Successioni asintotiche

Ci siamo finalmente! In questa lezione parleremo delle successioni asintoticamente equivalenti. Le equivalenze asintotiche sono fondamentali nel contesto dei limiti di successioni, specie e soprattutto dal punto di vista pratico. Cominciamo subito dalla definizione...

 

Successioni asintotiche o asintoticamente equivalenti

 

Partiamo dalla definizione di successioni asintotiche, o successioni asintoticamente equivalenti.

 

 

Due successioni (a_n)_{n\in\mathbb{N}}, (b_n)_{n\in\mathbb{N}} sono asintoticamente equivalenti se e solo se:

 

\lim_{n\to \infty}\frac{a_n}{b_n}=1

 

La simbologia utilizzata per indicare che la successione (a_n)_{n} è asintoticamente equivalente a (b_n)_{n} è 

 

a_n\sim b_n\mbox{ e si legge "}a_n \mbox{ è asintotica a } b_n"

 

Non è un caso che si utilizzi \sim che in genere si utilizza per indicare una relazione di equivalenza, infatti 

 

a_n\sim b_n\iff \lim_{n\to \infty}\frac{a_n}{b_n}=1

 

è una relazione di equivalenza!  

 

Essa soddisfa:


La riflessività: a_n\sim a_n


La simmetria: a_n\sim b_n\iff b_n \sim a_n


La transitività: a_n\sim b_n\wedge b_n\sim c_n\implies a_n\sim c_n

 

La dimostrazione di queste proprietà non è difficile, ti invito a provarle da solo/sola, se hai difficoltà, c'è il forum! Chiedi e ti aiuteremo! :D

 

Una domanda che viene spesso posta ad un esame orale è: cosa possiamo dire sui limiti \lim_{n\to +\infty}a_n e \lim_{n\to +\infty}b_n se il limite del quoziente è 1? 

 

Possono verificarsi due possibilità:

 

1) (a_n)_{n}, (b_n)_{n} hanno lo stesso limite (finito o infinito)

 

2) Entrambe le successioni non ammettono limite, come illustra il seguente esempio:

 

(a_n)_n= ((-1)^n n)_n\qquad (b_n)_n=((-1)^n n)_n

 

I limiti delle successioni non esistono (perché?) ma il limite del quoziente è banalmente 1.

  

L'importanza e la forza di questa classe di successioni si evincono dal seguente risultato.

 

Principio di sostituzione degli infiniti/infinitesimi

 

Siano (a_n)_{n}, (a_n')_{n}, (b_n)_{n}, (b'_n)_{n}, (c_n)_{n}, (c_n')_{n} sei successioni reali tali che:

 

a_n\sim a_n'\quad b_n\sim b_n'\quad c_n\sim c_n'

  

allora:

  

\lim_{n\to \infty}\frac{a_n b_n}{c_n}= \lim_{n\to \infty}\frac{a'_n b'_n}{c'_n}

 

Commenti e osservazioni sul principio


Questo teorema ha ripercussioni incredibili nel calcolo dei limiti di successioni, ci indica la strada maestra per la risoluzione dei limiti tramite l'esemplificazione dell'espressioni presenti in essi. Prima di fare esempi che chiariranno la potenza di questo mezzo, scriviamo alcune stime asintotiche più famose derivanti dai limiti notevoli di successioni.

 

Sia \lim_{n\to \infty}a_n=0 allora:

 

1) \sin(a_n)\sim a_n

  

2) 1-\cos(a_n)\sim \frac{a_n^2}{2}

  

3) \tan(a_n)\sim a_n

  

4) e^{a_n}-1\sim a_n

  

5) \ln(1+a_n)\sim a_n

  

6) \arctan(a_n)\sim a_n

  

7) \sinh(a_n)\sim a_n

  

8) \cosh(a_n)-1\sim\frac{a_n^2}{2}

  

9) \alpha^{a_n}-1\sim \ln(\alpha)a_n\quad\forall \alpha\textgreater 0

  

Se invece \lim_{n\to \infty}a_n= +\infty allora:

  

10) n!\sim \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n (formula di Stirling)

  

11) \arctan(a_n)\sim \frac{\pi}{2}-\arctan\left(\frac{1}{a_n}\right)\sim \frac{\pi}{2}- \frac{1}{a_n}

 

Grazie a questa tabella riuscirai a risolvere moltissimi limiti che all'apparenza sembrano impossibili!

 

Esempi sulle successioni asintotiche

 

Adesso vedremo la potenza di questo criterio! Rimarrai a bocca aperta per quello che faremo! :) Vogliamo calcolare il limite:

  

\lim_{n\to \infty}\frac{n!\sin\left(\frac{e^n}{n^n}\right)\left(1-\cos\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right)\right)}{\sqrt{n}\left(e^{\frac{1}{n}}-1\right)}

  

Grazie alle stime asintotiche abbiamo:

  

n!\sim\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n (approssimazione di Stirling)

  

\sin\left(\frac{e^n}{n^n}\right)\sim \frac{e^n}{n^n} (nota che \lim_{n\to \infty}\frac{e^n}{n^n}=0)

  

1-\cos\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right)\sim \frac{1}{2n} (infatti \lim_{n\to \infty}\frac{1}{\sqrt{n}}=0)

  

e^{\frac{1}{n}}-1\sim \frac{1}{n} (osserva che \lim_{n\to \infty}\frac{1}{n}=0)

  

Applichiamo nel limite le stime asintotiche, ottenendo:

  

\lim_{n\to \infty}\frac{\sqrt{2\pi n}\frac{n^n}{e^n}\frac{e^n}{n^n}\frac{1}{2n}}{\sqrt{n}\frac{1}{n}}

  

Semplificando in modo opportuno:

  

\lim_{n\to \infty}\frac{\sqrt{2\pi }}{2}= \sqrt{\frac{\pi}{2}}

  

Per il principio di sostituzione degli infinitesimi/infiniti abbiamo:

  

\lim_{n\to \infty}\frac{n!\sin\left(\frac{e^n}{n^n}\right)\left(1-\cos\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right)\right)}{\sqrt{n}\left(e^{\frac{1}{n}}-1\right)}= \sqrt{\frac{\pi}{2}}

  

Abbiamo finito! Hai notato? Abbiamo risolto un limite difficilissimo all'appararenza e tutto questo grazie al principio. Attenzione però, se non conosci i limiti fondamentali/notevoli rischi di utilizzare malamente le stime cadendo quindi in errori grossolani!

 

 


 

Ok, abbiamo visto un nuovo utilissimo metodo per il calcolo dei limiti di successioni. E adesso? Undecided Nella prossima lezione lo estenderemo introducendo un'infinità di equivalenze asintotiche...ma non vogliamo rovinarti la sorpresa! Wink

 

Ifrit

 

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