Moto rettilineo uniforme

Un moto rettilineo uniforme (abbreviato MRU) in Fisica è un tipo di moto in cui un corpo si muove lungo una retta con velocità costante nel tempo, e che viene descritto mediante una specifica formula detta legge oraria del moto rettilineo uniforme.

 

In questa lezione daremo la definizione di moto rettilineo uniforme, spiegando nel dettaglio quali sono le caratteristiche del MRU e proponendo la formula del moto rettilineo uniforme.

 

Partendo da un esempio, avremo modo di vedere che un MRU è caratterizzato da una velocità costante lungo una traiettoria retta, come suggerisce il nome stesso. Dopo averne fornito la formula, passeremo a mostrare come ricavare la legge oraria direttamente dalle relazioni della velocità media e della velocità istantanea.

 

Definizione di moto rettilineo uniforme

 

Per prima cosa vi anticipiamo sin da subito la definizione di moto rettilineo uniforme: un corpo si muove di moto rettilineo uniforme se percorre spazi uguali in tempi uguali lungo una retta.

 

Ora, come promesso, introduciamo il MRU partendo da un esempio: un'auto sta viaggiando in autostrada alla velocità di 130 km/h.

 

Il moto dell'auto può essere schematizzato come quello di un punto materiale che si muove lungo una linea retta a velocità costante, ossia un punto materiale che si muove di moto rettilineo uniforme, dove la parola uniforme indica proprio il fatto che la velocità è costante e non cambia mai durante il moto.

 

Formule del moto rettilineo uniforme

 

Innanzitutto vi proponiamo una tabella con tutte le formule del moto rettilineo uniforme, in modo che possano essere consultate velocemente da chi sta leggendo per ripassare.

 

 

Caratterizzazione

Velocità costante

Legge oraria

s=v(t-t_i)+s_i

Legge oraria con istante iniziale t_0=0

s=vt+s_{0}

Velocità

v=\frac{s-s_i}{t-t_i}

Tempo

t=\frac{s-s_i}{v}+t_i

 

 

Nell'esempio dell'auto, e più in generale in un qualsiasi moto rettilineo uniforme, se vogliamo conoscere la posizione del punto materiale al variare del tempo (dunque lo spazio percorso in funzione del tempo) possiamo far uso della legge oraria del moto rettilineo uniforme.

 

 

s=v\Delta t+s_i

 

 

ossia

 

 

s=v(t-t_i)+s_i

 

 

dove t_i,\ s_i indicano rispettivamente l'istante iniziale e la posizione all'istante iniziale, mentre s indica la posizione al tempo t.

 

Se consideriamo come istante iniziale t_i=t_0=0 (scelta frequentissima negli esercizi e nelle applicazioni), allora possiamo riscrivere la formula come

 

 

s=vt+s_{0}

 

 

In entrambi i casi si vede che la posizione s muta al variare del tempo t. Per chi ha già studiato ed ha dimestichezza con le funzioni, s=s(t) è una funzione che esprime lo spostamento con variabile indipendente il tempo.

 

 

Osservazione

 

Se riscriviamo la formula del moto rettilineo uniforme nella forma

 

s-s_i=v(t-t_i)

 

e poi come

 

\Delta s=v\Delta t

 

abbiamo una relazione tra spostamento e intervallo di tempo. Osservando che in un moto rettilineo uniforme spostamento e distanza percorsa coincidono, si vede che lo spazio e il tempo sono direttamente proporzionali. Ciò significa che, muovendoci a velocità costante, se il tempo raddoppia anche lo spazio percorso raddoppia; se il tempo triplica, anche lo spazio triplica, e così via.

 

Tornando all'esempio considerato inizialmente, se la velocità dell'auto è di 130 km/h significa che essa percorrerà 130 km in un'ora, 260 km in due ore ecc... Da notare che, ad ogni intervallo di un'ora, l'auto percorre 130 km.

 

Notate che l'esempio è perfettamente in accordo con la definizione di moto rettilineo uniforme: un punto si muove di moto rettilineo uniforme se percorre spazi uguali in tempi uguali lungo una retta.

 

Velocità costante e moto rettilineo uniforme

 

Osserviamo anche che, essendo la velocità costante, nel moto rettilineo uniforme la velocità istantanea e la velocità media coincidono e pertanto assumeranno lo stesso valore. Inoltre, la velocità media coincide con la velocità scalare media, e dunque che chiameremo il valore comune semplicemente velocità, indicandola con v.

 

Esempi sul moto rettilineo uniforme

 

Vediamo un paio di esempi sul MRU. Niente di complicato, basterà tenere a mente la formula e usarla per ricavare le informazioni richieste.

 

 

1) Un ragazzo percorre un tragitto rettilineo di 1,5 km in mezz'ora camminando sempre alla stessa velocità. Determinare la velocità del ragazzo in m/s.

 

Svoglimento: sappiamo che nel Sistema Internazionale la velocità si misura in m/s, quindi prima di utilizzare la legge oraria del moto rettilineo uniforme dobbiamo convertire la distanza in metri e il tempo in secondi:

 

\\ 1,5\ \mbox{km}=1500\ \mbox{m}\\ \\ 0,5\ \mbox{h}=30\ \mbox{min}=1800\ \mbox{s}

 

Dato che la posizione iniziale e il tempo iniziale sono ininfluenti, possiamo considerare t_0=0,\ s_0=0. Di conseguenza, grazie alla formula del moto rettilineo uniforme

 

s=vt+s_0\ \to\ v=\frac{s}{t}=\frac{1500\ \mbox{m}}{1800\ \mbox{s}}\simeq\ 0,83\ \frac{\mbox{m}}{\mbox{s}}

 

 

2) In una gara di velocità una macchina parte e, dopo aver percorso 0,2 km, inizia a viaggiare con una velocità costante di 180 km/h per 30 minuti. Determinare la distanza percorsa dalla partenza in km.

 

Svolgimento: dato che l'esercizio chiede il risultato in km ci conviene convertire il tempo in ore e usare le unità di misura assegnate.

 

30\mbox{ min}=0,5\mbox{ h}

 

Attenzione alla richiesta dell'esercizio. Come tempo iniziale nulla ci vieta di considerare t_0=0, ma poiché ci serve la distanza dalla partenza, dobbiamo considerare lo spazio percorso prima che il moto diventi rettilineo uniforme. Quindi s_0=0,2\mbox{ km}

 

\\ s=vt+s_0\\ \\ s=180\ \frac{\mbox{km}}{\mbox{h}}\cdot 0,5\mbox{ h}+0,2\mbox{ km}=90,2\mbox{ km}

 

 

3) Un treno parte e, dopo 15 minuti e dopo aver percorso 30 km, assume una velocità costante pari a 100 km/h. Il treno percorre in tutto 140 km su una traiettoria rettilinea. Calcolare il tempo in ore in cui il treno ha viaggiato in moto rettilineo uniforme.

 

Svolgimento: il moto rettilineo uniforme comincia al tempo iniziale t_i=15\mbox{ min} e alla posizione iniziale s_i=30\mbox{ km}. Nel corso del MRU la velocità è pari a v=100\ \frac{\mbox{km}}{\mbox{h}} e la posizione finale è s=140\mbox{ km}.

 

Per calcolare il tempo convertiamo l'istante iniziale da minuti a ore

 

t_i=15\mbox{ min}=0,25\mbox{ h}

 

e usiamo la formula del moto rettilineo uniforme nel caso generale

 

s=v(t-t_i)+s_i

 

A noi interessa il tempo, quindi esplicitiamo l'incognita t

 

t-t_i=\frac{s-s_i}{v}

 

e quindi

 

t=\frac{s-s_i}{v}+t_i=\frac{(140-30)\mbox{ km}}{100\ \frac{\mbox{km}}{\mbox{h}}}+0,25\mbox{ h}= 1,1\mbox{ h}+0,25\mbox{ h}=1,35\mbox{ h}

 

Legge oraria del moto rettilineo uniforme

 

Come si ricava la relazione della legge oraria del moto rettilineo uniforme? Ci sono sostanzialmente due modi per farlo.

 

 

Formula del moto rettilineo uniforme dalla velocità media

 

Il primo modo prevede di osservare che, dato che velocità media e velocità istantanea coincidono, possiamo considerare la formula della velocità media

 

v=\frac{\Delta s}{\Delta t}

 

e scrivere esplicitamente lo spostamento e l'intervallo di tempo come variazioni

 

v=\frac{s-s_i}{t-t_i}

 

Se consideriamo come istante iniziale t_i=t_0=0 possiamo passare a

 

vt=s-s_0

 

e quindi, esprimendo la formula del moto rettilineo uniforme in favore dello spostamento

 

s=vt+s_0

 

 

Formula del moto rettilineo uniforme dalla velocità istantanea

 

Il secondo modo per ricavare la legge oraria del MRU (e qui ci rivolgiamo solamente agli universitari) consiste nel riprendere la definizione di velocità istantanea, e in particolare di considerare la relazione che esprime lo spostamento infinitesimo in termini di velocità e intervallo di tempo infinitesimo

 

 ds=vdt

 

Se vogliamo ricavare lo spazio in funzione del tempo, dobbiamo risolvere un'equazione differenziale a variabili separabili. Applichiamo ad entrambi i membri l'operatore di integrazione (con un abuso di notazione sugli estremi)

 

 \int_{s_{i}}^{s}{ds} = \int_{t_{i}}^{t}{v dt}

 

Come estremi di integrazione consideriamo rispettivamente spazio e tempo iniziali e le variabili s e t generiche. Ricordandoci che la velocità è costante, possiamo portarla fuori dal segno di integrale

 

 \int_{s_{i}}^{s}{ds} = v \int_{t_{i}}^{t}{dt}

 

Calcoliamo ora i due integrali definiti:

 

 s-s_{i}=v(t-t_{i})

 

Se consideriamo t_i=t_0= 0, otteniamo:

 

s=vt+s_{0}

 

ed ecco la legge oraria del moto rettilineo uniforme che abbiamo scritto all'inizio. :)

 

 

Osservazione 

 

Notiamo che se la velocità non fosse costante ma variasse in funzione del tempo, e quindi se il moto non fosse uniforme, la legge oraria trovata non sarebbe più valida ma rimarrebbe valida l'espressione con gli integrali vista qualche passaggio fa:

 

 \int_{s_{0}}^{s}{ds} = \int_{t_{0}}^{t}{v dt}

 

In questo caso la velocità, non essendo costante, non può essere portata fuori dal segno di integrale.

 

 s-s_{0}=\int_{t_{0}}^{t}{v(t) dt} \Longrightarrow s(t) = s_{0} + \int_{t_{0}}^{t}{v(t) dt}

 

dove v(t) in questo caso rappresenta la velocità che varia al variare del tempo e che quindi è funzione del tempo.

 

 

Nella lezione successiva passeremo ad un'analisi grafica del moto rettilineo uniforme e avremo modo di parlare del grafico spazio tempo del moto rettilineo uniforme. Nel frattempo se volete consultare esercizi svolti sul moto rettilineo uniforme, vi consigliamo di ricorrere alla barra di ricerca interna: ce ne sono tantissimi e sono tutti a vostra disposizione! ;)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Alessandro Catania (Alex)

 

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