Moto circolare uniforme

Il moto circolare uniforme (abbreviato MCU) è un tipo di moto in cui un corpo si muove in rotazione lungo una traiettoria circolare con un valore di velocità costante, e che viene descritto da una formula detta legge oraria del moto circolare uniforme.

 

Il moto circolare uniforme è un moto nel piano particolarmente importante, perché come vedremo ricorrerà spesso e volentieri nelle applicazioni teoriche e pratiche. In questa densissima, seppur semplice lezione proporremo tutte le formule del moto circolare uniforme, non prima di averne dato la definizione.

 

Di volta in volta commenteremo le formule e ragioneremo sul corrispondente significato fisico, con opportuni esempi cui far riferimento. Diciamo che la spiegazione che segue è rivolta sia a chi è in cerca delle formule nude e crude, sia a chi vuole studiare o ripassare il moto circolare uniforme e capirne le varie implicazioni. ;)

 

Definizione di moto circolare uniforme

 

Prima di tutto vediamo in cosa consiste il moto circolare uniforme dandone la definizione: il MCU è il moto di un punto materiale che descrive una traiettoria circolare ruotando con un valore di velocità costante.

 

A titolo esemplificativo si può spiegare il moto circolare uniforme con un semplice esempio: la classica giostra dei cavalli, in cui ogni cavallo compie una traiettoria circolare attorno al centro della giostra e la velocità con cui ogni cavallo ruota è costante durante il moto.

 

Formule del moto circolare uniforme

 

Per cominciare abbiamo ritenuto opportuno raccogliere le numerose formule del moto circolare uniforme in una tabella pronta all'uso. Tale tabella è pensata per chi ha già studiato il MCU e deve solo ripassare; nella parte successiva della lezione tratteremo nel dettaglio le varie grandezze coinvolte, commentando le varie formule e mostrando come si ricavano.

 

 

Velocità tangenziale Velocità angolare Frequenza e periodo Accelerazione centripeta
v=\frac{s}{t} \omega=\frac{2\pi}{T} f=\frac{1}{T} a_{c}=\frac{v^2}{r}
v=\frac{2\pi r}{T} \omega=2\pi f T=\frac{1}{f} a_{c}=\omega^2 r
r=\frac{vT}{2\pi} T=\frac{2\pi}{\omega} v=\sqrt{a_cr}
T=\frac{2\pi r}{v} v=\omega r r=\frac{v^2}{a_c}
\omega=\frac{v}{r} \omega=\sqrt{\frac{a_c}{r}}
r=\frac{v}{\omega} r=\frac{a_c}{\omega^2}
Caratterizzazione: modulo della velocità, velocità angolare, periodo, frequenza, modulo dell'accelerazione centripeta costanti
Legge oraria: \theta_t=\theta_0+\omega t

 

Velocità tangenziale nel moto circolare uniforme

 

Per trovare il valore di velocità costante con cui un punto si muove descrivendo una traiettoria circolare in moto circolare uniforme, dobbiamo pensare alla solita definizione di velocità come rapporto tra lo spazio percorso e il tempo impiegato a percorrerlo.

 

 

 v = \frac{s}{t}

 

 

Nel caso del moto circolare, se pensiamo di percorrere un giro completo di 360° (angolo giro), lo spazio coincide con la lunghezza della circonferenza (C=2\pi r).

 

Dato che il modulo della velocità è costante nel moto circolare uniforme, il tempo necessario a compiere un giro completo è sempre lo stesso ad ogni giro e prende il nome di periodo e viene indicato con T.

 

 

 v = \frac{2\pi r}{T}

 

 

Ecco quindi l'espressione della velocità, detta anche velocità tangenziale perché si tratta di un vettore che, punto per punto, è sempre tangente alla traiettoria circolare e perpendicolare al raggio. Il verso del vettore velocità è dato dal senso di rotazione del punto (orario o antiorario).

 

Di conseguenza nel moto circolare uniforme la velocità è costante nel modulo, ma non nella direzione né nel verso.

 

 

Velocità nel moto circolare uniforme

 

 

Le fomule inverse della velocità tangenziale nel moto circolare uniforme sono immediate da ricavare

 

 

Raggio: r = \frac{vT}{2\pi}

 

Periodo: T = \frac{2\pi r}{v}

 

Velocità angolare nel moto circolare uniforme

 

Nel moto circolare un'altro tipo di velocità, detta velocità angolare, che è definita come il rapporto tra l'angolo descritto dal punto in un intervallo di tempo, e si indica con la lettera \omega.

 

Dato che il valore della velocità è costante nel moto circolare uniforme, per calcolare la velocità angolare basta considerare un giro completo: l'angolo descritto è di 360° (2\pi in radianti) e il tempo per percorrerlo è ovviamente il periodo.

 

 

 \omega = \frac{2\pi}{T}

 

 

Abbiamo una sola formula inversa per il periodo:

 

 

 T = \frac{2\pi}{\omega}

 

 

Esiste inoltre una relazione che lega la velocità angolare alla velocità tangenziale nel moto circolare uniforme:

 

 v = \omega r

 

 

Per desumerla è sufficiente impostare una proporzione tra la distanza percorsa lungo l'intera traiettoria circolare, coperta con un movimento a velocità tangenziale costante, e l'angolo giro coperto muovendosi con velocità angolare costante

 

2\pi r:v=2\pi:\omega

 

Grazie alla proprietà fondamentale delle proporzioni ricaviamo proprio la formula precedente:

 

v=\frac{2\pi r\cdot \omega}{2\pi}=\omega r

 

Dalla relazione tra velocità angolare e velocità tangenziale possiamo ricavare immediatamente le seguenti formule inverse

 

 

\\ \omega = \frac{v}{r}\\ \\ \\ r = \frac{v}{\omega}

 

 

Osservazione (differenza tra velocità angolare e velocità tangenziale)

 

Osserviamo subito che la velocità tangenziale dipende dal raggio. Ciò ad esempio significa che, nel caso della giostra, il cavallo più esterno (quello la cui traiettoria ha raggio maggiore) avrà una velocità tangenziale maggiore, mentre quello che si trova più vicino al centro girerà più lentamente. A ben vedere ciò ha perfettamente senso: il cavallo più lontano dal centro di rotazione dovrà percorrere una circonferenza più lunga nello stesso tempo di tutti gli altri, e quindi necessariamente dovrà essere più veloce.

 

Per la velocità angolare invece non c'è nessuna dipendenza dal raggio: tutti i cavalli della giostra avranno la stessa velocità angolare indipendentemente dalla loro distanza dal centro di rotazione, perché tutti descriveranno lo stesso angolo nello stesso tempo.

 

Frequenza nel moto circolare uniforme

 

Il moto circolare uniforme è caratterizzato da un'altra importante grandezza: la frequenza f.

 

La frequenza ci dice quanti giri vengono compiuti ogni secondo. Essa è definita come il reciproco del periodo e la sua unità di misura prende il nome di Hertz (Hz), che dimensionalmente corrisponde al reciproco del secondo.

 

 

 f = \frac{1}{T}

 

 

Di conseguenza, è possibile ricavare il periodo dalla frequenza mediante la formula inversa

 

 

t = \frac{1}{f}

 

 

Attenzione a non confondere periodo e frequenza. Se vi si dice che un corpo ruota con un periodo di 20 s, significa che impiega un tempo di 20 s per percorrere un giro completo. Se vi si dice invece che la frequenza è di 20 Hz, allora significa che in un solo secondo, il corpo compie 20 giri.

 

Accelerazione centripeta nel moto circolare uniforme

 

Nonostante il moto circolare uniforme sia un moto a velocità costante, siamo comunque in presenza di un'accelerazione.

 

La cosa non vi deve stupire perché in realtà la velocità non è davvero costante. Non vi dimenticate che la velocità è un vettore e che per far variare un vettore si può modificare il suo modulo oppure la sua direzione o entrambe le caratteristiche!

 

Nel caso del moto circolare uniforme, il modulo della velocità rimane costante (ed è a questo aspetto che ci si riferisce con la parola uniforme) ma la sua direzione cambia costantemente. Per modificare la direzione della velocità, abbiamo bisogno di un'accelerazione, detta accelerazione centripeta perché si tratta di un vettore diretto sempre verso il centro della circonferenza.

 

 

Accelerazione centripeta nel moto circolare uniforme

 

 

Abbiamo due diverse formule per l'accelerazione centripeta:

 

 

\\ a_{c} = \frac{v^{2}}{r}\\ \\ \\ a_{c} = \omega^{2}r

 

 

e a seconda degli esercizi, sceglieremo l'equazione più conveniente. Ecco le formule inverse:

 

 

\\ v = \sqrt{a_{c}r} \ \ \ \ \ r = \frac{v^{2}}{a_{c}}\\ \\ \\ \omega = \sqrt{\frac{a_{c}}{r}}\ \ \ \ \ r = \frac{a_{c}}{\omega^{2}}

 

 

Dalle formule si nota facilmente che l'accelerazione centripeta è costante in modulo, mentre non lo è nella direzione né tantomeno nel verso.

 

Esempio sul moto circolare uniforme

 

Vediamo un esempio di riepilogo sul moto circolare uniforme, in modo da applicare le formule introdotte finora.

 

Abbiamo un disco in vinile del diametro di 30 cm che effettua 33 giri al minuto.
Quanto vale la velocità angolare del disco?

Quanto valgono la velocità tangenziale di un punto che si trova sul bordo e quella di un punto che si trova a 12 cm dal centro?

Infine, qual è l'accelerazione centripeta di un punto sul bordo del disco?

 

Svolgimento: guardiamo i dati. Noi disponiamo del diametro del disco ma nelle nostre formule ci serve il raggio, per cui dividiamo il diametro per 2 e convertiamolo in metri

 

r=15\mbox{ cm}=0,15\mbox{ m}

 

Con il dato del numero dei giri al minuto ci è stata data la frequenza, ma non in Hertz perché questi sono giri al secondo. Come possiamo convertire i giri al minuto in giri al secondo?

 

Ogni minuto è costituito da 60 secondi, per cui ci basta dividere per 60:

 

 f = 33 \: \frac{\mbox{giri}}{\mbox{min}} = 33 \: \frac{\mbox{giri}}{60\mbox{ s}} = 0,55 \: \frac{\mbox{giri}}{\mbox{s}} = 0,55 \mbox{ Hz}

 

Ora possiamo calcolare il periodo di rotazione:

 

 T = \frac{1}{f} = \frac{1}{0,55 \mbox{ Hz}} = 1,8 \mbox{ s}

 

e dunque la velocità angolare è:

 

 \omega = \frac{2 \pi}{T} = 3,5 \: \frac{\mbox{rad}}{\mbox{s}}

 

La velocità tangenziale di un punto sul bordo del disco (r=0,15 m) è invece:

 

 v = \omega r = 3,5 \: \frac{\mbox{rad}}{\mbox{s}} \cdot 0,15 \mbox{ m}= 0,52 \: \frac{\mbox{m}}{\mbox{s}}

 

Per un punto che si trova a una distanza dal centro di 12 cm, possiamo usare la stessa formula dell'ultimo passaggio cambiando il raggio, che ora diventa r = 0,12 m.

 

 v = \omega r = 3,5 \: \frac{\mbox{rad}}{\mbox{s}} \cdot 0,12 \mbox{ m} = 0,41 \: \frac{\mbox{m}}{\mbox{s}}

 

Infine, volendo calcolare l'accelerazione centripeta di un punto sul bordo del disco:

 

a_{c}=\omega^2r=\left(3,5\ \frac{\mbox{rad}}{\mbox{s}}\right)^2\cdot 0,15\mbox{ m}=1,8\ \frac{\mbox{m}}{\mbox{s}^{2}}

 

Legge oraria del moto circolare uniforme

 

In tutti i moti che abbiamo studiato finora abbiamo visto che è possibile scrivere una legge oraria, cioè un'equazione che caratterizza il moto e che descrive la posizione del punto materiale al tempo t. Vi ricordate il moto rettilineo uniforme ed il moto rettilineo uniformemente accelerato?

 

Ovviamente esiste anche una legge oraria per il moto circolare uniforme, ed è la seguente:

 

 

\theta(t)=\theta_{0} + \omega t

 

 

dove la posizione del punto materiale viene espressa per comodità in funzione dell'angolo. Da notare che nella legge oraria si considera t_0=0 come istante iniziale e \theta_0 come posizione iniziale.

 

Vediamo come ricavare la legge oraria del moto circolare uniforme. Questa parte della spiegazione è facoltativa ed è dedicata solamente a chi ha già studiato gli integrali e le equazioni differenziali.

 

Tornando alla velocità angolare, essa può anche essere scritta come:

 

 \omega = \frac{\Delta \theta}{\Delta t}=\frac{\theta-\theta_i}{t-t_i}

 

Considerando la precedente equazione come espressione del rapporto incrementale di \theta=\theta(t) calcolato in t_i, e facendo tendere a zero l'intervallo di tempo Ît, otteniamo la derivata della funzione \theta(t) rispetto al tempo.

 

 \omega = \frac{d\theta}{dt}

 

Ora trattiamo la precedente relazione come un'equazione differenziale alle variabili separabili e consideriamo i contributi infinitesimi

 

 d\theta = \omega dt

 

e integriamo entrambi i membri. Otteniamo (con un piccolo abuso di notazione sugli estremi di integrazione):

 

\\ \int_{\theta_{0}}^{\theta}{d\theta} = \int_{0}^{t}{\omega dt}\\ \\ \\ \theta - \theta_{0} = \omega t \\ \\ \\ \theta = \theta_{0} + \omega t

 

In particolare possiamo notare che questa equazione è l'equivalente per il moto circolare della legge oraria del moto rettilineo uniforme, dove lo spazio s è sostituito dall'angolo \theta e la velocità v dalla velocità angolare \omega.

 

 


 

Prima di salutarvi, vi ricordiamo che YM è pieno zeppo di esercizi svolti e tra questi potete consultare diversi esercizi sul moto circolare uniforme. :) Inoltre, non perdetevi le prossime lezioni, in cui faremo un passo in avanti e tratteremo il moto circolare uniformemente accelerato ed il moto armonico!

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Alessandro Catania (Alex)

 

Lezione precedente..........Lezione successiva


Tags: spiegazione sul moto circolare uniforme con formule e definizione.