Teorema di permanenza del segno per successioni

I teoremi di permanenza del segno per successioni sono teoremi che hanno svariati risvolti (più che altro teorici) nello studio dei limiti di successioni. In realtà esiste anche una implicazione notevole che vedremo a breve...

 

Teorema della permanenza del segno per successioni

 

Sia (a_n)_{n\in\mathbb{N}} una successione di numeri reali, supponiamo che:

 

\lim_{n\to \infty}a_n= \ell\textgreater 0

 

dove \ell è un numero reale positivo, allora esiste un numero naturale n_0\in\mathbb{N} tale che per ogni n\textgreater n_0 si ha a_n\textgreater 0 (o per fare i fighi, la successione è definitivamente positiva - vedi segno di una successione).

 

 

Dimostrazione


Per definizione di limite di successione abbiamo che

 

\lim_{n\to \infty}a_n= \ell\iff \forall \varepsilon\textgreater 0\,\, \exists n_0\in\mathbb{N}: \forall n\ge n_0\mbox{ si ha che }|a_n-\ell|\textless \varepsilon

 

La condizione |a_n-\ell|\textless \varepsilon si lascia esprimere in modo equivalente come:

 

\ell-\varepsilon\textless a_n\textless \ell+\varepsilon

 

Se prendiamo \varepsilon= \frac{\ell}{2} allora \ell-\varepsilon= \frac{\ell}{2} di conseguenza riusciamo a determinare n_0\in\mathbb{N} tale che:

 

a_n\ge \frac{\ell}{2}\textgreater 0\quad\forall n\textgreater n_0

 

che è esattamente quello che volevamo dimostrare. Da questo teorema, segue immediatamente il

 

Corollario del teorema della permanenza del segno per le successioni

 

Sia (a_n)_{n\in\mathbb{N}} una successione di numeri reali, se la successione è definitivamente positiva allora 

 

\lim_{n\to \infty}a_n\ge 0

 

 

cioè il limite della successione non può essere negativo. La dimostrazione avviene per assurdo e la lascio per esercizio. Wink

 

Esempio di applicazione del teorema della permanenza del segno

 

Vediamo ora un'applicazione pratica. Supponiamo di avere la successione:

 

a_n= \sin\left(\frac{n+10}{n}\right)

 

Poiché il limite 

 

\lim_{n\to \infty}a_n= \sin(1)\textgreater 0 

 

allora la successione è definitivamente positiva, cioè da un certo indice in poi è positiva. Di primo acchitto questa informazione può sembrare inutile, ma in realtà, non è così. Capirai la potenza di questo ragionamento quando affronteremo lo studio delle serie numeriche. :)

 

 


 

A partire dalla lezione successiva inizieremo ad occuparci delle sottosuccessioni. Dubbi o domande? Nessun problema: cerca le risposte che ti servono con la barra di ricerca interna ed eventualmente apri un topic nel Forum.

 

Ifrit

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