Gittata e massima altezza

La gittata e la massima altezza in un moto parabolico sono rispettivamente la distanza raggiunta dal corpo e, come suggerito dal nome stesso, la massima quota toccata nel corso del moto.

 

Ora che abbiamo studiato il moto parabolico, detto anche moto del proiettile, vogliamo approfondire il discorso e dedicare la nostra attenzione ad un'applicazione che ricorre frequentemente negli esercizi: come calcolare la gittata e la massima altezza della traiettoria di un moto parabolico?

 

Dato che questi termini potrebbere essere nuovi per i meno esperti, partiremo dalla definizione di gittata in un moto parabolico, affiancando la spiegazione con un opportuno grafico. Fatto ciò, forniremo la formula per il calcolo della gittata e mostreremo come si ricava. Infine ci occuperemo della massima altezza nel moto del proiettile, mostrandone la definizione, le relative formule di calcolo e come ricavarle.

 

Cos'è la gittata nel moto del proiettile?

 

Vediamo innanzitutto la definizione di gittata e altezza massima. Consideriamo un caso particolare del moto parabolico, ovvero quello in cui le posizioni iniziali x_0,y_0 sono nulle. Inoltre consideriamo un proiettile che, partendo da un'altezza pari a zero, termini il suo moto ad un'altezza pari nuovamente a zero. In questo caso, il proiettile parte dall'origine del riferimento cartesiano e compie un arco di parabola perfettamente simmetrico rispetto al suo asse, che taglia la parabola a metà.

 

 

Gittata e massima altezza

 

 

Con queste premesse possiamo definire la gittata di un proiettile: la gittata è la distanza sull'asse x che il proiettile compie in volo dal suo punto di partenza al suo punto di arrivo, ovvero quella che in figura abbiamo chiamato x_G.

 

Formule della gittata

 

Scriviamo subito le formule per il calcolo della gittata di un proiettile nel moto parabolico

 

 

Gittata

x_{G} = \frac{2v_{0x}v_{0y}}{g}

Gittata

x_{G} = \frac{2v_{0}^{2}\cos(\alpha)\sin(\alpha)}{g}

Gittata massima

x_{G,max} = \frac{v_{0}^{2}}{g}

Angolo per la gittata massima

45^o=\frac{\pi}{4}

Tempo di volo

t_{volo} = \frac{2v_{0y}}{g}

Tempo di volo

t_{volo} = \frac{2v_{0}\sin(\alpha)}{g}

 

 

Se non avete ancora studiato la Trigonometria, tranquilli perché affronterete esclusivamente nei vostri studi imminenti affronterete solamente esercizi che richiedono la prima versione della formula. Se invece avete già studiato la Trigonometria ma non siete ferratissimi al riguardo... Questo potrebbe essere il momento giusto per un ripasso. ;)

 

Come ricavare la formula della gittata

 

Come possiamo trovare l'espressione di calcolo della gittata?

 

Partiamo, come sempre per il moto parabolico, dal sistema delle due leggi orarie visto nella lezione precedente

 

\begin{cases} x = x_{0} + v_{0x}t \\ y = -\frac{1}{2}gt^{2} + v_{0y}t + y_{0} \end{cases}

 

dove però eliminiamo i termini x_0,y_0 perché nulli, come detto all'inizio.

 

 \begin{cases} x = v_{0x}t  \\ y = -\frac{1}{2}gt^{2} + v_{0y}t  \end{cases}

 

Ricordando le formule per le componenti della velocità istantanea iniziale lungo gli assi

 

\begin{cases}v_{0x} = v_{0}\cos(\alpha)\\ v_{0y} = v_{0}\sin(\alpha)\end{cases}

 

possiamo scrivere

 

\begin{cases} x = v_{0}\cos(\alpha) t \\ y = -\frac{1}{2}gt^{2} + v_{0}\sin(\alpha) t  \end{cases}

 

Se vogliamo sapere quanti metri il proiettile percorre in orizzontale prima di toccare terra (ossia la gittata del proiettile), dobbiamo impostare nella seconda equazione y = 0, perché in verticale la posizione finale è pari a zero.

 

\begin{cases} x = v_{0}\cos(\alpha) t  \\ 0 = -\frac{1}{2}gt^{2} + v_{0}\sin(\alpha) t  \end{cases}

 

da cui

 

\begin{cases} x = v_{0}\cos(\alpha) t \\ \frac{1}{2}gt^{2} - v_{0}\sin(\alpha) t = 0 \end{cases}

 

Otteniamo così un'equazione di secondo grado nell'incognita tempo

 

\\ \frac{1}{2}gt^{2} - v_{0}\sin(\alpha) t = 0\\ \\ \\ t \left(\frac{1}{2}g - v_{0}\sin(\alpha) \right)=0

 

che risolviamo per trovare il tempo di volo, ovvero il tempo che ha impiegato il proiettile a percorrere l'intero arco di parabola.

 

 

t_{1} = 0 \ \ \ ;\ \ \ t_{2} = \frac{2v_{0}\sin(\alpha)}{g}

 

 

Può sembrare strano che una soluzione sia zero, ma in realtà è un risultato perfettamente coerente con il nostro modello. Per trovare il tempo, abbiamo impostato la posizione y pari a zero e questo si verifica due volte lungo la traiettoria parabolica: nella posizione iniziale e in quella finale. Il tempo pari a zero corrisponde alla posizione iniziale, in cui naturalmente il tempo è nullo perché il proiettile non è nemmeno partito!

 

Il dato che ci interessa è comunque il secondo, che ci dà effettivamente il tempo impiegato per arrivare nella posizione finale. Sostituiamo t_2 nella prima equazione del sistema:

 

 x_{G} = v_{0}\cos(\alpha) t = v_{0}\cos(\alpha) \frac{2v_{0}\sin(\alpha)}{g} = \frac{2v_{0}^{2}\cos(\alpha)\sin(\alpha)}{g}

 

ed abbiamo così determinato la formula della gittata.

 

Angolo per la gittata massima

 

Poniamoci ora questa domanda: se voglio sparare un proiettile il più lontano possibile, cioè ottenenere la massima gittata possibile potendolo sparare sempre e solo con la stessa velocità iniziale, con quale angolo dobbiamo inclinarlo rispetto all'orizzontale?

 

Ebbene, effettivamente esiste un angolo per cui la gittata è massima: l'angolo di 45°. In questo caso parliamo proprio di gittata massima e la formula di calcolo diventa

 

 x_{G,max} = \frac{2v_{0}^{2}\cos(45^{o})\sin(45^{o})}{g}

 

da cui, conoscendo i valori delle funzioni goniometriche

 

x_{G,max}= \frac{2v_{0}^{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}}{g}

 

e quindi la gittata massima si calcola come

 

 

x_{G,max} = \frac{v_{0}^{2}}{g}

 

 

Chiunque abbia già studiato le derivate può anche dimostrare facilmente che l'angolo di gittata massima è 45°.

 

Infatti si può trovare l'angolo tale per cui la gittata è massima calcolando la derivata della gittata rispetto all'angolo \alpha e ponendola uguale a zero (come si è soliti fare nei problemi su massimi e minimi)

 

 \frac{dx_{G}}{d(\alpha)} =\frac{d}{d\alpha}\left[\frac{2v_{0}^{2}\cos(\alpha)\sin(\alpha)}{g}\right]=

 

da cui, grazie alla regola di derivazione del prodotto

 

=\frac{2v_{0}^{2}}{g}\left(-\sin^{2}(\alpha) + \cos^{2}(\alpha) \right)

 

Ponendo la derivata pari a zero

 

\\ \frac{dx_{G}}{d\alpha}=0\\ \\ \\ \frac{2v_{0}^{2}}{g}\left(-\sin^{2}(\alpha) + \cos^{2}(\alpha) \right)=0

 

e tralasciando le costanti

 

 -\sin^{2}(\alpha) + \cos^{2}(\alpha) = 0

 

Possiamo usare le formule di duplicazione per riscrivere l'equazione goniometrica nella seguente forma, e risolverla limitando le soluzioni all'intervallo 0<\alpha<45^o

 

\cos(2\alpha) = 0\ \longrightarrow\ 2\alpha = \frac{\pi}{2}\ \longrightarrow\ \alpha = \frac{\pi}{4} = 45^{o}

 

A questo punto dovremmo studiare il segno della derivata prima per desumere la natura del punto stazionario \alpha=45°, ma il corrispondente modello fisico non lascia spazio ad alcun dubbio. ;)

 

Massima altezza nel moto parabolico

 

Un'altra domanda molto frequente nei problemi sul moto parabolico riguarda il calcolo dell'altezza massima. L'altezza massima rappresenta il punto più alto che il proiettile raggiunge nel suo moto, ovvero il vertice della parabola che il proiettile descrive in volo.

 

 

Massima altezza: y_{max} = \frac{v_{0y}^{2}}{2g}

Massima altezza: y_{max}=\frac{v_{0}^{2}\sin^{2}(\alpha)}{2g}

 

Come ricavare la formula dell'altezza massima nel moto parabolico

 

Vediamo come ricavare la formula per la massima altezza; per farlo possiamo seguire due diverse strade.

 

 

La prima prevede di impostare la componente della velocità v_y pari a zero. In effetti, quando il proiettile si trova nel vertice della parabola, la sua velocità ha solo componente orizzontale perché in verticale per un solo istante si ferma prima di cominciare a cadere.

 

Grazie all'equazione delle velocità del moto uniformemente accelerato, con a=-g, abbiamo che:

 

\\ v_{y} = v_{0y} - gt\\ \\ 0 = v_{0y} - gt\\ \\ t = \frac{v_{0y}}{g}

 

Questo è il tempo impiegato per raggiungere l'altezza massima. Sostituiamolo nella legge oraria per l'asse y:

 

\\ y_{max} = -\frac{1}{2}g \frac{v_{0y}^{2}}{g^{2}} + v_{0y} \frac{v_{0y}}{g}\\ \\ \\ = -\frac{1}{2}\frac{v_{0y^}^{2}}{g} + \frac{v_{0y^}^{2}}{g} = \frac{v_{0y^}^{2}}{2g}

 

 

Il secondo metodo invece nasce dall'idea per cui, essendo la traiettoria parabolica perfettamente simmetrica, il vertice si trova esattamente a metà della parabola. Pertanto il tempo impiegato a percorrere l'arco parabolico dal punto iniziale fino al vertice è esattamente la metà del tempo impiegato ad arrivare fino al punto finale, ovvero il tempo per percorrere in orizzontale l'intera gittata.

 

Abbiamo già calcolato prima il tempo di volo per trovare la gittata; se dividiamo per due questo tempo e lo sostituiamo nella legge oraria per l'asse y, ritroviamo di nuovo l'espressione della massima altezza.

 

Ad ogni modo lasciamo a voi l'applicazione del secondo metodo a titolo di esercizio. ;)

 

 


 

Ora che abbiamo esaurito lo studio del moto parabolico, nella prossima lezione inizieremo a studiare il moto circolare uniforme. Nel frattempo se siete alla ricerca di esercizi ed altri esempi sulla gittata potete usare la barra di ricerca interna, su YM sono presenti tantissimi esercizi svolti! :)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Alessandro Catania (Alex)

 

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