Teorema di Bolzano Weierstrass

Il teorema di Bolzano Weierstrass è uno di quei teoremi dal sapore prettamente teorico, con ripercussioni sia in ambito topologico che analitico ed infatti lo si apprezza maggiormente in un corso di Topologia di base che a quello di Analisi I. Sebbene presenti un enunciato alquanto elementare, la dimostrazione è tecnica e molti studenti non lo digeriscono facilmente. Ad una prima lettura la dimostrazione può sembrare astrusa, ma non devi scoraggiarti, devi solo aver pazienza. Wink

 

Enunciato del teorema di Bolzano Weierstrass

 

Sia (x_n)_n una successione di numeri reali, se essa è limitata allora esiste una sottosuccessione (x_{n_k})_k convergente.

 

Dimostrazione del teorema di Bolzano Weierstrass


Per ipotesi sappiamo che la successione (x_{n_k})_k è limitata e per definizione di successione limitata esistono due numeri reali a_0, b_0 tali che:

 

a_0\le x_n\le b_0 \qquad\forall n\in\mathbb{N}

 

e ciò vuol dire che tutti i termini della successione x_n appartengono all'intervallo I_0=[a_0, b_0]. Definiamo il punto medio dell'intervallo I_0 che chiamiamo c_0:

  

c_0= \frac{a_0+b_0}{2}

  

grazie al quale possiamo costruire due sottointervalli [a_0, c_0] e [c_0, b_0] almeno uno dei quali conterrà infiniti termini della successione (x_n)_n. Senza perdità di generalità, possiamo supporre che il sottointervallo che possiede infiniti termini della successione sia [a_0, c_0], in tal caso poniamo 

  

a_1=a_0\qquad b_1= c_0

 

(Se così non fosse, lavoriamo con [c_0, b_0]).  Otteniamo quindi l'intervallo I_1= [a_1, b_1] la cui ampiezza è:

  

b_1-a_1= c_0-a_0= \frac{b_0+ a_0}{2}-a_0=\frac{b_0-a_0}{2}

  

Ripetiamo il processo. Consideriamo il punto medio

 

c_1= \frac{a_1+b_1}{2}

 

dividiamo in due l'intervallo I_1 grazie al punto medio avremo: [a_1, c_1] e [c_1, b_1]. Certamente uno di essi avrà infiniti termini della successione, supponiamo che l'intervallo sia [a_1, c_1]:

 

Poniamo  a_2= a_1, b_2= c_1, essi saranno gli estremi dell'intervallo I_2=[a_2, b_2] la cui ampiezza è:

  

b_2-a_2= c_1-a_1= \frac{a_1+b_1}{2}-a_1= \frac{b_1-a_1}{2}=\frac{\frac{b_0-a_0}{2}}{2}=

 

=\frac{b_0-a_0}{2^2}

 

Generalizziamo il processo...

 

 

Dall'intervallo I_k=[a_k, b_k] costruiamo il punto medio c_k= \frac{a_k+b_k}{2}. Possiamo costruire due sottointervalli [a_k, c_k] e [c_k, b_k] uno dei quali conterrà infiniti termini della successione (x_n)_n, ad esempio [a_k, c_k]. Poniamo quindi:

 

a_{k+1}= a_k\qquad b_{k+1}= c_k

 

ottenendo quindi I_{k+1}=[a_{k+1}, b_{k+1}] la cui ampiezza è b_{k+1}-a_{k+1}=\frac{b_0-a_0}{2^{k+1}}.

 

Procedendo in questo modo costruiremo:
 

  •  Una sequenza di intervalli I_k= [a_k, b_k], con I_{k+1}\subset I_{k}\quad\forall k\in \mathbb{N} 

     
  • Due successioni reali (a_k)_k, (b_k)_k tali che a_k\le a_{k+1}\le b_{k+1}\le b_{k}\quad \forall k\in\mathbb{N}

 

E' bene osservare che entrambe le successioni sono successioni monotone e limitate, pertanto sono convergenti, quindi:

 

\lim_{k\to \infty}a_k=a

 

\lim_{k\to \infty}b_k= b

 

Consideriamo ora la differenza

  

b_k-a_k=\frac{b_0-a_0}{2^k}

  

Passando al limite membro a membro:

  

\lim_{k\to \infty}b_k-a_k= \lim_{k\to\infty }\frac{b_0-a_0}{2^k}

 

Il primo membro è uguale a b-a mentre il secondo è zero, da ciò segue che  

 

b-a=0\implies b=a

 

le due successioni di numeri reali (a_k)_k, (b_k)_k convergono allo stesso limite, che chiamiamo a.


Ora non perdiamo di vista il nostro obiettivo. Dobbiamo determinare una sottosuccessione (x_{n_k})_k convergente e per farlo procediamo in questo modo.

 

Dall'intervallo [a_0, b_0] scegliamo un elemento della successione (x_n)_n che chiamo x_{n_0}. Dall'intervallo [a_1, b_1] scegliamo un ulteriore elemento della successione che chiamo x_{n_1}.

 

Al passo k-esimo, dall'intervallo [a_k, b_k] prendiamo il  termine x_{n_k}. Proseguendo in questo modo costruiamo una sottosuccessione (x_{n_k})_k i cui termini obbediscono alla catena di disuguaglianze: 

 

a_k\le x_{n_k}\le b_k\qquad\forall k\in \mathbb{N}

 

Per k che tende ad infinito, per il teorema del confronto per le successioni, si ha che:

 

\lim_{k\to \infty}x_{n_k}= a

 

Abbiamo quindi costruito una sottosuccessione convergente, Finito! Laughing

 

Alcune osservazioni


  • Non abbiamo l'unicità della sottosuccessione convergente. Una successione limitata infatti può averne più di una. Per esempio dalla successione ((-1)^n)_n possiamo estrarre le successioni convergenti (1)_n e (-1)_n.

     
    • La limitatezza della successione è una condizione sufficiente. Consideriamo ad esempio la successione a_n=\begin{cases}n&\mbox{ se }n\mbox{ è pari}\\ \frac{1}{n}&\mbox{ se }n\mbox{ è dispari}\end{cases}.  Da essa possiamo estrarre la sottosuccessione b_n=a_{2n+1}= \frac{1}{2n+1} che converge.

 

 


 

Nella lezione successiva ci occuperemo di un particolare tipo di successioni reali. Dubbi? Domande? Trova quello che ti serve con la barra di ricerca interna, ed eventualmente chiedi una mano nel Forum! :) 

 

Ifrit

 

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