Successione di Cauchy

In questa articolo parleremo di una classe particolare di successioni: le successioni di Cauchy. Ricoprono un ruolo fondamentale non solo nell'Analisi Matematica di base, ma anche e soprattutto nell'Analisi superiore. Partiamo con la definizione...

 

Definizione di successione di Cauchy

  

Una successione (x_n)_n è di Cauchy se per ogni \varepsilon\textgreater 0 esiste un intero positivo N tale che per ogni coppia di numeri interi positivi n,m\textgreater N si ha che |x_n-x_m|\textless \varepsilon.

 

Teoremi sulle successioni di Cauchy

 

Iniziamo con i teoremi fondamentali, e con fondamentali intendo dire che devi impararli. Laughing Il primo teorema riguarda la limitatezza di una successione di Cauchy.

 

Teorema di limitatezza di una successione di Cauchy

 

Sia (x_n)_n una successione di Cauchy. Allora (x_n)_n è una successione limitata.

  

Dimostrazione

 

Per ipotesi sappiamo che la successione è di Cauchy allora per definizione abbiamo:

  

\forall\varepsilon\textgreater 0\,\, \exists N\in\mathbb{N}: \forall n, m\textgreater N\mbox{ si ha che }|x_n-x_m|\textless \varepsilon

  

In particolare per \varepsilon=1 esiste N_1\in\mathbb{N} tale che per ogni n ed m maggiori di N si ha che

 

|x_n-x_m|\textless 1

 

Per la disuguaglianza triangolare inversa abbiamo che:

 

|x_n|-|x_m|\le |x_n-x_m|\textless 1\quad\forall n,m\textgreater N_1

 

Prendendo m= N_1+1 la precedente diventa:

 

|x_n|-|x_{N_1+1}|\textless 1\quad\forall n\textgreater N_1\implies |x_n|\textless 1+|x_{N_1+1}|\quad\forall n\textgreater N_1

 

A questo punto definiamo 

 

M=\max\left(|x_1|,|x_2|,|x_3|\cdots,|x_{N_1+1}+1|\right)

 

Grazie al quale possiamo asserire che 

 

|a_n|\le M\quad\forall n\in\mathbb{N}

 

Abbiamo concluso! Wink Un altro teorema importante è il...

 

 

Teorema (convergenza implica Cauchy)

 

Ogni successione convergente (x_n)_n è di Cauchy.

 

Dimostrazione

 

Per ipotesi sappiamo che la successione (x_n)_n è convergente. Chiamiamo il suo limite x, conseguentemente, per definizione di limite di successione:

 

\forall\varepsilon\textgreater 0\,\, \exists N\in\mathbb{N}: \forall n\textgreater N\mbox{ si ha }|x_n-x|\textless \frac{\varepsilon}{2}

 

Partiamo ora dalla differenza:

 

|x_n-x_m|= |x_n-x+x-x_m|\mbox{  (abbiamo aggiunto e sottratto }x)

 

Utilizziamo la disuguaglianza triangolare (ne abusiamo sempre Laughing):

 

|x_n-x+x-x_m|\le |x_n-x|+ |x_m-x|

 

Ora per n,m\textgreater N abbiamo che:

 

|x_n-x|\textless \frac{\varepsilon}{2}

 

|x_m-x|\textless\frac{\varepsilon}{2}

 

pertanto: 

 

|x_n-x_m|\le |x_n-x|+|x_m-x|\textless \frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon

 

che è quello che volevamo dimostrare. :)

 

Il seguente teorema è delicato da trattare, però fornisce un criterio di convergenza per successioni, detto criterio di convergenza di Cauchy.

 

 

Criterio di convergenza di Cauchy

 

Sia (x_n)_n una successione di numeri reali: se è di Cauchy, allora converge.

 

Dimostrazione

 

La dimostrazione è delicata ed è necessario utilizzare il teorema di Bolzano Weierstrass. Per ipotesi sappiamo che la successione è di Cauchy e di conseguenza è limitata. Per il teorema di Bolzano Weierstrass la successione ammette una estratta (x_{n_k})_{k\in\mathbb{N}} convergente.

 

Chiamiamo x= \lim_{k\to \infty}x_{n_k}.

 

Di conseguenza \forall \varepsilon\textgreater 0 riusciremo a determinare un numero intero positivo N tale che |x_{n_k}-x|\textless \varepsilon\quad\forall k\textgreater N.

 

Per definizione di successione di Cauchy, riusciremo a determinare N_1\in\mathbb{N} per il quale si ha che 

 

|x_n-x_m|\textless \varepsilon\quad\forall n,m\textgreater N_1.

 

Il nostro obiettivo è dimostrare che la successione madre (x_n)_n converge anch'essa ad x. Consideriamo quindi la quantità:

 

|x_n-x|= |x_n-x_{n_k}+x_{n_k}-x|\quad(\mbox{aggiunto e sottratto }x_{n_k})

 

Interviene ora la disuguaglianza triangolare:

 

|x_n-x_{n_k}+x_{n_k}-x|\le |x_n-x_{n_k}|+|x_{n_k}-x|

 

Ora per n, k\textgreater \max(N,N_1)

 

|x_n-x_{n_k}|+ |x_{n_k}-x|\textless \varepsilon+\varepsilon= 2\varepsilon

 

e questo conclude la dimostrazione.

 

Osservazione

 

Il precedente teorema viene fortemente influenzato dal "mondo" (più precisamente, dallo spazio) in cui vive la successione. Consideriamo ad esempio la successione:

 

(a_n)_n=\left(\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\right)_n

 

Se la vediamo come successione reale allora essa converge e conseguentemente è di Cauchy, ma attenzione! Se la vediamo come una successione di numeri razionali (cioè (a_n)_n\subseteq \mathbb{Q}) non converge perché il suo limite è 

 

\lim_{n\to \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=e

 

Ma e non è un numero razionale quindi il limite non appartiene all'insieme in cui vive la successione, cioè \mathbb{Q}.

 

 

Ifrit

Lezione precedente..........Lezione successiva


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