Confronto tra infinitesimi per successioni

Abbiamo visto come confrontare due successioni infinite nella lezione precedente, abbiamo parlato di velocità di divergenza e di ordini di infinito di una successione. In questa lezione parleremo di successioni infinitesime, impareremo a confrontarle tra loro e, grazie ai limiti notevoli per le successioni, muoveremo i primi passi nel calcolo dell'ordine di infinitesimo. Ovviamente non è una lezione fine a sé stessa, tutto questo ci tornerà utile nella risoluzione di limiti molto elaborati.

 

Se ancora non l'avessi fatto, ti consigliamo di dare un'occhiata alla lezione che tratta lo stesso argomento nel caso delle funzioni: confronto tra infinitesimi.

 

Confronto tra infinitesimi di successioni

 

Consideriamo le due successioni infinitesime,

 

\left(\frac{1}{n}\right)_{n\in\mathbb{N}} e \left(\frac{1}{n^2}\right)_{n\in\mathbb{N}} 

 

la successione \left(\frac{1}{n^2}\right)_{n\in\mathbb{N}} converge più velocemente a zero rispetto ad \left(\frac{1}{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}.

 

Come nel caso delle successioni infinite, il concetto di velocità di convergenza viene assimilato dall'ordine di convergenza a zero.

 

Definizione (infinitesimo di ordine superiore)

 

Siano (a_n)_{n}, (b_n)_{n} due successioni tali che:

 

\lim_{n\to \infty}a_n=0\quad \lim_{n\to \infty}b_n=0

 

Diremo che (a_n)_n è un infinitesimo di ordine superiore rispetto a (b_n)_n se e solo se:

 

\lim_{n\to \infty}\frac{a_n}{b_n}= 0\mbox{ o equivalentemente }\lim_{n\to \infty}\frac{b_n}{a_n}= \infty

 

Esempi di successioni infinitesime

 

1) Prendiamo in esame le successioni che abbiamo considerato all'inizio di questa lezione:

 

\lim_{n\to \infty}\frac{\frac{1}{n}}{\frac{1}{n^2}}= \lim_{n\to \infty}\frac{n^2}{n}= \lim_{n\to \infty}n=+\infty

 

e per la definizione che abbiamo dato:

 

\left(\frac{1}{n^2}\right) è un infinitesimo di ordine superiore rispetto a \left(\frac{1}{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}

 

2) La successione \left(\frac{1}{e^n}\right)_{n\in\mathbb{N}} è una successione infinitesima di ordine superiore rispetto a \left(\frac{1}{n^{\alpha}}\right)_{n\in\mathbb{N}}\quad\forall \alpha\textgreater 0 infatti:

 

\lim_{n\to \infty}\frac{\frac{1}{e^{n}}}{\frac{1}{n^{\alpha}}}=\lim_{n\to \infty}\frac{n^{\alpha}}{e^n}=\mbox{limite notevole}= 0

 

3) \left(\frac{1}{n!}\right)_{n\in\mathbb{N}} è un infinitesimo di ordine superiore rispetto a \left(\frac{1}{e^{n}}\right)

 

Infatti:

 

\lim_{n\to \infty}\frac{\frac{1}{n!}}{\frac{1}{e^n}}=\lim_{n\to \infty}\frac{e^n}{n!}=\mbox{limite notevole}=0

 

 


 

 

Il limite del quoziente di due successioni infinitesime non è necessariamente infinito o zero, ma può assumere un numero reale diverso da zero. In tal caso le successioni convergono a zero con la stessa velocità di convergenza. Questa classe di successioni ricopre un ruolo determinante non soltanto nel calcolo esplicito dei limiti ma anche nello studio delle serie numeriche e delle serie di funzioni. 

 

Definizione (infinitesimi dello stesso ordine)

  

Due successioni infinitesime (a_n)_ {n},\,\, (b_n)_{n} hanno lo stesso ordine di convergenza, o stesso ordine di infinitesimo, se

  

\lim_{n\to \infty}\frac{a_n}{b_n}= \ell\in \mathbb{R}\setminus\{0\}

 

La tabella dei limiti notevoli fornisce degli esempi di successioni di successioni che convergono a zero con la stessa velocità di convergenza.

 

1) \left(e^{\frac{1}{n}}-1\right)_{n} e \left(\frac{1}{n}\right)_n hanno lo stesso ordine di convergenza:

 

\lim_{n\to \infty}\frac{e^{\frac{1}{n}}-1}{\frac{1}{n}}=1

 

In questo caso è intervenuto il limite notevole:

 

\lim_{n\to \infty}\frac{e^{a_n}-1}{a_n}=1\quad\mbox{con }\lim_{n\to \infty}a_n=0

 

2) Sempre grazie ai limiti notevoli è possibile dimostrare che le successioni:

 

\left(1-\cos\left(\frac{1}{n}\right)\right)_{n\in\mathbb{N}}\mbox{ e } \left(\frac{1}{n^2}\right)_{n\in\mathbb{N}}

 

sono successioni dello stesso ordine di convergenza.

 

3) \sin\left(\frac{1}{n}\right) e \frac{1}{n} hanno lo stesso ordine di convergenza.

 

 


 

 

Osservazione importante

 

C'è la possibilità che il limite del quoziente di due successioni non esista, in tal caso diremo che le successioni non sono confrontabili. Le seguenti successioni, ad esempio:

 

\left(\frac{1}{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}\mbox{ e }\left(\frac{(-1)^n}{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}

 

non sono confrontabili perché:

 

\lim_{n\to \infty}\frac{\frac{1}{n}}{\frac{(-1)^n}{n}}=\lim_{n\to \infty}(-1)^n=\nexists

 

 


 

È tutto! :) Nella prossima lezione ci occuperemo del teorema del confronto per le successioni. Dubbi? Domande? Puoi trovare tutto quello che ti serve con la barra di ricerca interna, e in caso di necessità aprire un topic nel Forum.

 

Ifrit

 

Lezione precedente..........Lezione successiva


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