Grafico spazio-tempo per il moto uniformemente accelerato

Nelle precedenti lezioni abbiamo già avuto modo di trattare il grafico spazio-tempo nello specifico caso del moto rettilineo uniforme. Ora che abbiamo trattato anche il MRUA possiamo utilizzare il modello del grafico ST e parlare del grafico spazio-tempo per il moto rettilineo uniformemente accelerato.

 

Il grafico spazio-tempo per il moto uniformemente accelerato

 

Se vogliamo costruire il grafico spazio-tempo nel caso del moto uniformemente accelerato, cioè il grafico che ci permette di visualizzare come cambia la posizione di un corpo in funzione del tempo, dobbiamo riprendere in mano la legge oraria del moto uniformemente accelerato (MRUA).

 

Onde evitare inutili complicazioni, concentriamoci sul caso con istante di tempo iniziale t_0=0 

 

 s = \frac{1}{2}at^{2} + v_{0}t + s_{0}

 

 

Se poniamo lo spazio sull'asse delle ordinate e il tempo sull'asse delle ascisse, notiamo che quella che abbiamo scritto non è altro che l'equazione di una parabola.

 

Per rendercene conto, confrontiamo la legge oraria con la struttura dell'equazione di una parabola data dalla geometria analitica:

 

 

 y = lx^{2} + mx +n

 

 

Come vedete, alle y dell'equazione generica della parabola corrisponde la posizione s (collocata appunto sull'asse delle ordinate) mentre alla x corrisponde il tempo t (posto sull'asse delle ascisse).

 

Il coefficiente del termine di secondo grado l è pari alla metà del valore dell'accelerazione a (che è costante nel moto rettilineo uniformemente accelerato); quello di primo grado m è dato dalla velocità istantanea iniziale v_0; infine il temine noto n è uguale alla posizione iniziale s_0.

 

\begin{cases}l=\frac{1}{2}a\\ m=v_0\\ n=s_0\end{cases}

 

Esempio sul grafico ST per il MRUA

 

A titolo di esempio, proviamo a rappresentare il grafico della seguente legge oraria nel piano cartesiano (usando le unità di misura del Sistema Internazionale):

 

 s = \frac{1}{4}t^{2} + t + 3

 

Dall'equazione ricaviamo che l'accelerazione è a=0.5 m/s2, la velocità iniziale è v0=1 m/s e lo spazio iniziale è s0=3 m.

 

Il grafico che otteniamo è dunque una parabola, che disegneremo solo per tempi positivi (cioè solo nel semipiano delle ascisse positive) immaginando di fissare il tempo iniziale pari a zero nell'istante in cui ha inizio il nostro esperimento, e da quel momento cominciare a misurare il tempo, che assumerà necessariamente valori positivi.

 

 

Grafico spazio tempo per il moto uniformemente accelerato

 

 

Prima di tutto, attenzione ad un aspetto su cui moltissimi studenti fanno confusione: il grafico spazio-tempo non rappresenta la traiettoria del punto. Piuttosto, esso rappresenta l'andamento del valore di posizione al variare del tempo.

 

Come vedete, la posizione di 3 metri è posto sull'asse delle ordinate e rappresenta il punto di partenza del nostro grafico. Infatti, nell'equazione della parabola il temine noto n ci dice a quale ordinata la parabola taglia l'asse delle ordinate. Essendo la posizione iniziale il corrispettivo di n, a livello grafico assumerà lo stesso significato.

 

Consideriamo i punti A e B rappresentati nel grafico, tra cui intercorre un tempo pari a 2 secondi. Lo spazio percorso in questo tempo è di 4,25 metri. La velocità media tenuta in questo tratto è data dalla pendenza della retta che congiunge i due punti, vale a dire dal coefficiente angolare della retta.

 

In formule scriveremo:

 

 v_{AB} = \frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{s_{B} - s_{A}}{t_{B} - t_{A}} = \frac{(8,25 - 4)\mbox{ m}}{(3 - 1)\mbox{ s}} = \frac{4,25\mbox{ m}}{2\mbox{ s}} = 2,125\ \frac{\mbox{m}}{\mbox{s}}

 

Consideriamo ora i punti C e D. Anche tra questi due punti intercorre un tempo di 2 secondi, ma lo spazio percorso è maggiore: 7 metri. Infatti, il moto è accelerato e dunque più passa il tempo, più aumenta la velocità; se aumenta la velocità, aumenta anche lo spazio percorso a parità di tempo.

 

Il fatto che il passaggio da C a D risulti più veloce da A a B è evidente anche dalla pendenza della retta passante per C e D, che è maggiore di quella passante per A e B: infatti, ad una pendenza maggiore corrisponde una velocità maggiore.

 

v_{CD} = \frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{s_{D} - s_{C}}{t_{D} - t_{C}} = \frac{(18 - 11)\mbox{ m}}{(6 - 4)\mbox{ s}} = \frac{7\mbox{ m}}{2\mbox{ s}} = 3,5\ \frac{\mbox{m}}{\mbox{s}}

 

Notiamo quindi che, contrariamente a quanto accadeva per il moto rettilineo uniforme, dove a tempi uguali corrispondevano spazi uguali, nel moto uniformemente accelerato a tempi uguali corrispondono spazi diversi.

 

 

Grafico spazio-tempo per il MRUA e accelerazione positiva o negativa

 

A seconda dei segni che assumono i diversi parametri della legge oraria del moto rettilineo uniformemente accelerato, possiamo ottenere grafici con caratteristiche diverse.

 

Se, ad esempio, l'accelerazione è positiva, possiamo ricadere in una di queste due situazioni a seconda del segno della velocità iniziale.

 

 

Grafico spazio tempo con accelerazione positiva

 

 

Nel primo caso (velocità iniziale positiva), la tangente al grafico nel punto A ha una pendenza positiva e il vertice della parabola ha ascissa negativa. È ad esempio il caso di una macchina in movimento che, ad un certo punto (t_0=0), subisce un'accelerazione costante e incrementa via via la propria velocità.

 

Nel secondo caso (velocità iniziale negativa), la tangente in A ha pendenza negativa mentre il vertice ha ascissa positiva. In questo secondo caso, tra A e V, il punto si sta muovendo indietro rallentando fino a fermarsi in V, per poi ripartire in avanti accelerando. In questo caso possiamo immaginare una macchina che si muove in retromarcia e, ad un certo istante (t_0=0), riceve una decelerazione costante (la decelerazione è un'accelerazione con segno opposto a quello della velocità), per la quale diminuisce la propria velocità fino a fermarsi, per poi aumentarla muovendosi in avanti.

 

 

Se invece l'accelerazione è negativa abbiamo altri due casi, a seconda del segno della velocità inziale.

 

 

Grafico spazio tempo con accelerazione negativa

 

 

Nel primo caso (velocità iniziale positiva) la tangente in A ha pendenza positiva e il vertice ha ascissa positiva. Tra A e V il punto si muove in avanti accelerando e, a partire da V, torna indietro accelerando fino alla posizione zero in B e oltre. È ad esempio il caso di una macchina che si muove in avanti la quale, ad un certo punto (t_0=0), subisce una decelerazione costante; la sua velocità diminuisce finché non si ferma, dopodiché essa si muove all'indietro con una velocità sempre maggiore.

 

Nel secondo caso (velocità iniziale negativa) la tangente in A ha pendenza negativa e il vertice della parabola ha ascissa negativa; il punto torna indietro accelerando fino alla posizione zero in B e oltre ancora. Qui possiamo pensare ad una macchina che si muove in retromarcia e subisce una accelerazione costante, la quale comporta un incremento della velocità di retromarcia.

 

Casi particolari del grafico spazio-tempo per il moto uniformemente accelerato

 

Vediamo altri due casi particolari. Il primo: se la posizione iniziale è nulla, la parabola passa dall'origine degli assi cartesiani.

 

 

Grafico spazio tempo con spazio iniziale nullo

 

 

Il secondo: se la velocità iniziale è nulla, ovvero se il punto parte da fermo, allora la tangente nel punto A è perfettamente orizzontale.

 

 

Grafico spazio tempo con velocità iniziale nulla

 

 

Abbiamo finito! In modo del tutto analogo rispetto alla velocità, c'è un altro modello di grafico che dobbiamo prendere in considerazione: esso sarà il protagonista della lezione successiva, in cui presenteremo il grafico velocità-tempo per il moto uniformemente accelerato.

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Alessandro Catania (Ales)

 

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