Teorema del confronto per successioni

In questa lezione andremo a snocciolare una carrellata di teoremi sui limiti di successioni che hanno interessanti applicazioni sia a livello teorico sia a livello pratico. Iniziamo con quello che è conosciuto come teorema dei due carabinieri per successioni, o teorema del confronto per successioni.

 

I due principali teoremi di confronto per i limiti di successioni riguardano il caso delle successioni convergenti da un lato e quello delle successioni divergenti dall'altro. Cominciamo?

 

Teorema del confronto per successioni convergenti

 

Siano (a_n)_n, (b_n)_n, (c_n)_n tre successioni reali, tali che:

 

a_n\le b_n\le c_n \qquad\forall n\in\mathbb{N}

 

Supponiamo inoltre che

 

\lim_{n\to \infty}a_n=\ell =\lim_{n\to \infty}c_n

 

allora 

 

\lim_{n\to \infty}b_n= \ell

 

Dimostrazione


Per ipotesi sia a_n che c_n converge a \ell\in\mathbb{R}. Di condeguenza, per definizione di limite, risulta che fissato \varepsilon\textgreater 0 esistono n_1, n_2\in\mathbb{N} tali che:

 

|a_n-\ell|\textless \varepsilon\qquad\forall n\textgreater n_1\iff \ell -\varepsilon\textless a_n\textless \ell+\varepsilon\qquad\forall n\textgreater n_1

 

|c_n-\ell|\textless \varepsilon\qquad\forall n\textgreater n_2\iff \ell-\varepsilon\textless c_n\textless \ell+\varepsilon\qquad\forall n\textgreater n_2

 

Definiamo N=\mbox{max}(n_1, n_2) allora per n\textgreater N si ha che:

 

\ell-\varepsilon\textless_{(1)} a_n\le_{(2)} b_n\le_{(3)}c_n\textless_{(4)}\ell+\varepsilon

 

(1) Abbiamo utilizzato la condizione  \ell-\varepsilon\textless a_n \textless \ell +\varepsilon\quad\forall n\textgreater n_1

 

(2), (3) Abbiamo utilizzato  a_n\le b_n\le c_n\quad\forall n\in\mathbb{N}

 

(4) Abbiamo utilizzato la condizione  \ell-\varepsilon\textless c_n\textless\ell+\varepsilon\quad\forall n\textgreater n_2 .

 

Dalla catena di disuguaglianze si ha che

 

\ell-\varepsilon\textless b_n\textless \ell+\varepsilon\qquad\forall n\textgreater N\iff |b_n-\ell |\textless \varepsilon\quad\forall n\textgreater N

 

che per definizione di limite equivale a:

 

\lim_{n\to \infty}b_n=\ell

 

Osservazione importante: In realtà la condizione a_n\le b_n\le c_n\quad\forall n\in\mathbb{N} può essere indebolita con la seguente condizione:

 

a_n\le b_n\le c_n\quad \forall n\textgreater n_0\mbox{ con }n_0\in\mathbb{N}

 

Cioè la catena di disuguaglianze vale definitivamente, cioè da un certo numero naturale in poi.

 

Esempi sul teorema del confronto per successioni convergenti

 

Vediamo alcuni esempi di applicazione. Supponiamo di voler calcolare il limite:

 

\lim_{n\to \infty}\frac{(-1)^n}{n}

 

Per ogni n naturale vale la seguente catena:

 

-\frac{1}{n}\le \frac{(-1)^n}{n}\le \frac{1}{n}

 

Ora:

 

\lim_{n\to \infty}-\frac{1}{n}=0

 

\lim_{n\to \infty}\frac{1}{n}=0

 

di conseguenza 

 

\lim_{n\to \infty}\frac{(-1)^n}{n}=0.

 

Portiamo un altro esempio. Vogliamo calcolare il limite:

 

\lim_{n\to \infty}\frac{\sin(n)}{n}

 

Vale la seguente catena:

 

-1\le \sin(n)\le 1

 

dividendo membro a membro per n (che è una quantità positiva):

 

-\frac{1}{n}\le \frac{\sin(n)}{n}\le \frac{1}{n}

 

Inoltre

 

\lim_{n\to \infty}-\frac{1}{n}=0=\lim_{n\to \infty}\frac{1}{n}

 

e per il teorema del confronto:

 

\lim_{n\to \infty}\frac{\sin(n)}{n}=0

 

Teorema del confronto per successioni divergenti

 

Siano (a_n)_n, (b_n)_n due successioni, tali che:

 

a_n\le b_n\quad \forall n\in\mathbb{N}

 

allora

 

1) Se \lim_{n\to \infty}a_n=+\infty\implies \lim_{n\to \infty}b_n=+\infty

 

2) Se \lim_{n\to \infty}b_n=-\infty\implies \lim_{n\to \infty}a_n=-\infty

 

Dimostrazione

 

Dimostreremo solo la tesi 1), l'altra è simile.

 

Per ipotesi sappiamo che \lim_{n\to \infty}a_n=+\infty allora per definizione di limite:

 

\forall M\textgreater 0\mbox{ esiste }n_M\in\mathbb{N}\mbox{ tale che }\forall n\textgreater n_M \mbox{ si ha }a_n\textgreater M

 

Poiché per ipotesi abbiamo che a_n\le b_n allora:

 

M\textless a_n\le b_n\quad\forall n\textgreater n_M

 

Da cui si evince che:

 

\lim_{n\to \infty}b_n=+\infty

 

Dal teorema del confronto segue un corollario interessante...

 

Corollario sul limite del prodotto tra una successione limitata per una infinitesima

 

Siano (a_n)_n una successione limitata, (b_n)_n una successione infinitesima. Allora:

 

\lim_{n\to \infty}a_n b_n=0

 

Dimostrazione


Per ipotesi abbiamo che:

 

a_n è limitata e per definizione di successione limitata esiste una costante M positiva tale che:

 

|a_n|\le M\quad\forall n\in\mathbb{N}


La successione (b_n)_n è una successione infinitesima:

 

\lim_{n\to \infty}b_n=0\iff \forall \varepsilon\textgreater 0,\,\, \exists n_{\varepsilon} \mbox{ tale che }\forall n\textgreater n_{\varepsilon}\mbox{ si ha: }|b_n|\textless \frac{\varepsilon}{M}

 

Consideriamo ora la quantità |a_n b_n| per la quale vale la disuguaglianza:

 

|a_n b_n|\le M|b_n|\quad\forall n\in\mathbb{N}

 

In particolare quando n\textgreater n_{\varepsilon} si ha che:

 

|a_n b_n|\le M|b_n|\textless M\cdot\frac{\varepsilon}{M}= \varepsilon

 

Questo dimostra che 

 

\lim_{n\to \infty}a_n b_n=0

 

 


 

Continua a leggerci Wink c'è un altro importante teorema di cui dobbiamo occuparci, e lo faremo nella lezione successiva. Nel frattempo se hai dubbi puoi cercare le risposte che ti servono con la barra di ricerca interna, ed eventualmente aprire un topic nel Forum.

 

Ifrit

 

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