Caduta libera

Un moto di caduta libera (o moto di caduta di un grave) è un particolare tipo di moto in cui un corpo, partendo inizialmente da fermo, cade sotto l'azione dell'accelerazione di gravità.

 

Dopo aver presentato il modello del moto rettilineo uniformemente accelerato possiamo considerarne un'applicazione molto concreta, che si rifà all'esperienza quotidiana: il moto di caduta libera. Partendo da una (necessaria) introduzione al problema, in cui metteremo in evidenza lo stretto legame tra la caduta libera di un corpo e l'accelerazione di gravità, passeremo a presentare le formule del moto di caduta libera e proporremo un paio di esempi dettagliati.

 

Non mancheremo inoltre nel presentare una particolare applicazione del moto di caduta libera nel caso del moto verticale a seguito del lancio di un oggetto e sul calcolo della massima altezza raggiunta.

 

Esperimento sul moto di caduta libera

 

Era il 2 agosto del 1971 quando David Scott, astronauta della missione Apollo 15, effettuava un semplice ma significativo esperimento relativo al moto di caduta libera sulla Luna. Nella sua mano destra impugnava un martello, mentre in quella sinistra teneva una leggerissima piuma. Quando lasciò i due oggetti liberi di cadere contemporaneamente, il martello e la piuma toccarono il suolo lunare nello stesso istante.

 

Tutto ciò potrebbe sembrare contrario alla nostra esperienza comune: un simile esperimento fatto da chiunque sulla Terra porterebbe a dire che la piuma necessita di molto più tempo del martello per arrivare al suolo. Di conseguenza, saremmo portati a concludere che gli oggetti più pesanti cadono più in fretta di quelli più leggeri.

 

Quello che succede nella realtà, come ci dimostra l'esperimento lunare, è che qualunque oggetto, indipendentemente dalla sua massa, subisce la stessa accelerazione verso il basso. La Terra attira a sè qualsiasi oggetto dotato di massa imprimendogli sempre lo stesso identico valore di accelerazione, detta accelerazione di gravità.

 

L'accelerazione di gravità terrestre può considerarsi una costante in prossimità della superficie, e vale approssimativamente:

 

 

 g_{Terra}\simeq 9,81\ \frac{\mbox{m}}{\mbox{s}^{2}}

 

 

Sulla Luna accade la stessa cosa ed è per questo che sia il martello che la piuma toccano il suolo nello stesso tempo, solo che l'accelerazione di gravità lunare è decisamente inferiore ed è pari a circa un sesto di quella terrestre:

 

 

 g_{Luna}\simeq 1,62\ \frac{\mbox{m}}{\mbox{s}^{2}}

 

 

Allora perché se effettuiamo noi l'esperimento di David Scott sulla Terra non abbiamo lo stesso tipo di riscontro? La grande differenza tra la Terra e la Luna è che sulla Terra è presente l'atmosfera, sulla Luna invece no. E' l'aria che mantiene "a galla" la piuma molto più di quanto non riesca a fare col martello, ed è quindi l'aria ciò che tende a nasconderci la vera natura della gravità.

 

Se provassimo a lasciare cadere contemporaneamente la piuma e il martello sulla Terra in una stanza completamente privata dell'aria, osserveremmo i due oggetti cadere sul pavimento nello stesso istante, esattamente come accade sulla Luna dove l'aria non c'è.

 

Il fatto che l'aria incida sul modo in cui cadono gli oggetti, effettuando una propria resistenza, è evidente se provate a pensare ad un piccolo esperimento: se lasciate cadere un foglio di carta in caduta libera, lo vedrete planare e ondeggiare più volte prima che tocchi terra, ma se lo stesso foglio di carta viene appallottolato e lasciato cadere, quindi sempre in caduta libera, allora questo cadrà a terra verticalmente come qualunque altro oggetto più pesante. In entrambi i casi, l'oggetto che cade è sempre lo stesso foglio di carta, con la stessa massa. Quando appallottoliamo il foglio, non lo stiamo di certo rendendo più pesante, piuttosto gli abbiamo dato una forma tale da permettergli di fendere meglio l'aria e subire meno l'effetto di "galleggiamento".

 

Caduta libera come moto uniformemente accelerato

 

Poichè l'accelerazione di gravità è una costante, il moto di un corpo in caduta libera che cade verticalmente, ovvero il moto dei corpi in caduta libera, può essere trattato come un moto uniformemente accelerato.

 

 

\begin{cases}v=v_{0}+at\\ s=\frac{1}{2}at^{2}+v_{0}t+s_{0}\end{cases}

 

 

La differenza rispetto ad altri problemi è che, nel caso di corpi in caduta libera, conosciamo già il valore dell'accelerazione (approssimato a 9,81 m/s2) perché è fisso e non c'è bisogno che sia il problema a fornircelo.

 

Inoltre, l'accelerazione di gravità g è un vettore sempre rivolto verso il basso; dobbiamo tenerlo presente quando impostiamo le equazioni per risolvere gli esercizi. Se infatti, nel nostro sistema di riferimento, consideriamo come verso delle quote crescenti quello rivolto verso l'alto (↑), allora

 

a_{caduta\ libera}=-g

 

 

Se invece consideriamo come verso delle quote crescenti quello rivolto verso il basso (↓), allora

 

 

a_{caduta\ libera}=+g

 

 

Non diamo mai per scontata la scelta del sistema di riferimento: tale scelta può essere effettuata liberamente, sta a noi scegliere un SdR che sia comodo per la risoluzione degli esercizi. L'importante è che tutti i dati siano coerenti con la nostra scelta!

 

Se ci avete fatto caso, nelle righe precedenti abbiamo ribadito più volte l'aspetto che caratterizza un qualsiasi moto di caduta libera: un corpo cade liberamente se viene lasciato cadere, ossia se la velocità iniziale è nulla:

 

 

v_i=0

 

 

Dunque per ricavare le formule di caduta libera è sufficiente di volta in volta scegliere un opportuno sistema di riferimento e impostare le equazioni del moto rettilineo uniformemente accelerato.

 

Esempio sul moto di caduta libera

 

Vediamo un esempio di caduta libera: un sasso viene lasciato cadere da un altezza di 7 m rispetto al suolo. Trascurando la resistenza dell'aria, calcola il tempo impiegato dal sasso a toccare il suolo e la sua velocità istantanea al momento dell'impatto.

 

Svolgimento: conosciamo l'altezza che è pari allo spazio percorso dal sasso in caduta libera. Se il sasso viene lasciato cadere, vuol dire che parte da fermo, quindi con velocità iniziale nulla. A noi ovviamente conviene considerare come istante iniziale t_0=0.

 

Riprendiamo le formule del moto uniformemente accelerato

 

\begin{cases}v=v_{0}+at\\ s=\frac{1}{2}at^{2}+v_{0}t+s_{0}\end{cases}


e impostiamo le equazioni del moto accelerato nel nostro caso. Scegliamo un sistema di riferimento in cui la posizione iniziale, cioè la posizione in cui comincia la caduta, sia s_0=0 con il verso delle quote rivolto verso l'alto (↑)

 

(caduta libera) \ \ \ \begin{cases}v_0=0\\ a=-g\\ s_0=0\end{cases} 

 

quindi

 

 \begin{cases} v = - gt \\ s = - \frac{1}{2}gt^{2} \end{cases}

 

Notate che al posto di a, abbiamo sostituito -g, ovvero l'accelerazione di gravità considerata negativa visto che si tratta di un vettore rivolto verso il basso. Se consideriamo il punto di partenza del sasso come la posizione zero, allora dobbiamo tenere presente che, cadendo, il sasso percorrerà un spazio negativo.

 

Ora, dalla seconda equazione calcoliamo il tempo (equazione di secondo grado) e poi sostituiamo il valore trovato nella prima equazione per ottenere la velocità finale.

 

\\ \begin{cases} v = -gt \\ t = \pm\sqrt{- \frac{2s}{g}} \end{cases}

 

Naturalmente delle due soluzioni ci interessa quella con il segno + (il tempo deve essere positivo!)

 

\\ \begin{cases} v = - gt \\ t = \sqrt{- \frac{2 \cdot (-7\mbox{ m})}{9,8\ \frac{\mbox{m}}{\mbox{s}^2}}} = 1,19\mbox{ s} \end{cases}\\ \\ \\ \begin{cases} v = - 9,81\ \frac{\mbox{m}}{\mbox{s}^{2}} \cdot 1,19\mbox{ s} = - 11,7\ \frac{\mbox{m}}{\mbox{s}} \\ t = 1,19\mbox{ s}\end{cases}

 

Come vedete la velocità finale è negativa perché in effetti si tratta di un vettore rivolto verso il basso, concorde al vettore g.

 

Caduta libera e moto verticale di un corpo lanciato verso l'alto

 

Il moto di un corpo in caduta libera può essere usato per introdurre una variante, il moto verticale di un corpo lanciato verso l'alto. In questo caso abbiamo un modello semplificato che non tiene conto di diversi aspetti con cui dovremmo raffrontarci nella realtà, ma che è utile per applicare le leggi di caduta libera in forma inversa.

 

Vediamo quindi un esempio sul moto di caduta libera, questa volta relativo al moto verticale e alla massima altezza di un corpo lanciato verso l'alto.

 

2) Michael Jordan lancia verticalmente verso l'alto il suo pallone da basket, con una velocità di 20 m/s. Trova la massima altezza raggiunta dal pallone trascurando la resistenza dell'aria.

 

Svolgimento: consideriamo come istante iniziale t_0=0 e un sistema di riferimento con verso delle quote crescenti rivolto verso l'alto (↑), con l'origine che coincide con il punto in cui la palla viene lanciata verso l'alto in modo che s_0=0.

 

Quando si lancia un oggetto verso l'alto, questo comincia a rallentare sotto l'effetto dell'accelerazione di gravità, fino a quando, ad una certa altezza, per un istante l'oggetto si ferma prima di ricadere accelerando verso il basso. A ben vedere ci troviamo di fronte ad un problema di moto uniformemente decelerato.

 

\begin{cases}v=v_{0}+at\\ s=\frac{1}{2}at^{2}+v_{0}t+s_{0}\end{cases}

 

Per trovare la massima altezza, dobbiamo impostare la velocità finale pari a zero (v=0) e calcolare la posizione finale s. La velocità iniziale v_0, essendo un vettore rivolto verso l'alto, è positiva, mentre l'accelerzione di gravità è negativa: a=-g

 

 \begin{cases} 0 = v_{0} - gt \\ s = - \frac{1}{2} gt^{2} + v_{0}t \end{cases}

 

Ricaviamo il tempo dalla prima equazione e sostituiamolo nella seconda.

 

\\ \begin{cases} t = \frac{v_{0}}{g}\\ \\ s = - \frac{1}{2}gt^{2} + v_{0}t \end{cases}\\ \\ \\ \begin{cases} t=\frac{20\ \frac{\mbox{m}}{\mbox{s}}}{9,81\ \frac{\mbox{m}}{\mbox{s}^{2}}} = 2,04\mbox{ s}\\ \\ s = - \frac{1}{2}gt^{2} + v_{0}t \end{cases}\\ \\ \\ \begin{cases} t = 2,04\mbox{ s} \\ \\ s = - \frac{1}{2} \cdot 9,81\ \frac{\mbox{m}}{\mbox{s}^{2}} \cdot (2,04\mbox{ s})^{2} + 20\ \frac{\mbox{m}}{\mbox{s}} \cdot 2,04\mbox{ s} = 20,4\mbox{ m}\end{cases}

 

 


 

A ben vedere, avremmo potuto fornire diverse varianti sulle formule inverse per la risoluzione dei problemi e degli esercizi sulla caduta libera e sul moto verticale. Il discorso però è molto delicato: come abbiamo visto, la scelta del sistema di riferimento è fondamentale nella risoluzione degli esercizi ed influenza l'assegnazione dei valori e dei segni.

 

Dunque, piuttosto che focalizzarsi sulle formule inverse, è molto meglio interpretare gli esercizi di volta in volta e ricavarsi i valori a partire dalle formule del moto uniformemente accelerato. ;)

 

PS: se siete alla ricerca di esercizi sulla caduta libera e sul moto verticale potete usare la barra di ricerca interna, qui su YM sono presenti moltissimi esercizi svolti! :)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Alessandro Catania (Alex)

 

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