglio il comportamento di un punto materiale che si muove di moto armonico.

 

Cos'è il moto armonico?

 

Come abbiamo anticipato, per comprendere la definizione non possiamo prescindere da una spiegazione dettagliata sul modello del moto armonico.

 

Consideriamo un punto P che si muove lungo una circonferenza di moto circolare uniforme. Il punto P parte dalla posizione A e gira in senso antiorario.

 

Ora consideriamo il punto Q che è la proiezione di P sul diametro AB della circonferenza e cerchiamo di capire come si muove Q lungo il diametro man mano che P ruota.

 

Il punto Q seguirà lungo il diametro il punto P "come se fosse la sua ombra".

 

 

Moto armonico

 

 

Quando il punto P si trova nella posizione iniziale A, anche la sua proiezione Q si trova in A e la sua velocità è nulla.

 

 

Posizione iniziale moto armonico

 

 

Quando invece P si allontana da A, Q si muove lungo il diametro verso l'estremo B. La Trigonometria ed in particolare la definizione di coseno di un angolo ci permettono di esprimerne la posizione x di Q, che è data da:

 

 

x=r\cos(\alpha)

 

 

Se guardiamo la velocità di Q, ci accorgiamo che essa corrisponderà alla componente della velocità di P lungo l'asse orizzontale. 

 

 

velocita-nel-moto-armonico

Per determinarla basta ricorrere ai teoremi trigonometrici sui triangoli rettangoli e alle relazioni degli angoli associati

 

v=v_P\cos(90^o-\alpha)

 

da cui

 

 v = v_{P}\sin(\alpha)

 

Una volta che P ha raggiunto la posizione C, Q si trova esattamente nel centro della circonferenza; essendo la velocità di P perfettamente orizzontale, in questo istante Q avrà la stessa velocità di P.

 

 

descrizione-moto-armonico

 

 

Nel moto dalla posizione iniziale A al centro della circonferenza, il punto Q è partito da fermo e ha progressivamente incrementato la sua velocità: ha dunque subito un'accelerazione.

 

Continuiamo a seguire P nel suo moto lungo l'arco CB; la sua velocità risulta nuovamente inclinata rispetto all'orizzontale, pertanto la proiezione Q avrà un valore minore di velocità rispetto a quella che aveva quando si trovava in C.

 

Tale velocità sarà pari alla componente orizzontale della velocità di P, proprio come accadeva quando P si trovava sull'arco AC. Abbiamo quindi una situazione speculare: il punto Q da A a O ha accelerato fino a raggiungere nel centro la sua velocità massima, mentre da O a B decelera fino a fermarsi in B.

 

 

velocita-tangenziale-moto-armonico

 

 

Se pensiamo al moto di P quando questo si muove lungo la semicirconferenza inferiore da B ad A, ci accorgiamo che il punto Q si muoverà nello stesso modo in cui si è mosso da A a B. Lascerà quindi il punto B da fermo, accelerando fino a raggiungere la velocità massima in O per poi decelerare fino a fermarsi in A.

 

Ovviamente, se il punto P continua nel suo moto circolare compiendo un secondo giro, il punto Q si muoverà lungo il diametro esattamente nello stesso modo che abbiamo appena visto.

 

In definitiva, il moto del punto Q che abbiamo descritto è proprio un moto armonico, perché soddisfa la definizione data inizilamente.

 

Formule del moto armonico

 

Prima di tutto un riepilogo utile per chi vuole semplicemente ripassare le formule del moto armonico, e a seguire tutte le spiegazioni del caso.

 

Periodo e frequenza

T=\frac{1}{f}\ \ \ ;\ \ \ f=\frac{1}{T}\ \ \ ;\ \ \ T=\frac{2\pi}{\omega}

Pulsazione

\omega=\frac{2\pi}{T}\ \ \ ;\ \ \ \omega=2\pi f

Legge oraria (senza sfasamento)

x=A\cos(\omega t)

Legge oraria (con sfasamento)

 x(t) = A cos(\omega t + \phi)

Velocità

v=- A \omega \sin(\omega t + \phi)

Velocità massima

v_{max}=\omega A

Accelerazione

a=- A \omega^{2} \cos(\omega t + \phi)

Accelerazione massima

a_{max}=A\omega^2

 

 

Le prime formule del moto armonico che prendiamo in considerazione sono quelle relative al periodo e alla frequenza. Esse presentano le medesime definizioni che abbiamo già visto nel moto circolare uniforme, trasposte però nel contesto del moto armonico.

 

Il periodo qui assume il significato di tempo necessario per compiere un'oscillazione completa; la frequenza ha invece il significato di numero di oscillazioni complete effettuate in un secondo.

 

 

T=\frac{1}{f}\ \ \ ;\ \ \ f=\frac{1}{T}\ \ \ ;\ \ \ T=\frac{2\pi}{\omega}

 

 

Ricordate la definizione della velocità angolare \omega vista nel moto circolare uniforme?

 

 \omega = \frac{\Delta\theta}{\Delta t}

 

Nel mostro caso, abbiamo considerato un angolo \alpha descritto in un generico tempo t. Di conseguenza:

 

 \omega = \frac{\alpha}{t}\ \longrightarrow\ \alpha = \omega t

 

Possiamo quindi riscrivere la formula per la posizione del moto armonico, vale a dire

 

x=r\cos(\gamma)

 

sostituendo l'angolo \gamma in funzione della velocità angolare e del tempo. Così facendo otteniamo la legge oraria del moto armonico

 

 

 x = r\cos(\omega t)

 

 

dove la grandezza \omega, nel contesto del moto armonico, assume il nome di pulsazione.

 

Normalmente, si usa indicare con la lettera A l'ampiezza del moto armonico, cioè il massimo spostamento dal centro, ovvero il raggio r della circonferenza descritta da P.

 

 

A=r

 

 

Inoltre, è possibile che il punto P non parta dalla posizione A, come abbiamo ipotizzato prima: se partisse da un posizione differente, il raggio in quel punto formerebbe un certo angolo con la direzione orizzontale, che indichiamo con la lettera \phi e che chiamiamo costante di fase. In tal caso la proiezione Q del punto P si troverebbe in una diversa posizione lungo il diametro.

 

Pertanto, ecco la legge oraria del moto armonico nella sua variante più completa e definitiva:

 

 

x(t)=A\cos(\omega t+\phi)

 

 

L'argomento del coseno (\omega t + \phi) prende il nome di fase.

 

In certi casi può capitare di leggere la legge oraria del moto armonico scritta con la funzione seno al posto del coseno. Non cambia nulla in verità, perché di fatto il grafico del coseno non è altro che quello del seno traslato indietro di \pi/2.

 

Esempi sul moto armonico

 

Per concludere vediamo un esempio sul moto armonico. Se ci viene fornita una legge oraria del moto armonico con i valori numerici, come questa:

 

 x(t) = (0,7 \mbox{ m})\cdot \cos \left( 2 \: \frac{\mbox{rad}}{\mbox{s}} \cdot t + 0,75 \mbox{ rad} \right)

 

si possiamo capire i dati dal semplice confronto tra la legge oraria che ci è stata data e la formula generale. Nel nostro caso si ottiene:

 

 A = 0,7 \mbox{ m} \ \ \ ;\ \ \ \omega=2\ \frac{\mbox{rad}}{\mbox{s}}\ \ \ ;\ \ \  \phi = 0,75 \mbox{ rad}

 

Attenzione perché in una legge oraria il tempo t è una variabile e di conseguenza deve rimanere indicato con la lettera t. In breve, la legge oraria esprime la posizione come funzione del tempo.

 

Potremo così sostituire il tempo t con uno specifico valore di tempo corrispondente all'istante in cui vogliamo calcolare la posizione.

 

Calcoliamo ora la posizione di un punto che si muove di moto armonico al tempo t=4 s, sapendo che l'ampiezza è 3 m, la costante di fase è 0,2 rad e la velocità angolare è 0,95 rad/s.

 

 x(t) = (3 \mbox{ m})\cdot \cos \left( 0,95 \: \frac{\mbox{rad}}{\mbox{s}} \cdot 4 \mbox{ s} + 0,2 \mbox{ rad} \right) = -1,96 \mbox{ m}

 

Il valore negativo non deve stupire: significa solo che il punto si trova "indietro" rispetto all'origine del sistema di riferimento dato dall'asse x, ossia nel semiasse delle ascisse negative.

 

 


 

Nella lezione successiva vedremo in dettaglio i grafici del moto armonico e ci occuperemo delle formule per la velocità e per l'accelerazione; nel frattempo se siete alla ricerca di problemi ed esercizi sul moto armonico, potete usare la barra di ricerca interna. YouMath è pieno di esercizi svolti, tutti a portata di click! :)

 

Molto più avanti avremo modo di riprendere il moto armonico ed in particolare tratteremo il modello dell'oscillatore armonico, quello del pendolo semplice e quello del moto armonico smorzato. Ogni cosa a suo tempo. ;)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Alessandro Catania (Alex)

 

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