Grafico spazio-tempo per il moto rettilineo uniforme

Un grafico spazio-tempo per il moto rettilineo uniforme è un grafico nel piano cartesiano, con ascisse date dal tempo e ordinate date dalla posizione, che descrive il moto di un corpo che si muove di MRU.

 

Dopo aver presentato il moto rettilineo uniforme, passiamo ora a parlare della rappresentazione grafica di un punto materiale che si muove di MRU. In parole povere, vedremo come si disegna un grafico spazio-tempo nel moto rettilineo uniforme e quali sono le caratteristiche e le proprietà che lo contraddistinguono.

 

Successivamente, considereremo un esempio e spiegheremo come analizzare un grafico spazio-tempo per desumerne tutte le informazioni relative alla velocità, allo spostamento e al tempo impiegato.

 

Il grafico spazio-tempo per il moto rettilineo uniforme

 

Per semplicità, in questa lezione ci limiteremo a considerare la nozione di grafico spazio-tempo nel caso di un moto rettilineo uniforme (MRU), anche perché è l'unico moto che abbiamo studiato finora. Al termine della lezione prepareremo la strada per i successivi argomenti di Cinematica, ma andiamo con ordine...

 

Ricordate la legge oraria del moto rettilineo uniforme nel caso t_0=0\ ?

 

 

 s(t) = vt + s_{0}

 

 

A partire da essa è possibile rappresentare il moto di un corpo su un grafico spazio-tempo. Si tratta di un normalissimo piano cartesiano in cui collochiamo il tempo sull'asse delle ascisse e lo spazio percorso sull'asse delle ordinate.

 

Supponiamo, ad esempio, di voler rappresentare graficamente la seguente legge oraria:

 

 s(t) = 2t+3

 

Confrontando questa legge con la sua formulazione teorica, vediamo che nel nostro caso la velocità è pari a 2 m/s e la posizione iniziale vale 3 m.

 

Se rappresentiamo la legge oraria sul grafico spazio-tempo, otteniamo il seguente grafico

 

 

Grafico spazio tempo moto rettilineo uniforme

 

 

Vedete innanzitutto che si tratta di una retta. In effetti in matematica, l'equazione di una retta è data da

 

 y(x) = mx + q

 

dove m è il coefficiente angolare e ci dice quanto è inclinata la retta, mentre q è l'ordinata all'origine e ci dice a quale altezza la retta taglia l'asse delle y.

 

Vi accorgete che la legge oraria ha la stessa struttura dell'equazione di una retta? Basta osservarle in parallelo.

 

 

\\ s(t) = vt + s_{0}\\ \\ y(x) = mx + q

 

 

Alla y corrisponde lo spazio (e infatti lo spazio sul grafico è posto sull'asse delle ordinate), alla x corrisponde il tempo (che è collocato sul grafico sull'asse delle ascisse); il coefficiente angolare è dato dalla velocità mentre la quota all'origine è pari alla posizione iniziale.

 

Notate ora che la retta parte da un'altezza sull'asse delle ordinate pari a 3; questa era infatti la posizione iniziale nella legge oraria del moto rettilineo uniforme che abbiamo considerato.

 

La posizione iniziale ci dice sempre a quale altezza la retta nel grafico spazio-tempo taglia l'asse delle ordinate, proprio come l'ordinata all'origine in matematica. Di conseguenza, se la posizione iniziale fosse zero, la retta partirebbe dall'origine degli assi cartesiani.

 

Abbiamo anche visto che la velocità individua il coefficiente angolare della retta nel grafico spazio-tempo, ossia la sua pendenza. Questo ci dice che tanto maggiore è la velocità, tanto più la retta tende ad essere verticale; al contrario, minore è la velocità, tanto più al retta tende ad essere orizzontale. Nel caso limite in cui la velocità è nulla, allora la retta è perfettamente orizzontale.

 

 

Grafico spazio-tempo per il MRU e velocità positiva o negativa

 

Abbiamo già avuto modo di vedere che nel moto rettilineo uniforme la velocità media, la velocità scalare media e la velocità istantanea coincidono, e che per brevità si parla di velocità v.

 

Immaginiamo che il punto si muova si MRU su una retta orientata, ossia una retta con una freccia: se si muove nello stesso verso della freccia, allora il moto avviene lungo il verso positivo, in caso contrario lungo quello negativo.

 

Nel primo caso, la velocità è positiva e la retta che rappresenta il moto del punto è inclinata verso l'alto (guardando il grafico da sinistra verso destra) come in figura:

 

 

Velocità positiva nel grafico spazio tempo

 

 

Nel secondo caso invece la velocità è negativa e otteniamo una retta inclinata verso il basso (sempre leggendo il grafico da sinistra verso destra).

 

 

Velocità negativa nel grafico spazio tempo

 

Esempio: analisi di un grafico spazio-tempo

 

Ora che conosciamo il metodo per rappresentare graficamente un moto rettilineo uniforme, consideriamo un esempio e proviamo a commentare un grafico spazio-tempo assegnato.

 

 

Esempio di grafico spazio-tempo

 

 

Questo è un esempio di grafico che descrive il moto di un punto lungo una retta. Attenzione:

 

questa non è la rappresentazione della traiettoria del punto, è piuttosto la rappresentazione di come è cambiato lo spazio percorso su una retta al variare del tempo.

 

il precedente grafico non rappresenta complessivamente un moto rettilineo uniforme, perché sappiamo che un MRU si rappresenta con una retta e non con una linea spezzata. Nel contempo però abbiamo tanti moti rettilinei uniformi diversi, uno per ciascun tratto rettilineo del grafico spazio-tempo.

 

Prima di cominciare ad analizzare il grafico, guardiamo le unità di misura. Esse sono scritte accanto alle marche degli assi (tra parentesi): nell'esempio lo spazio è espresso in metri, mentre il tempo in secondi. Un grafico spazio-tempo deve riportare sempre le unità di misura di spazio e velocità!

 

Analizziamo il moto del punto materiale sui singoli tratti della linea spezzata.

 

Cosa è successo nel tratto AB? Il punto è partito da una posizione iniziale di 3 m ed è arrivato ad una posizione infale di 7 m, partendo dall'istante iniziale 0 s e arrivando all'istante finale 2 s. Se volessimo calcolare la sua velocità in questo tratto, scriveremo:

 

 v_{AB} = \frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{s_B-s_A}{t_B-t_A}=\frac{7\mbox{ m}-3\mbox{ m}}{2\mbox{ s}-0\mbox{ s}}=\frac{4\mbox{ m}}{2\mbox{ s}} = 2\ \frac{\mbox{ m}}{\mbox{ s}}

 

Nel tratto BC, il punto parte dalla posizione iniziale 7 m e arriva alla posizione finale 12 m, iniziando il moto all'istante 2 s fino all'istante 7 s. La sua velocità è:

 

 v_{BC} = \frac{\Delta s}{\Delta t} =\frac{s_C-s_B}{t_C-t_B}=\frac{12\mbox{ m}-7\mbox{ m}}{7\mbox{ s}-2\mbox{ s}}=\frac{5\mbox{ m}}{5\mbox{ s}} = 1\ \frac{\mbox{ m}}{\mbox{ s}}

 

La velocità nel tratto BC è più bassa rispetto a quella del tratto AB: infatti, la retta BC è meno inclinata di quella di BC.

 

Nel tratto CD, la posizione iniziale e finale coincidono (12 m) e abbiamo come istante iniziale 7 s e come istante finale 11 s: il punto è fermo e la sua velocità è nulla.

 

 v_{CD} = \frac{\Delta s}{\Delta t} =\frac{s_D-s_C}{t_D-t_C}=\frac{12\mbox{ m}-12\mbox{ m}}{11\mbox{ s}-7\mbox{ s}}=\frac{0\mbox{ m}}{4\mbox{ s}} = 0\ \frac{\mbox{ m}}{\mbox{ s}}

 

Nel tratto DE, il punto parte dalla posizione iniziale di 12 m e arriva alla posizione finale 4 m, partendo all'istante iniziale 11 s fino all'istante finale 13 s; la sua velocità è negativa.

 

 v_{DE} = \frac{\Delta s}{\Delta t} =\frac{s_E-s_D}{t_E-t_D}=\frac{4\mbox{ m}-12\mbox{ m}}{13\mbox{ s}-11\mbox{ s}}=\frac{-8\mbox{ m}}{2\mbox{ s}} = -4\ \frac{\mbox{ m}}{\mbox{ s}}

 

Nel tratto EF la posizione iniziale è 4 m e quella finale -3 m, partendo all'istante iniziale 13 s fino all'istante finale 20 s.

 

 v_{EF} = \frac{\Delta s}{\Delta t} =\frac{s_F-s_E}{t_F-t_E}=\frac{-3\mbox{ m}-4\mbox{ m}}{20\mbox{ s}-13\mbox{ s}}=\frac{-7\mbox{ m}}{7\mbox{ s}} = -1\ \frac{\mbox{ m}}{\mbox{ s}}

 

Da F a G, il grafico è di nuovo piatto: la posizione iniziale è -3 m e coincide con quella finale, quindi il punto è rimasto fermo, dal tempo iniziale 20 s a quello finale 23 s.

 

v_{FG} = \frac{\Delta s}{\Delta t} =\frac{s_G-s_F}{t_G-t_F}=\frac{-3\mbox{ m}-(-3)\mbox{ m}}{23\mbox{ s}-20\mbox{ s}}=\frac{0\mbox{ m}}{3\mbox{ s}} = 0\ \frac{\mbox{ m}}{\mbox{ s}}

 

Infine, da G ad H è passato dalla posizione iniziale -3 m alla posizione finale 0 m, dal tempo iniziale 23 s al tempo finale 25 s

 

v_{GH} = \frac{\Delta s}{\Delta t} =\frac{s_H-s_G}{t_H-t_G}=\frac{0\mbox{ m}-(-3)\mbox{ m}}{25\mbox{ s}-23\mbox{ s}}=\frac{3\mbox{ m}}{2\mbox{ s}} = 1,5\ \frac{\mbox{ m}}{\mbox{ s}}

 

 

Conclusione: velocità media e velocità scalare media dal punto iniziale al punto finale

 

Il precedente esempio fornisce i passaggi salienti nell'interpretazione di un grafico spazio-tempo. Non abbiamo finito: possiamo ancora osservare che complessivamente, da A a H, il punto ha percorso 3 metri indietro in 25 secondi. Questo ci permette di calcolare la velocità media sull'intero percorso, come rapporto tra spostamento e intervallo di tempo

 

\\ v_{m,AH} = \frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{s_f-s_0}{t_f-t_0}=\frac{0\mbox{ m}-3\mbox{ m}}{25\mbox{ s}-0\mbox{ s}}=\frac{-3\mbox{ m}}{25\mbox{ s}} = -0.12\ \frac{\mbox{m}}{\mbox{s}}

 

che è pari alla pendenza della retta che unisce A con H.

 

Attenzione a non confondere la velocità media con la velocità scalare media (di cui abbiamo parlato nella medesima lezione): quest'ultima è infatti il rapporto tra lo spazio percorso e il tempo impiegato per percorrerlo

 

\\ v_{AH}=\frac{d}{\Delta t}=\frac{4\mbox{ m}+5\mbox{ m}+0\mbox{ m}+8\mbox{ m}+7\mbox{ m}+0\mbox{ m}+3\mbox{ m}}{25\mbox{ s}}=\frac{27\mbox{ m}}{25\mbox{ s}}=1,08\ \frac{\mbox{m}}{\mbox{s}}

 

Ovviamente il grafico dell'esempio non descrive una situazione realmente possibile, perché ci sono improssivi cambi di velocità impossibili da realizzare. Un grafico più realistico prevede una linea curva piuttosto che una spezzata ma questo implica una variazione progressiva della velocità, ovvero un'accelerazione, concetto che vedremo nelle prossime lezioni. Prima però ci occuperemo del grafico velocità-tempo, che sarà protagonista della prossima lezione. ;)

 

Buon proseguimento su YouMath,

Alessandro Catania (Alex)

 

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