Limite di una successione monotona

In questa lezione parleremo di un teorema particolarmente importante e spesso richiesto all'esame orale: il teorema sui limiti di successioni monotone. Nella lezione sui limiti di successioni abbiamo visto che una successione può essere regolare (ammette limite finito o meno) oppure irregolare (non ammette limite), in generale quindi non abbiamo assicurata l'esistenza del limite Surprised.  Esiste una classe di successioni per la quale il limite esiste certamente: per le successioni monotone, infatti sussiste il seguente teorema:

 

Teorema sull'esistenza dei limiti di successioni monotone

  

Sia (a_n)_n una successione reale monotona. Allora esiste il limite \lim_{n\to \infty}a_n

 

In particolare:

 

- se (a_n)_n è crescente allora:

 

\lim_{n\to +\infty}a_n= \sup_{n\in\mathbb{N}}a_n

 

- se (a_n)_n è decrescente allora:

 

\lim_{n\to +\infty}a_n= \inf_{n\in\mathbb{N}}a_n

 

Dimostrazione

 

Proveremo la tesi solo nel caso in cui (a_n)_n è decrescente. Sia \ell l'estremo inferiore della successione (a_n). Consideriamo il caso in cui \ell è finito. Per definizione di estremo inferiore abbiamo che:

 

\ell\le a_n\qquad\forall n\in\mathbb{N}

 

ed inoltre, fissato \varepsilon\textgreater 0, esiste n_{\varepsilon} tale che:

 

\ell\le a_{n_{\varepsilon}}\textless \ell +\varepsilon

 

Per ipotesi sappiamo che la successione è decrescente, ne segue che:

 

\ell\le a_n \le a_{n_{\varepsilon}}\textless \ell +\varepsilon \qquad \forall n\ge n_{\varepsilon}

 

Dalla definizione di limite si ha che:

 

\lim_{n\to \infty}a_n= \ell= \inf_{n\in\mathbb{N}}a_n

 

Supponiamo ora che \inf_{n\in\mathbb{N}}a_n=-\infty. Allora

 

\forall M\textgreater 0\ \ \exists n_M\in\mathbb{N}\qquad a_{n_M}\textless -M

 

e per la decrescenza della successione segue che:

 

a_n\le a_{n_M}\textless -M\qquad\forall n\ge n_{M}

 

e quindi

 

\lim_{n\to \infty}a_n=-\infty= \inf_{n\in\mathbb{N}}a_n

 

Osservazione: questo teorema ci fornisce un metodo per calcolare l'inf/sup di successioni monotone. Se abbiamo quindi un esercizio in cui è richiesto di determinare l'estremo inferiore o l'estremo superiore di una successione, sarebbe utile verificare la monotonia della stessa così che si possa innescare il suddetto teorema! Wink

 

Un'altra conseguenza importante del teorema è data dal seguente

 

Corollario: una successione monotona è convergente se e solo se è limitata.

 

Dimostrazione

 

Se una successione è monotona e limitata allora l'estremo inferiore e l'estremo superiore esiste finito. Per il teorema precedente il limite coincide o con il sup (se la successione è crescente) o con l'inf (se la successione è decrescente) conseguentemente la successione converge. Se una successione è convergente allora è limitata, questo è un teorema più generale e di facile dimostrazione. 

 

 


 

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