Moto circolare uniformemente accelerato

Il moto circolare uniformemente accelerato (abbreviato MCUA) è un tipo di moto in cui un corpo, in rotazione lungo una traiettoria circolare, si muove sottoposto ad una accelerazione tangenziale costante in modulo. Esso viene descritto da una formula detta legge oraria del moto circolare uniformemente accelerato.

 

Dopo aver trattato il moto circolare uniforme, in questa lezione proseguiamo nello studio del moto circolare e passiamo ad occuparci del moto circolare uniformemente accelerato. Prima di procedere osserviamo l'analogia che sussiste tra moto rettilineo e il moto circolare: nel primo caso si considerano come modelli di partenza il moto rettilineo uniforme e successivamente il moto rettilineo uniformemente accelerato. Nel contesto del moto circolare vige una situazione analoga.

 

Nella spiegazione che segue partiremo dalla definizione di moto circolare uniformemente accelerato e ci soffermeremo sulle varie formule che caratterizzano le grandezze coinvolte, mostrando come si ricavano.

 

Definizione di moto circolare uniformemente accelerato

 

Abbiamo visto che nel moto circolare uniforme il moto del punto materiale avviene lungo una traiettoria circolare a velocità costante (in modulo). Potremmo anche imbatterci nel caso in cui un punto materiale si muove lungo una traiettoria circolare accelerando, e quindi incrementando o diminuendo il valore della propria velocità. È il caso, ad esempio, di un punto che si trova sulla spalla di un pneumatico: quando l'auto accelera, le ruote girano sempre più velocemente.

 

Un moto circolare uniformemente accelerato è per definizione un moto circolare caratterizzato da un'accelerazione angolare costante, o equivalentemente da un'accelerazione tangenziale costante in modulo.

 

Formule del moto circolare uniformemente accelerato

 

Prima di tutto elenchiamo, per la comodità di chi vuole effettuare un veloce ripasso, le formule per il moto circolare uniformemente accelerato.

 

 

Accelerazione totale

 \vec{a}_{tot} = \vec{a}_{T} + \vec{a}_{C}

Modulo accelerazione totale

 a_{tot} = \sqrt{a_{T}^{2} + a_{C}^{2}}

Modulo accelerazione tangenziale

a_T=\alpha r

Accelerazione angolare

 \alpha = \frac{\omega_{f} - \omega_{i}}{t_f-t_i}

Legge oraria con t_0=0

\theta = \frac{1}{2}\alpha t^{2} + \omega_{0} t + \theta_{0}

Velocità angolare

\omega=\omega_{0}+\alpha t

Equazione senza il tempo

\omega^2=\omega_0^2+2\alpha(\theta-\theta_0)

Caratterizzazione: accelerazione angolare \alpha costante, modulo dell'accelerazione tangenziale a_T costante.

 

 

Ora passiamo alla spiegazione sul moto circolare uniformemente accelerato. C'è un'importantissima premessa da prendere in considerazione...

 

Dal moto circolare uniforme sappiamo che, pur essendo la velocità costante in modulo, non lo è nella direzione e di conseguenza è presente un'accelerazione detta accelerazione centripeta, che permette al punto materiale di rimanere sulla propria traiettoria.

 

Nel moto circolare uniformemente accelerato oltre all'accelerazione centripeta (sempre presente perché è quella che ci permette di modificare costantemente la direzione della velocità costringendoci a muoverci lungo una traiettoria circolare) abbiamo ora anche un'accelerazione tangenziale, ovvero quell'accelerazione che fa variare il modulo della velocità.

 

Abbiamo così due componenti dell'accelerazione, perpendicolari tra loro. L'accelerazione totale sarà data dalla somma vettoriale dell'accelerazione tangenziale e dell'accelerazione centripeta

 

 

 \vec{a}_{tot} = \vec{a}_{T} + \vec{a}_{C}

 

 

Moto circolare uniformemente accelerato

 

 

Poichè le due componenti sono perpendicolari tra di loro, possiamo scrivere la formula per il modulo dell'accelerazione totale grazie al teorema di Pitagora (in accordo con la regola del parallelogramma per la somma di due vettori)

 

 

 a_{tot} = \sqrt{a_{T}^{2} + a_{C}^{2}}

 

 

A questo punto possiamo definire una nuova grandezza, l'accelerazione angolare, che si indica con \alpha e che ci dice come cambia la velocità angolare \omega nel tempo.

 

 

 \alpha = \frac{\Delta\omega}{\Delta t} = \frac{\omega_{f} - \omega_{i}}{t_f-t_i}

 

 

L'accelerazione angolare ci permette inoltre di calcolare il modulo dell'accelerazione tangenziale, secondo la formula

 

 

a_T=\alpha r

 

 

È importante ribadire che le grandezze costanti nel MCUA sono solamente l'accelerazione angolare ed il modulo dell'accelerazione tangenziale. Poiché in particolare è presente un'accelerazione tangenziale, essa comporta una variazione del modulo della velocità tangenziale. Ciò fa sì che a differenza di quanto accade nel MCU l'accelerazione centripeta sia variabile in modulo, il che ci permette di concludere che l'accelerazione totale non è costante in modulo.

 

Legge oraria del moto circolare uniformemente accelerato

 

Disponendo dei giusti strumenti matematici è possibile scrivere una formula che esprime come varia l'angolo in funzione del tempo, vale a dire la legge oraria per il moto circolare uniformemente accelerato:

 

 

\theta=\frac{1}{2}\alpha t^2+\omega_0t+\theta_0

 

 

Vedete subito che si tratta del corrispondente circolare della legge oraria del moto rettilineo uniformemente accelerato, dove si sostituisce ogni variabile rettilinea con la sua corrispondente circolare. Così, lo spazio s corrisponde all'angolo \theta, l'accelerazione a diventa l'accelerazione angolare \alpha e la velocità iniziale v_0 si trasforma nella velocità angolare iniziale \omega_0.

 

La precedente equazione permette di descrivere in qualsiasi istante la posizione del punto materiale lungo la traiettoria circolare, a patto di considerare come istante iniziale t_0=0, cui corrispondono come posizione iniziale l'angolo \theta_0 e come velocità angolare iniziale \omega_0.

 

Un'altra formula utile è quella che esprime come varia la velocità angolare in funzione del tempo:

 

 

\omega=\omega_{0}+\alpha t

 

 

Anche in questo caso, abbiamo ritrovato il corrispondente circolare di un'equazione già vista nel moto rettilineo uniformemente accelerato. ;)

 

In particolare, esattamente come nel caso del MRUA, anche nel MCUA le due formule appena scritte vanno utilizzate spesso e volentieri a sistema

 

 

\begin{cases}\theta = \frac{1}{2}\alpha t^{2} + \omega_{0} t + \theta_{0}\\ \omega=\omega_{0}+\alpha t\end{cases}

 

Formula del moto circolare uniformemente accelerato senza il tempo

 

C'è un'altra formula che si ricava facilmente a partire dalla legge oraria e dalla formula della velocità angolare in funzione del tempo, è che si rivela utile quando non disponiamo del tempo e non dobbiamo nemmeno calcolarlo: la cosidetta equazione senza il tempo

 

 

\omega^2=\omega_0^2+2\alpha(\theta-\theta_0)

 

Esempio sul moto circolare uniformemente accelerato

 

Vediamo un esempio di studio del moto circolare uniformemente accelerato.

 

Supponiamo di avere un punto che si muove di moto circolare partendo da fermo (ω0=0 rad/s) e che accelera con accelerazione angolare costante α=0,3 rad/s2 fino a raggiungere la velocità angolare di 1,7 rad/s. Quale angolo avrà descritto?

 

Svolgimento: applichiamo le formule introdotte in precedenza, eliminando \omega_0\mbox{ e }\theta_0 perché nulli

 

\begin{cases}\theta = \frac{1}{2}\alpha t^{2} + \omega_{0} t + \theta_{0}\\ \omega=\omega_{0}+\alpha t\end{cases}

 

per cui

 

\begin{cases} \theta = \frac{1}{2}\alpha t^{2} \\ \omega = \alpha t \end{cases}

 

Ricaviamo il tempo dalla seconda equazione e sostituiamolo nella prima:

 

\begin{cases}\theta=\frac{1}{2}\alpha\left(\frac{\omega}{\alpha}\right)^2\\ t =\frac{\omega}{\alpha}\end{cases}

 

Grazie alla prima equazione possiamo calcolare l'angolo \theta

 

\theta=\frac{1}{2}\alpha\left(\frac{\omega}{\alpha}\right)^2=\frac{1}{2}\frac{\omega^{2}}{\alpha}=\frac{1}{2}\frac{\left(1,7\ \frac{\mbox{rad}}{\mbox{s}}\right)^2}{0,3\ \frac{\mbox{rad}}{\mbox{s}^2}}=4,82\ \mbox{rad}

 

e abbiamo concluso l'esercizio. Notate che dal punto di vista dimensionale il risultato è perfettamente consistente con la richiesta, infatti è espresso in radianti.

 

Come ricavare la legge oraria del moto circolare uniformemente accelerato

 

Vediamo come è possibile ricavare le formule che abbiamo appena scritto. A scanso di equivoci, questo paragrafo è facoltativo e si rivolge esclusivamente agli studenti che abbiano già affrontato gli integrali e le equazioni differenziali.

 

Sappiamo che, per definizione, l'accelerazione angolare \alpha è la derivata della velocità angolare \omega rispetto al tempo

 

\alpha=\frac{d\omega}{dt}

 

Se consideriamo tale relazione in termini di contributi infinitesimi

 

d\omega=\alpha dt

 

e leggiamo la precedente relazione come un'equazione differenziale a variabili separabili, possiamo separare le variabili e integrare ambo i membri, ponendo il tempo iniziale uguale a zero.

 

Otteniamo così:

 

\\ \int_{\omega_{0}}^{\omega}{d\omega}=\int_{0}^{t}{\alpha dt}\\ \\ \\ \omega - \omega_{0}=\alpha (t-0)\\ \\ \\ \omega= \omega_{0} + \alpha t

 

e abbiamo ricavato la formula che esprime la velocità angolare in funzione del tempo.

 

Ricordandoci che la velocità angolare \omega è definita come la derivata dell'angolo \theta rispetto al tempo, scriviamo:

 

 \frac{d\theta}{dt} = \omega_{0} + \alpha t

 

Separiamo le variabili e integriamo ambo i membri:

 

\\ \int_{\theta_{0}}^{\theta}{d\theta} = \int_{0}^{t}{\left( \omega_{0} + \alpha t \right) dt}\\ \\ \\  \theta - \theta_{0} = \omega_{0}t + \frac{1}{2}\alpha t^{2}\\ \\ \\ \theta = \frac{1}{2}\alpha t^{2} + \omega_{0} t + \theta_{0}

 

e abbiamo ottenuto la legge oraria del moto circolare uniformemente accelerato. :)

 

 


 

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Buon proseguimento su YouMath,

Alessandro Catania (Alex)

 

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