Successioni e sviluppi di Taylor-McLaurin

Molto spesso i limiti notevoli di successioni e le stime asintotiche non sono sufficienti per la risoluzione di un limite (purtroppo...). Abbiamo bisogno quindi di ulteriori mezzi che permettano di portare a termine e in modo corretto il calcolo del limite incriminato. Per questo motivo concludiamo le lezioni sulle successioni parlando di come si utilizzano gli sviluppi in serie di Taylor nel caso delle successioni.

 

Successioni e serie di Taylor

 

Partiamo con un esempio

 

\lim_{n\to \infty}\frac{\sin\left(\frac{1}{n}\right)-\tan\left(\frac{1}{n}\right)}{\frac{1}{n^3}}

 

 

Vediamo cosa succede se applichiamo le stime asintotiche

 

\sin\left(\frac{1}{n}\right)\sim \frac{1}{n}

 

\tan\left(\frac{1}{n}\right)\sim \frac{1}{n}

 

Effettuiamo le sostituzioni suggerite dalle equivalenze

 

\lim_{n\to \infty}\frac{\frac{1}{n}-\frac{1}{n}}{\frac{1}{n^3}}=^{?}0

 

Purtroppo il risultato è errato. La stima utilizzata non è sufficiente per risolvere il limite, il che tra l'altro ci suggerisce che le stime asintotiche non funzionano molto bene con le somme né con le differenze.

 

Che possiamo fare? Grazie al teorema ponte vengono in soccorso gli sviluppi di Taylor-Mc Laurin, che quindi continuano a valere anche nel caso delle successioni. Prima di vedere come calcolare il limite precedente riportiamo qui di seguito gli sviluppi di Taylor-Mc Laurin più utilizzati.

 

Tabella degli sviluppi di Taylor per le successioni

 

(Notate che la tabella che stiamo per scrivere assomiglia in tutto e per tutto a quella degli sviluppi in serie di Taylor fondamentali che abbiamo visto nel caso delle funzioni)

 

Sia (a_n)_{n\in\mathbb{N}} una successione tale che:

  

\lim_{n\to \infty}a_n=0

  

allora valgono i seguenti sviluppi:

 

 

\frac{1}{1-a_n}= 1+a_n+a_n^2+a_n^3+...+a_n^k +o(a_n^k) 

  

e^{a_n}= 1+a_n+\frac{a_n^2}{2!}+\frac{a_n^3}{3!}+...+\frac{a_n^k}{k!} +o\left(a_n^{k}\right) 

  

\ln(1+a_n)= a_n-\frac{a_n^2}{2}+\frac{a_n^3}{3}-\frac{a_n^4}{4}+...+\frac{(-1)^{k+1}}{k}a_n^k+o(a_n^{k}) 

  

\sin(a_n)=a_n-\frac{a_n^3}{3!}+\frac{a_n^5}{5!}-\frac{a_n^7}{7!}+...+\frac{(-1)^k a_n^{2k+1}}{(2k+1)!}+o\left(a_n^{2k+1}\right)

  

\cos(a_n)= 1-\frac{a_n^2}{2!}+\frac{a_n^4}{4!}+...+(-1)^k \frac{a_n^{2k}}{(2k)!}+o(a_n^{2k})

  

\tan(a_n)= a_n+\frac{a_n^3}{3}+\frac{2}{15}a_n^5+\frac{17}{315}a_n^7+o(a_n^7)

  

\arcsin(a_n)= a_n+\frac{a_n^3}{6}+\frac{3}{40}a_n^5+\frac{5}{112}a_n^7+o(a_n^7)

  

\arccos(a_n)= \frac{\pi}{2}-a_n-\frac{a_n^3}{6}-\frac{3}{40}a_n^5-\frac{5}{112}a_n^7+o(a_n^7)

  

\arctan(a_n)= a_n-\frac{a_n^3}{3}+\frac{a_n^5}{5}+o(a_n^5)

  

\sinh(a_n)=a_n+\frac{a_n^3}{3!}+\frac{a_n^5}{5!}+\frac{a_n^7}{7!}+o(a_n^7)

  

\cosh(a_n)=1+\frac{a_n^2}{2!}+\frac{a_n^4}{4!}+\frac{a_n^6}{6!}+\frac{a_n^8}{8!}+o(a_n^8)

  

\tanh(a_n)= a_n -\frac{a_n^3}{3}+\frac{2}{15}a_n^5-\frac{17}{315}a_n^7+o(a_n^7)

  

\mbox{arcsinh}(a_n)= a_n -\frac{a_n^3}{6}+\frac{3}{40}a_n^5-\frac{5}{112}a_n^7+\frac{35}{1152}a_n^9+o(a_n^9)

  

\mbox{arctanh}(a_n)=a_n+\frac{a_n^3}{3}+\frac{a_n^5}{5}+\frac{a_n^7}{7}+o(a_n^7)

 

 

Osservazione fondamentale: è importante notare che tutte le stime asintotiche che abbiamo trattato nella lezione sulle successioni asintotiche sono in realtà sviluppi di Taylor-Mc Laurin per successioni troncati al primo ordine (o almeno quasi tutti: quello del coseno è del secondo ad esempio). 

 

Esempio sugli sviluppi di Taylor-Mc Laurin per le successioni

 

Proviamo ora a risolvere il limite di partenza utilizzando gli sviluppi notevoli:

  

\lim_{n\to \infty}\frac{\sin\left(\frac{1}{n}\right)-\tan\left(\frac{1}{n}\right)}{\frac{1}{n^3}}

  

Per lo sviluppo notevole della funzione seno:

 

\sin\left(\frac{1}{n}\right)= \frac{1}{n}-\frac{1}{6}\left(\frac{1}{n}\right)^3+o\left(\frac{1}{n}\right)^3

 

mentre quello della funzione tangente:

 

\tan\left(\frac{1}{n}\right)= \frac{1}{n}+\frac{1}{3}\left(\frac{1}{n}\right)^3+o\left(\frac{1}{n^3}\right)

  

Sostituendo nel limite:

  

\lim_{n\to \infty}\frac{\frac{1}{n}-\frac{1}{6}\left(\frac{1}{n}\right)^3+o\left(\frac{1}{n}\right)^3-\left(\frac{1}{n}+\frac{1}{3}\left(\frac{1}{n}\right)^3+o\left(\frac{1}{n^3}\right)\right)}{\frac{1}{n^3}}=

 

\lim_{n\to \infty}\frac{-\frac{1}{2}\left(\frac{1}{n}\right)^3}{\frac{1}{n^3}}=-\frac{1}{2}

 

Il valore del limite è -1/2 e non 0 come ritenevamo nell'esempio iniziale! Ciò dimostra che è importante capire a quale ordine fermarsi. Sorge a questo punto l'annosa domanda: come facciamo a sapere quando fermarsi?

 

Qui di seguito proporremo qualche indicazione generale; se non l'avessi già fatto, ti invito caldamente a leggere la lezione sui limiti con Taylor che è sì dedicata ai limiti di funzioni, ma che tratta l'argomento nel dettaglio e spiega come procedere in tutti i possibili casi. 

 

Questione di ordine!

 

La questione non è immediata purtroppo, solo l'allenamento e il continuo esercizio possono dare una completa padronanza della faccenda. Ci sono alcuni accorgimenti che semplificano il lavoro dello studente e per evidenziarli utilizzeremo l'esempio di partenza.

 

\lim_{n\to \infty} \frac{\sin\left(\frac{1}{n}\right)-\tan\left(\frac{1}{n}\right)}{\frac{1}{n^3}}

 

La prima cosa che deve saltare all'occhio è il denominatore, in particolare l'esponente. Esso è 3 e ciò ci suggerisce che dovremmo sviluppare il numeratore almeno fino all'ordine 3, ed infatti è quello che abbiamo fatto!  

 

Concentriamoci sul numeratore. Se sviluppassimo i termini arrestandoci al primo ordine otterremo:

 

\sin\left(\frac{1}{n}\right)= \frac{1}{n}+o\left(\frac{1}{n}\right)

 

\tan\left(\frac{1}{n}\right)=\frac{1}{n}+o\left(\frac{1}{n}\right)

 

conseguentemente:

 

\sin\left(\frac{1}{n}\right)-\tan\left(\frac{1}{n}\right)= \frac{1}{n}-\frac{1}{n}+o\left(\frac{1}{n}\right)=o\left(\frac{1}{n}\right)

 

ma abbiamo già visto che questa stima non basta per raggiungere il risultato corretto, quando operiamo con lo sviluppo di Taylor McLaurin dobbiamo fare in modo che ci sia almeno un termine non nullo. 

 

Se ci fermassimo al secondo ordine otterremmo:

 

\sin\left(\frac{1}{n}\right)=\frac{1}{n}+o\left(\frac{1}{n^2}\right)

 

\tan\left(\frac{1}{n}\right)=\frac{1}{n}+o\left(\frac{1}{n^2}\right)

 

pertanto:

 

\sin\left(\frac{1}{n}\right)-\tan\left(\frac{1}{n}\right)= \frac{1}{n}-\frac{1}{n}+o\left(\frac{1}{n^2}\right)=o\left(\frac{1}{n^2}\right)

 

Anche questa volta non abbiamo termini non nulli, siamo costretti a sviluppare fino al terzo ordine!

 

\sin\left(\frac{1}{n}\right)=\frac{1}{n}-\frac{1}{6n^3}+o\left(\frac{1}{n^3}\right)

 

\tan\left(\frac{1}{n}\right)=\frac{1}{n}+\frac{1}{3n^3}+o\left(\frac{1}{n^3}\right)

 

e dunque:

 

\sin\left(\frac{1}{n}\right)-\tan\left(\frac{1}{n}\right)= \frac{1}{n}-\frac{1}{6n^3}-\frac{1}{n}-\frac{1}{3n^3}+o\left(\frac{1}{n^3}\right)=-\frac{1}{2n^3}+o\left(\frac{1}{n^3}\right)

 

e finalmente abbiamo trovato il termine non nullo di cui avevamo bisogno!

 

 


 

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Ifrit

 

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