Grafico velocità-tempo per il moto rettilineo uniforme

Un grafico velocità-tempo per il moto rettilineo uniforme è un grafico nel piano cartesiano, con ascisse date dal tempo e ordinate date dalla velocità, che fornisce una rappresentazione del moto di un corpo che si muove di MRU.

 

Nella precedente lezione abbiamo visto come rappresentare il grafico spazio-tempo per un moto rettilineo uniforme, e abbiamo studiato il metodo per dedurre le informazioni relative al moto direttamente dalla rappresentazione ST.

 

Qui passiamo al grafico velocità-tempo per il moto rettilineo uniforme (MRU), un ulteriore tipo di rappresentazione utile per descrivere il moto di un punto materiale in MRU.

 

Il grafico velocità-tempo per il moto rettilineo uniforme

 

Analogamente a quanto abbiamo visto nel caso spazio-tempo, per rappresentare un grafico velocità-tempo si considera il piano cartesiano e si pone la velocità sull'asse delle ordinate e il tempo sull'asse delle ascisse; questo ci permette di visualizzare come cambia la velocità in funzione del tempo.

 

Prima di procedere è bene ricordare che in un moto rettilineo uniforme si parlà semplicemente di velocità perché la velocità media, la velocità scalare media e la velocità istantanea coincidono. 

 

Il grafico velocità-tempo è diverso per costruzione dal grafico spazio-tempo, per cui ovviamente anche la sua interpretazione è diversa. Vediamone subito un esempio.

 

 

Esempio di grafico velocità-tempo

 

 

Grafico velocità-tempo

 

 

Che cosa sta a rappresentare il segmento riportato nel grafico? Al passare del tempo, la velocità rimane costante e pari al valore di 4 m/s.

 

In effetti, se un punto si muove di moto rettilineo uniforme, vuol dire che la sua velocità è costante e non cambia col trascorrere del tempo; pertanto il grafico velocità-tempo sarà sempre dato da una retta orizzontale. In particolare, se l'istante iniziale del MRU è t=0, la retta taglierà l'asse delle ordinate ad un'altezza pari al valore della velocità.

 

Semplice, no? :)

 

Come ricavare il grafico velocità-tempo dal grafico spazio-tempo

 

È possibile ricavare il grafico velocità-tempo a partire dal grafico spazio-tempo, e anche qui per fortuna non c'è veramente nulla di complicato.

 

Vi ricordate l'esempio che abbiamo considerato alla fine della lezione sui grafici spazio-tempo? Lì abbiamo considerato il grafico ST di un moto che complessivamente non era rettilino uniforme, ma che lo era tratto per tratto.

 

Benissimo: riprendiamo il medesimo esempio

 

 

Grafico spazio tempo

 

 

e proviamo a dedurre il grafico velocità-tempo direttamente dal grafico spazio-tempo.

 

Per farlo dobbiamo calcolare le velocità per ogni singolo tratto e riportare i risultati trovati sul grafico velocità-tempo. Per fortuna lo abbiamo già fatto nella lezione precedente, quindi in caso di dubbi vi suggeriamo di leggerla per poi tornare qui. :)

 

\\ v_{m,AB}=2\ \frac{\mbox{m}}{\mbox{s}}\ \ \ v_{m,BC}=1\ \frac{\mbox{m}}{\mbox{s}}\ \ \ v_{m,CD}=0\ \frac{\mbox{m}}{\mbox{s}}\ \ \ v_{m,DE}=-4\ \frac{\mbox{m}}{\mbox{s}}\\ \\ \\ v_{m,EF}=-1\ \frac{\mbox{m}}{\mbox{s}}\ \ \ v_{m,FG}=0\ \frac{\mbox{m}}{\mbox{s}}\ \ \ v_{m,GH}=1,5\ \frac{\mbox{m}}{\mbox{s}}

 

 

Ricavare il grafico velocità-tempo

 

 

Il grafico sembra strano? Non dovrebbe: su ciascuno dei tratti del grafico ST il moto è rettilineo uniforme, quindi la velocità è costante e si rappresenta con un segmento orizzontale. Di conseguenza ne consegue che il grafico velocità tempo è un insieme di linee orizzontali, una per ognuno dei diversi tratti del grafico spazio-tempo da cui siamo partiti.

 

A titolo di cronaca, anche questo grafico (come il corrispondente grafico spazio-tempo) non può descrivere una situazione reale ed è puramente esemplificativo: non esiste infatti nessuno in grado di modificare improvvisamente la propria velocità.

 

 

Conclusione: velocità media e velocità scalare media dal grafico velocità-tempo

 

Come dovremmo comportarci se volessimo calcolare la velocità media sull'intero percorso?

 

In tal caso potremmo ricorre alla media ponderata. Si tratta di calcolare un rapporto il cui numeratore è dato dalla somma dei prodotti delle velocità per i rispettivi tempi, e il denominatore è la somma dei tempi di ogni tratto del grafico.

 

 v_{m}=\frac{v_{1}t_{1}+v_{2}t_{2}+v_{3}t_{3}+...+v_{n}t_{n}}{t_{1}+t_{2}+t_{3}+...+t_{n}}

 

Per chi ha familiarità con il simbolo di sommatoria, possiamo scrivere:

 

 v_{m}= \frac{\sum_{k=1}^{n}{v_{k}t_{k}}}{\sum_{k=1}^{n}{t_{k}}}

 

Questo tipo di conto si chiama media pesata perché dà maggior peso (importanza) alla velocità che si è mantenuta per più tempo; di conseguenza anche il risultato finale della media ponderata sarà più prossimo al valore della velocità tenuta per più tempo.

 

Nel nostro esempio

 

\\ v_{m}=\frac{2\frac{\mbox{m}}{\mbox{s}}\cdot 2\mbox{s}+5\frac{\mbox{m}}{\mbox{s}}\cdot 1\mbox{s}+0\frac{\mbox{m}}{\mbox{s}}\cdot 4\mbox{s}+(-4)\frac{\mbox{m}}{\mbox{s}}\cdot 2\mbox{s}+(-1)\frac{\mbox{m}}{\mbox{s}}\cdot 7\mbox{s}+0\frac{\mbox{m}}{\mbox{s}}\cdot 3\mbox{s}+1,5\frac{\mbox{m}}{\mbox{s}}\cdot 2\mbox{s}}{25\mbox{s}}=\\ \\ =\frac{-3\mbox{ m}}{25\mbox{ s}}=-0,12\ \frac{\mbox{m}}{\mbox{s}}

 

Il valore di velocità media esprime il rapporto tra lo spostamento complessivo (differenza tra la posizione H e la posizione A) e il tempo impiegato ad effettuarlo.

 

Se invece volessimo calcolare la velocità scalare media sull'intero percorso, ossia il rapporto tra la distanza percorsa complessivamente e il tempo impiegato per percorrerla, dovremmo considerare la media pesata prendendo i valori assoluti delle velocità

 

 v_{m}=\frac{|v_{1}|t_{1}+|v_{2}|t_{2}+|v_{3}|t_{3}+...+|v_{n}|t_{n}}{t_{1}+t_{2}+t_{3}+...+t_{n}}

 

ossia

 

\\ v_{m}=\frac{|2|\frac{\mbox{m}}{\mbox{s}}\cdot 2\mbox{s}+|5|\frac{\mbox{m}}{\mbox{s}}\cdot 1\mbox{s}+|0|\frac{\mbox{m}}{\mbox{s}}\cdot 4\mbox{s}+|-4|\frac{\mbox{m}}{\mbox{s}}\cdot 2\mbox{s}+|-1|\frac{\mbox{m}}{\mbox{s}}\cdot 7\mbox{s}+|0|\frac{\mbox{m}}{\mbox{s}}\cdot 3\mbox{s}+|1,5|\frac{\mbox{m}}{\mbox{s}}\cdot 2\mbox{s}}{25\mbox{s}}=\\ \\ =\frac{27\mbox{ m}}{25\mbox{ s}}=1,08\ \frac{\mbox{m}}{\mbox{s}}

 

Da notare che in entrambi i casi le formule rispecchiano esattamente il significato di velocità media, che riguarda lo spostamento totale, e di velocità scalare media, che riguarda lo spazio percorso.

 

 


 

È tutto! Nella prossima lezione inizieremo a trattare il concetto di accelerazione. ;)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Alessandro Catania (Alex)

 

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