Limiti di successioni

In questo articolo daremo le varie definizioni per i limiti di successioni e introdurremo le nozioni di successione convergente e successione divergente. Il limite ci permetterà di comprendere infatti il "comportamento all'infinito" di una successione.   Iniziamo subito!

 

Limiti di successioni finiti (successioni convergenti)

 

Una successione di numeri reali (a_n)_n converge ad un numero reale a\in\mathbb{R} se e solo se per definizione:

 

comunque si fissi  un numero reale \varepsilon\textgreater 0 riusciremo a determinare un indice n_0\in\mathbb{N} tale che tutti i termini della successione con indice maggiore di n_0 hanno "distanza" da a minore di \varepsilon.

 

 

Nel linguaggio matematico tradurremo così:

 

\forall\varepsilon\,\textgreater 0\,\,\exists n_0\in\mathbb{N}\mbox{ con }n_0\textgreater 0\mbox{ tale che }\forall \,n\textgreater n_0\mbox{ risulta}

 

|a_n-a|\,\textless \varepsilon\qquad (1)

 

Se vale la definizione diremo che a è il limite della successione e scriveremo:

 

\lim_{n\to \infty}a_n = a

 

Grazie al "matematichese", risparmiamo molto spazio! :) È importantissimo tenere a mente che \varepsilon è un numero fissato, quello che dobbiamo dimostrare è l'esistenza dell'indice n_0 dopo del quale vale proprietà (1).

 

Vediamo un esempio...

 

Come dimostrare che una successione ha limite finito

 

Esempio 1: dimostrare che \lim_{n\to \infty}\frac{n-1}{n}=1

 

Cosa dobbiamo fare? Per prima cosa fissiamo un \varepsilon>0, dobbiamo dimostrare che esiste n_0 tale che \forall n\textgreater n_0\ \implies\ |a_n-a|\textless \varepsilon.

 

Impostiamo quindi la disequazione:

 

|a_n-a|\textless \varepsilon\iff \left|\frac{n-1}{n}-1\right|\textless \varepsilon

 

Risolviamo ancora la disequazione rispetto ad n:

 

\left|\frac{n-1-n}{n}\right|\textless \varepsilon

 

\left|\frac{1}{n}\right|\textless\varepsilon

 

Poiché 1/n è una quantità positiva allora il valore assoluto è superfluo!

 

\frac{1}{n}\textless \varepsilon\iff n\textgreater \frac{1}{\varepsilon}

 

Il nostro n_0 dovrà essere quindi un numero naturale maggiore di \frac{1}{\varepsilon}! Questo dimostra che il limite della successione è effettivamente 1.

 

Limiti di successioni infiniti (successioni divergenti)

 

Successione divergente positivamente

 

Una successione di numeri reali (a_n)_n diverge positivamente se comunque si fissi un numero reale positivo M (grande a piacere)  esiste un indice n_0\in\mathbb{N} dopo del quale i termini della successione sono maggiori di M. In tal caso scriveremo:

 

\lim_{n\to \infty}a_n=+\infty

 

In matematichese:

 

\lim_{n\to \infty}a_n=+\infty\ \iff\ \forall M\textgreater 0\ \exists n_0\textgreater 0\mbox{ tale che }a_n>M\quad\forall n\textgreater n_0

 

Anche in questo caso dobbiamo porre l'attenzione su n_0 di cui vogliamo mostrarne l'esistenza!

 

In modo del tutto analogo avremo la definizione di:

 

Successione divergente negativamente

 

Una successione di numeri reali (a_n)_n diverge negativamente se comunque si fissi un numero reale positivo M (grande a piacere) esiste un indice n_0\in\mathbb{N} dopo del quale i termini della successione sono minori di -M. In tal caso scriveremo:

 

\lim_{n\to \infty}a_n=-\infty

 

Sempre in matematichese:

 

\lim_{n\to \infty}a_n=+\infty\iff \forall M\textgreater 0\ \exists n_0>0\mbox{ tale che }a_n\,\textless -M

 

 

Come dimostrare che una successione diverge

 

Esempio 2: dimostrare che \lim_{n\to \infty}n^2+2n=+\infty.

 

Partendo dalla disequazione 

 

n^2+2n\textgreater M

 

dobbiamo dimostrare l'esistenza dell'indice n0 dopo del quale i termini della successione soddisfano la disuguaglianza suscritta.

 

n^2+2n-M\textgreater 0\iff n\textless  -1-\sqrt{1+M}\vee n\textgreater -1+\sqrt{1+M}

 

È sufficiente prendere n_0 come il più piccolo numero naturale, più grande della quantità -1+\sqrt{1+M} così da ottenere l'indice richiesto nella definizione!

 

Limiti di successioni che non esistono (successioni irregolari)

 

Esistono successioni che non sono né convergenti né divergenti, esse sono dette successioni irregolari e non ammettono limite! Nelle prossime lezioni riprenderemo questo tipo di successioni.

 

Ricapitolando:

 

\lim_{n\to \infty}a_n= \begin{cases}\ell\in \mathbb{R}&\implies a_n\mbox{ convergente}\\ -\infty&\implies a_n\mbox{ divergente negativamente}\\+\infty&\implies a_n\mbox{ divergente positivamente}\\ \nexists&\implies a_n \mbox{ irregolare}\end{cases}

 

 


 

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Ifrit

 

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Tags: limiti di successioni, successione regolare, successione irregolare.