Velocità istantanea

La velocità istantanea in Fisica è una grandezza vettoriale definita come la derivata della posizione di un corpo rispetto al tempo. Con abuso di linguaggio, la velocità istantanea viene anche indicata come derivata dello spazio rispetto al tempo.

 

Dopo aver visto la nozione di velocità media possiamo passare a parlare della velocità istantanea. In questa lezione vi chiediamo di avere un attimo di pazienza e di fiducia: più che snocciolare formule e metodi di calcolo (che vedremo nella lezione successiva), vogliamo spiegare cos'è la velocità istantanea e come si definisce concettualmente e matematicamente.

 

Il grosso problema della nozione di velocità istantanea riguarda il fatto che essa richiede uno strumento matematico - le derivate - che non tutti gli studenti hanno già affrontato nel proprio corso di studi. Le derivate vengono infatti studiate per la prima volta nell'ultimo anno delle scuole superiori.

 

Di conseguenza, abbiamo cercato di proporre una spiegazione utile a tutti: sia a chi deve studiare la velocità istantanea per un compito od un'interrogazione (< V superiore), sia per chi può affrontare l'argomento perché dispone di tutti gli strumenti matematici necessari (≥ V superiore). Al termine della spiegazione presenteremo la definizione di velocità istantanea e la relativa formula. Cominciamo? :)

 

Cos'è la velocità istantanea, e come si ricava?

 

Ormai sappiamo come si calcola la velocità media e qual è il suo significato. E se volessimo conoscere il valore della velocità di un punto in un istante preciso di tempo? Di certo non potremmo ricorrere alla velocità media, perché questa rappresenta la velocità di un punto in un intervallo di tempo e non in un istante preciso.

 

Introduciamo il concetto di velocità istantanea partendo da un punto di vista grafico. Normalmente, per descrivere il moto di un punto che si muove lungo una linea retta, si fa uso del grafico spazio-tempo. Si tratta di un normalissimo piano cartesiano dove si colloca il tempo sull'asse x e lo spazio sull'asse y.

 

Supponiamo di avere un grafico che descrive come varia lo spazio in funzione del tempo, quindi s=f(t).

 

 

Spiegazione sulla velocità istantanea - 1

 

 

La differenza tra il tempo finale e quello iniziale rappresenta l'intervallo \Delta t, mentre la differenza tra la posizione finale e quella iniziale è lo spostamento \Delta s.

 

La pendenza, ovvero il coefficiente angolare della retta congiungente i punti A e B, ci fornisce il valore della velocità media tenuta per percorrere lo spazio \Delta s nell'intervallo di tempo \Delta t.

 

m_{AB}=v_{m,AB}=\frac{\Delta s}{\Delta t}

 

Ora, se volessimo conoscere la velocità istantanea del punto quando si trova in A, potremmo seguire questo ragionamento: spostiamo il punto B nella posizione B' più vicina ad A.

 

La pendenza della retta congiungente A e B' ci dà la velocità media del punto, che ha percorso lo spazio \Delta s' nel tempo \Delta t'.

 

m_{AB'}=v_{m,AB'}=\frac{\Delta s'}{\Delta t'}

 

 

Spiegazione sulla velocità istantanea - 2

 

 

Il nuovo valore di velocità è diverso da quello precedente, perché diversa è la pendenza della retta. Avviciniamo ulteriormente B' ad A e lo spostiamo in un nuovo punto che chiamiamo B''

 

 

Spiegazione sulla velocità istantanea - 1

 

 

Potremmo anche qui ricalcolare la nuova velocità per il tratto AB''. L'idea è che ad ogni passaggio di avvicinamento di B ad A, l'intervallo di tempo che leggiamo sull'asse delle x (ovvero la differenza tra tempo finale e tempo iniziale) si riduce sempre di più.

 

Immaginiamo di prendere un intervallo di tempo molto piccolo, diciamo prossimo allo zero: vedremo il punto B''' in una posizione praticamente coincidente con quella di A. In questo modo la linea congiungente A e B''' non è più secante al grafico come accadeva prima, ma è tangente al grafico in A.

 

 

Velocità istantanea derivata

 

 

Il ragionamento ci permette di concludere che la velocità istantanea in un punto è pari alla pendenza della tangente al grafico spazio-tempo in quel punto.

 

 

Velocità istantanea e derivata prima

 

Ora una piccola osservazione utile per chi ha già affrontato lo studio delle derivate. Tutti gli altri possono passare direttamente al paragrafo successivo. ;)

 

La logica qui seguita è esattamente la stessa che si usa in matematica per arrivare a definire il concetto di derivata. Data una funzione f(x) continua in un intervallo, si definisce derivata il limite del rapporto incrementale

 

 y' = \lim_{h\to 0}{\frac{f(x+h)-f(x)}{h}} = \lim_{\Delta x \to 0}{\frac{\Delta y}{\Delta x}}

 

Dalla matematica apprendiamo anche che la derivata, calcolata in un preciso valore di x, ci fornisce proprio il coefficiente angolare (ovvero la pendenza) della retta tangente al grafico in quel punto. Ma è esattamente quello che abbiamo fatto noi con la velocità istantanea!

 

Definizione di velocità istantanea

 

Possiamo finalmente dare una definizione, la quale lega la nozione di velocità istantanea e derivata. La velocità istantanea è la derivata della posizione rispetto al tempo.

 

Scriveremo allora come formula della velocità istantanea:

 

 

 v = \lim_{\Delta t \to 0}{\frac{\Delta s}{\Delta t}} = \frac{ds}{dt}

 

 

dove ds\mbox{ e }dt sono rispettivamente lo spostamento e l'intervallo di tempo infinitesimi, ciòè "molto prossimi allo zero".

 

In parole povere, che cos'è la velocità istantanea? È una grandezza che ci dice con quale rapidità cambia la posizione di un punto rispetto al tempo nell'istante t.

 

Come si calcola la velocità istantanea?

 

Ovviamente avrete notato che in questa lezione non abbiamo proposto nemmeno un esempio pratico di calcolo della velocità istantanea. Niente paura! :)

 

Se da un lato la formula della velocità istantanea può risultare ostica, se non inutilizzabile, per chi non ha ancora studiato le derivate, la definizione di velocità istantanea che abbiamo dato poco sopra permette di ricavare le formule da usare negli esercizi e nelle applicazioni.

 

Tali formule saranno le protagoniste della prossima lezione, in cui ci occuperemo del moto rettilineo uniforme. Nel frattempo, per qualsiasi dubbio o per consultare esercizi già svolti sulla velocità istantanea, vi suggeriamo du fare buon uso della barra di ricerca interna. ;)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Alessandro Catania (Alex)

 

Lezione precedente..........Lezione successiva


Tags: velocità istantanea e derivata - qual è la formula della velocità istantanea e come si calcola.