Sottosuccessioni

In questa lezione tratteremo la nozione di sottosuccessione, o successione estratta, nel dettaglio. Prima di procedere con la definizione di sottosuccessione, partiamo da un esempio:

 

consideriamo la successione

 

(a_n)_{n}= \left(\frac{(-1)^n}{n}\right)_{n}

 

e tabuliamo alcuni termini

  

 -1,\, \frac{1}{2}, -\frac{1}{3}, \frac{1}{4},-\frac{1}{5}, \frac{1}{6},...

 

 

Da essa possiamo costruire una nuova successione prendendo infiniti termini della precedente. Ad esempio se prendiamo i termini quando n è pari, cioè quando n=2k, abbiamo:

 

(b_k)_k=(a_{2k})_{k}= \left(\frac{1}{2k}\right)_{k}

 

Alcuni termini della nuova successione sono:

 

\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{6},...

 

Possiamo inoltre costruire una nuova successione prendendo i termini per n dispari, cioè quando n=2k+1:

 

(c_k)_{k}=(a_{2k})_k= \left(-\frac{1}{2k+1}\right)_{k}

 

i cui primi termini sono:

 

 -1,\,-\frac{1}{3}, -\frac{1}{5},...

 

Potremmo pensare di costruire altre sottosuccessioni, ad esempio prendendo i termini per n=3k+1,\;\; k\in\mathbb{N}

 

(d_k)_k= (a_{3k+1})_{k}= \left(\frac{(-1)^{3k+1}}{3k+1}\right)_k

 

i cui termini sono 

 

\frac{1}{4}, -\frac{1}{7}, \frac{1}{10}, -\frac{1}{13},....

 

Dalla successione "madre" abbiamo costruito 4 sottosuccessioni "figlie". Laughing A questo punto proviamo a dare la definizione.

 

Definizione di sottosuccessione

 

Consideriamo la successione reale (a_n)_{n\in\mathbb{N}}, e sia (n_k)_{k\in\mathbb{N}} una successione crescente di numeri naturali:

 

n_1\textless n_2\textless n_3\textless...\textless n_k\textless n_{k+1}\textless ...

 

si definisce sottosuccessione o successione estratta la successione (a_{n_k})_{k\in\mathbb{N}}

 

Teoremi sulle sottosuccessioni

 

Il primo teorema che enunciamo è detto teorema di regolarità per sottosuccessioni.

 

Siano (a_n)_n una successione e a\in\mathbb{R}\cup\{-\infty, +\infty\} allora:

 

se \lim_{n\to \infty}a_n= a\iff \forall\,\, a_{n_k} sottosuccessione di a_n si ha che \lim_{k\to \infty}a_{n_k}= a

 

Una dimostrazione del caso finito puoi trovarla qui: teorema del limite delle sottosuccessioni (grazie Omega!).

 

Questo risultato ha una conseguenza notevole, la sua contronominale infatti ci dà i mezzi per dire se una successione ammette limite oppure no! Wink Sussiste infatti il seguente corollario.

 

 

Corollario del teorema di regolarità per sottosuccessioni


Sia (a_n)_{n\in\mathbb{N}} una successione di numeri reali, se esistono due sottosuccessioni (a_{n_k})_k, (a_{m_k})_k tali che:

 

\lim_{k\to \infty}a_{n_k}=\ell_1

 

\lim_{k\to \infty}a_{m_k}=\ell_2

 

con  \ell_1\ne \ell_2 allora la successione (a_n)_n non ammette limite.

 

Vediamo una applicazione esplicita di questo corollario.

 

Esempi

 

1) La successione a_n=((-1)^{n})_n non ammette limite infatti, consideriamo e due successioni di indici:

 

n_k= 2k,\qquad m_k= 2k+1

 

e le relative sottosuccessioni,

 

a_{2k}= (-1)^{2k}= 1\qquad a_{2k+1}=(-1)^{2k+1}=-1

 

si ha che:

 

\lim_{k\to \infty}a_{2k}=1\mbox{ mentre }\lim_{n\to \infty}a_{2k+1}= -1

 

i limiti non coincidono pertanto la successione ((-1)^n)_n non ammette limite.

 

2) Prendiamo la successione reale (a_n)_n=\left((-1)^n n\right)_n, come prima consideriamo le successioni di indici 

 

n_k= 2k\qquad m_k=2k+1

 

e le relative sottosucessioni 

 

a_{2k}= 2k\qquad a_{2k+1}= -2k-1

 

Poiché

 

\lim_{k\to \infty}a_{2k}= \lim_{k\to \infty}2k=+\infty\mbox{ mentre }\lim_{k\to \infty}a_{2k+1}=-\infty

 

la successione madre non ammette limite. :)

 

 


 

Benissimo! Abbiamo introdotto il concetto di sottosuccessione, ora è il momento di passare al principale teorema che le coinvolge. Ne parliamo nella prossima lezione...Wink

 

Ifrit

 

Lezione precedente..........Lezione successiva


Tags: sottosuccessioni - definizione di sottosuccessione - teoremi sulle sottosuccessioni - cosa sono le sottosuccessioni.