Grafico velocità-tempo per il moto uniformemente accelerato

Nella precedente lezione abbiamo considerato l'utilizzo del grafico spazio-tempo nel moto uniformemente accelerato; ora, esattamente come nel caso della velocità, passiamo ad un secondo tipo di rappresentazione del moto, che consiste nel grafico velocità-tempo sempre nel caso di un moto uniformemente accelerato.

 

Il grafico velocità-tempo nel moto uniformemente accelerato

 

Vediamo come tracciare il grafico velocità tempo per il moto uniformemente accelerato, cioè il grafico che ci permette di visualizzare come varia la velocità in funzione del tempo.

 

Ovviamente la premessa cui dobbiamo fare riferimento riguarda il fatto che, in questo contesto, l'accelerazione media e l'accelerazione istantanea coincidono, dal momento che l'accelerazione durante il moto è costante per definizione. Inoltre, non dimentichiamoci che per noi il moto uniformemente accelerato è rettilineo.

 

Nella lezione del moto rettilineo uniformemente accelerato, abbiamo scritto questa equazione, relativa al MRUA con istante di tempo iniziale nullo:

 

 

 v = v_{0} + at

 

 

Se riportiamo l'equazione su un grafico in cui collochiamo sull'asse delle ordinate la velocità istantanea e sull'asse delle ascisse il tempo, ne otteniamo una retta. Infatti, paragonando la nostra equazione con la struttura generica di una retta in forma esplicita:

 

 

 y = q + mx

 

 

ci rendiamo conto che al coefficiente angolare m corrisponde l'accelerazione a e all'ordinata all'origine q corrisponde invece la velocità iniziale v_0.

 

Esempi sul grafico velocità-tempo per il moto uniformemente accelerato

 

1) Consideriamo a titolo di esempio il grafico velocità-tempo per l'equazione

 

 v = 1 + \frac{1}{2}t

 

 

Esempio di grafico velocità-tempo nel moto uniformemente accelerato

 

 

Come abbiamo già visto, abbiamo ottenuto una retta che taglia l'asse delle delle ordinate ad un'altezza pari alla velocità iniziale e che ha una pendenza pari al valore dell'accelerazione, in questo caso positiva.

 

Col passare del tempo la velocità aumenta sempre in modo lineare: si dice infatti che nel moto rettilineo uniformemente accelerato la velocità è funzione lineare del tempo.

 

 

2) Un altro esempio: riportiamo ora sul grafico velocità-tempo la seguente equazione:

 

 v = -5 + t

 

 

Altro esempio di grafico VT nel MUA

 

 

In questo caso, l'accelerazione è positiva perché tale è la pendenza della retta. La velocità iniziale è negativa: questo significa che la retta partirà al tempo zero da un punto A di ordinata negativa, pari al valore della velocità iniziale.

 

Nel tratto tra A e B, il punto ha decelerato (perché la velocità è diminuita in valore assoluto) muovendosi all'indietro (perché la velocità è negativa).

 

In B il punto si ferma per un istante (velocità nulla) e da B in poi, si muove in avanti accelerando.

 

Analisi di un grafico velocità tempo per il moto uniformemente accelerato

 

A questo punto possiamo fare un passo in avanti e considerare un caso un po' più complesso. Consideriamo il seguente grafico

 

 

Analisi di un grafico velocità-tempo nel moto uniformemente accelerato

 

 

Attenzione: se ci fate caso, non abbiamo una retta bensì una poligonale formata da diversi segmenti. Poiché nel moto rettilineo uniformemente accelerato l'accelerazione è costante e il grafico è individuato da un segmento, qui complessivamente non abbiamo un moto uniformemente accelerato bensì un moto che è a tratti uniformemente accelerato.

 

Inoltre, se non vi siete persi le puntate precedenti, potete notare che abbiamo riproposto un grafico identico al grafico spazio-tempo del moto rettilineo uniforme, con la grossa differenza che, se prima avevamo la posizione sull'asse delle ordinate, ora abbiamo la velocità. Attenzione dunque! I due grafici sono visivamente identici ma la grandezza posta sull'asse delle ordinate cambia completamente l'interpretazione che dobbiamo darne.

 

Ora dedichiamoci ad un po' di sana intepretazione grafica. :)

 

Nel tratto AB, il punto si muove in avanti perché la velocità è positiva, ed incrementa la propria velocità per 2 secondi. Possiamo calcolare l'accelerazione in questo tratto mediante la definizione di accelerazione media.

 

 a_{AB} = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{v_{B} - v_{A}}{t_{B} - t_{A}} = \frac{(7 -3)\ \frac{\mbox{m}}{\mbox{s}}}{(2 - 0)\mbox{ s}} = \frac{4\ \frac{\mbox{m}}{\mbox{s}}}{2\mbox{ s}} = 2\ \frac{\mbox{m}}{\mbox{s}^{2}}

 

Anche nel tratto BC il punto va avanti ma, essendo la retta meno inclinata, il valore di accelerazione sarà più basso:

 

 a_{BC} = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{v_{C} - v_{B}}{t_{C} - t_{B}} = \frac{(12 - 7)\ \frac{\mbox{m}}{\mbox{s}}}{(7 - 2)\mbox{ s}} = \frac{5\ \frac{\mbox{m}}{\mbox{s}}}{5\mbox{ s}} = 1\ \frac{\mbox{m}}{\mbox{s}^{2}}

 

Tra C e D, il grafico diventa piatto: questo significa che, al passare del tempo, la velocità rimane invariata e dunque l'accelerazione è zero. Il punto va avanti a velocità costante e dunue in questo tratto si muove di moto rettilineo uniforme (che è un caso particolare di moto rettilineo uniformemente accelerato con accelerazione nulla).

 

Nel tratto DE, la velocità si riduce: il punto continua a muoversi in avanti decelerando, ovvero con accelerazione negativa perché negativa è la pendenza del segmento:

 

 a_{DE} = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{v_{E} - v_{D}}{t_{E} - t_{D}} = \frac{(4 - 12)\ \frac{\mbox{m}}{\mbox{s}}}{(13 - 11)\mbox{ s}} = \frac{-8\ \frac{\mbox{m}}{\mbox{s}}}{2\mbox{ s}} = - 4\ \frac{\mbox{m}}{\mbox{s}^{2}}

 

Da E a F, il punto continua muoversi in avanti fino a quando, nell'intersezione con l'asse delle ascisse, raggiunge una velocità pari a zero, ovvero si ferma. Da qui fino a F, si muove all'indietro (perchè la sua velocità diventa negativa) accelerando.

 

Nel tratto FG prosegue all'indietro a velocità costante, come nel tratto CD.

 

Tra G e H il punto decelera (nel senso che la velocità ha segno opposto a quello dell'accelerazione) fino a fermarsi, pur continuando a muoversi all'indietro.

 

 

Conclusione: accelerazione media dal grafico velocità-tempo

 

Infine, possiamo ancora calcolare l'accelerazione media sull'intero percorso unendo con una retta il punto iniziale A con il punto finale H. La velocità è passata da 3 m/s a 0 m/s in un tempo di 25 s. Quindi:

 

 a_{AH} = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{v_{H} - v_{A}}{t_{H} - t_{A}} = \frac{(0 - 3)\ \frac{\mbox{m}}{\mbox{s}}}{(25 - 0)\mbox{ s}} = \frac{- 3\ \frac{\mbox{m}}{\mbox{s}}}{25\mbox{ s}} = - 0,12\ \frac{\mbox{m}}{\mbox{s}^{2}}

 

Come vedete, l'interpretazione di una grafico velocità-tempo è molto diversa da quella che si deve dare ad un grafico spazio-tempo.

 

 


 

Per il momento è tutto! Nella prossima lezione tratteremo nel dettaglio un esempio molto concreto di moto rettilineo uniformemente accelerato, quello della caduta libera di un corpo. :)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Alessandro Catania (Alex)

 

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