Confronto tra infiniti per successioni

Ecco un altro argomento caldo sui limiti di successioni, che nonostante non sia complicato crea il panico in molti studenti: il confronto tra infiniti per le successioni. Precediamo con calma, ma prima devi assolutamente rileggere la lezione che riguarda i limiti notevoli per le successioni, perché potremmo trarre conclusioni importanti grazie ad essi.

 

Nota bene: raccomandiamo anche la lettura dell'articolo cugino che tratta lo stesso argomento nel caso delle funzioni - confronto tra infiniti.

 

Piccolo preambolo

 

Lo studio degli ordini di infinito, di infinitesimo, e delle stime asintotiche è la chiave di volta per la risoluzione di limiti elaborati. Essi permettono di semplificare notevolmente i conti e se riuscirai a prendere confidenza con questi mezzi, oltre a trovare grandissima soddisfazione, risolverai in un batter di ciglia limiti dall'aspetto mostruoso! :)  Ci verranno in soccorso principalmente quando avremo a che fare con le forme di indecisione \left[\frac{\infty}{\infty}\right] e \left[\frac{0}{0}\right] o a forme di indecisione per successioni riconducibili ad esse.

 

Confronto tra infiniti di successioni

 

In questo paragrafo parleremo di successioni divergenti in particolare daremo un criterio con il quale potremo confrontare la velocità di divergenza di due successioni. Cosa si intende con velocità di divergenza?

 

Supponiamo che i limiti di due successioni valgano infinito: non è detto in generale che esse divergano allo stesso modo.

 

Ad esempio, le successioni con termine generale a_n=n e b_n=n^2 vanno sì entrambe ad infinito ma in modo diverso e graficamente questo è evidente. La prima arriva blandamente ad infinito, la seconda invece è molto più...audace! Laughing

 

Come formalizziamo questo discorso? Introduciamo il concetto di ordine, o ancora più precisamente infinito di ordine superiore.

 

Definizione (infinito di ordine superiore)

 

Siano (a_n)_{n\in\mathbb{N}}, (b_n)_{n\in\mathbb{N}} due successioni divergenti, cioè:

 

\lim_{n\to \infty}a_n= \infty,\quad \lim_{n\to \infty}b_n=\infty

 

Diremo che (a_n)_{n\in\mathbb{N}} è un infinito di ordine superiore (diverge più velocemente  ) rispetto a (b_n)_{n\in\mathbb{N}} se e solo se:

 

\lim_{n\to \infty}\frac{a_n}{b_n}=\infty

 

o equivalentemente se:

 

\lim_{n\to \infty}\frac{b_n}{a_n}= 0

 

Simmetricamente possiamo asserire che (b_n)_{n\in\mathbb{N}} è un infinito di ordine inferiore rispetto alla successione (a_n)_{n\in\mathbb{N}}

 

Nota bene: per dire quale tra due successioni diverge più velocemente è necessario risolvere un limite!

 

Esempi sugli infiniti di successioni

 

1) Abbiamo intuitivamente affermato che (n)_{n\in\mathbb{N}} è un infinito di ordine inferiore rispetto a (n^2)_{n\in\mathbb{N}}. Verifichiamolo con la definizione appena data:

 

\lim_{n\to \infty}\frac{n^2}{n}= \lim_{n\to \infty}n=+\infty

 

Confermando le nostre considerazioni iniziali. Wink

 

2) Proviamo a confrontare le successioni:

 

(n^3+1)_{n\in\mathbb{N}}, (n^2)_{n\in\mathbb{N}}

 

Dobbiamo calcolare il limite:

 

\lim_{n\to \infty}\frac{n^3+1}{n^2}= \lim_{n\to \infty}\frac{n^3}{n^2}+\frac{1}{n^2}=\lim_{n\to \infty}n +\lim_{n\to \infty}\frac{1}{n^2}= +\infty

 

Ciò dimostra che la successione (n^3+1)_{n\in\mathbb{N}} è un infinito di ordine superiore rispetto a (n^2)_{n\in\mathbb{N}}

 

3) La successione (e^n)_{n\in\mathbb{N}} è un infinito di ordine superiore rispetto a (n^{50})_{n\in\mathbb{N}} infatti dal limite fondamentale:

 

\lim_{n\to \infty}\frac{n^{\alpha}}{e^{n}}=0

 

si ha che 

 

\lim_{n\to \infty}\frac{n^{50}}{e^n}= 0

 

 


 

 

Grazie ai limiti notevoli possiamo costruire una sorta di classifica in cui riportiamo le successioni più famose dalla più lenta alla più veloce:

 

\ln(n^\alpha)<< n^{\beta}<< n^{\gamma}<< a^n<< b^n<< n!<< n^n

 

Dove \alpha\textgreater 0,\,\, 0\textless\beta\textless\gamma,\,\,1\textless a\textless b 

 

Ovviamente, non è umanamente possibile riportare tutti i casi possibili, ma aiuta molto!

 

Facciamo un esempio non contemplato nella precedente graduatoria: vogliamo confrontare le successioni i cui termini generali sono: \ln(2^{n^2}) e n. Studiamo il limite:

 

\lim_{n\to \infty}\frac{\ln(2^{n^2})}{n}=

 

grazie ad una nota proprietà dei logaritmi:

 

=\lim_{n\to \infty}\frac{n^2\ln(2)}{n}=

 

semplificando n:

 

\lim_{n\to \infty}n\ln(2)=+\infty

 

Abbiamo mostrato che \ln(2^{n^2})\textgreater\textgreater n

 

 


 

 

Finora abbiamo preso in esame solo il caso in cui il limite del quoziente di due successioni è più infinito o zero. Tale limite però può essere anche un numero reale non nullo. In questo caso diremo che le successioni sono infiniti dello stesso ordine pertanto esse divergono all'infinito con la stessa velocità.

 

Definizione (infiniti dello stesso ordine)

 

Due successioni (a_n)_{n\in\mathbb{N}}, (b_n)_{n\in\mathbb{N}} divergenti, ovvero tali che:

 

\lim_{n\to \infty}a_n=\infty,\quad \lim_{n\to \infty}b_n=\infty

 

sono infiniti dello stesso ordine se e solo se:

 

\lim_{n\to \infty}\frac{a_n}{b_n}= \ell\ne 0

 

dove \ell è un numero reale diverso da zero.

 

Esempi di infiniti dello stesso ordine

 

1) Le successioni (n^2)_{n\in\mathbb{N}},\ (\ln(2^{n^2}))_{n\in\mathbb{N}} sono infiniti dello stesso ordine infatti:

 

\lim_{n\to \infty}\frac{n^2}{\ln(2^{n^2})}= \lim_{n\to\infty}\frac{n^2}{n^2\ln(2)}=\frac{1}{\ln(2)}

 

2) Esempio importante

 

Le successioni (n!)_{n\in\mathbb{N}},\ \left(\sqrt{n}\left(\frac{n}{e}\right)^n\right)_{n\in\mathbb{N}} sono infiniti dello stesso ordine, infatti:

 

\lim_{n\to \infty}\frac{n!}{\sqrt{n}\left(\frac{n}{e}\right)^n}= \sqrt{2\pi}

 

Questo limite deriva dalla formula di Stirling, che volendo puoi approfondire nel problema risolto del link.

 

 


 

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Ifrit

 

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