Limiti notevoli di successioni

Grazie al teorema ponte, di cui abbiamo parlato nella lezione sulle forme di indecisione per le successioni, tutti i limiti notevoli che valgono per le funzioni reali sono validi per il calcolo dei limiti di successioni, sotto opportune ipotesi naturalmente. E' fondamentale conoscerli perché ti faciliteranno non di poco nel calcolo di limiti complicati. Sottovalutare la loro importanza sarebbe un gravissimo errore!

 

Ti ho convinto? Se sì, non te ne pentirai!

 

Limiti fondamentali di successioni

 

Prima di occuparci dei limiti notevoli per le successioni, partiremo con i limiti fondamentali, dovresti aver già familiarità con i risultati che seguono, perché incontrati nel caso delle funzioni.

 

 

\lim_{n\to \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=e

 

\lim_{n\to \infty}a^n=\begin{cases}+\infty&\mbox{ se }a\textgreater 1\\ 1 &\mbox{ se }a=1\\0&\mbox{ se } -1\textless a\textless 1\\ \mbox{non esiste }&\mbox{ se } a\le -1\end{cases}

 

\lim_{n\to \infty} a^{\frac{1}{n}}=  1\quad\forall a\textgreater 0

 

\lim_{n\to \infty}\sqrt[n]{n}=1

 

\lim_{n\to \infty}\log_{a}(n)=\begin{cases}-\infty&\mbox{ se }0\textless a\textless 1\\+\infty &\mbox{ se } a\textgreater 1 \end{cases}

 

\lim_{n\to \infty}\frac{n^{\alpha}}{e^{n}}= 0^+\qquad\forall \alpha\in\mathbb{R}

 

\lim_{n\to \infty}\frac{\ln(n)}{n^{\alpha}}= \begin{cases}0&\mbox{ se }\alpha\textgreater 0\\ +\infty &\mbox{ se } \alpha\le 0\end{cases}

 

\lim_{n\to \infty}\frac{n^{\alpha}}{n!}=0\quad \forall \alpha\in\mathbb{R}

 

\lim_{n\to \infty}\frac{n^{\alpha}}{n^n}=0\quad \forall \alpha \in \mathbb{R}

 

\lim_{n\to \infty}\frac{\ln(n)}{e^n}=0

 

\lim_{n\to \infty}\frac{\ln(n)}{n!}=0

 

\lim_{n\to \infty}\frac{\ln(n)}{n^n}=0

 

\lim_{n\to \infty}\frac{e^n}{n!}=0

 

\lim_{n\to \infty}\frac{e^n}{n^n}=0

 

\lim_{n\to \infty}\frac{n!}{n^n}= 0

 

Limiti notevoli di successioni

 

Dopo aver elencato i limiti fondamentali da ricordare, passeremo ora alla scrittura dei limiti notevoli. 

 

Se (a_n)_{n\in\mathbb{N}} è una successione infinitesima, cioè se \lim_{n\to \infty}a_n=0 allora valgono i seguenti limiti:

 

\lim_{n\to \infty}\frac{\sin(a_n)}{a_n}=1

 

\lim_{n\to \infty}\frac{\ln(1+a_n)}{a_n}=1

 

\lim_{n\to \infty}\frac{\log_a(1+a_n)}{a_n}= \frac{1}{\ln(a)}\quad \forall a\textgreater 0, a\ne 1

 

\lim_{n\to \infty}\frac{e^{a_n}-1}{a_n}= 1

 

\lim_{n\to \infty}\frac{\alpha^{a_n}-1}{a_n}= \ln(\alpha)\quad\forall \alpha\textgreater 0

 

\lim_{n\to \infty}\frac{(1+a_n)^\alpha-1}{a_n}=\alpha\quad\forall \alpha\in\mathbb{R}

 

\lim_{n\to \infty}\frac{1-\cos(a_n)}{(a_n)^2}=\frac{1}{2}

 

\lim_{n\to \infty}\frac{\tan(a_n)}{a_n}=1

 

\lim_{n\to \infty}\frac{\arcsin(a_n)}{a_n}=1

 

\lim_{n\to \infty}\frac{\arctan(a_n)}{a_n}=1

 

\lim_{n\to \infty}\frac{\mbox{sinh(a_n)}}{a_n}=1

 

\lim_{n\to \infty}\frac{\mbox{cosh}(a_n)-1}{(a_n)^2}=\frac{1}{2}

 

\lim_{n\to \infty}\frac{\mbox{tanh}(a_n)}{a_n}=1

 

 


 

È tutto! Più che una lezione, un rapido elenco: ti suggeriamo di leggere la lezione sui limiti notevoli dedicata ai limiti di funzioni reali, divisa in due parti, in cui viene spiegato come e quando applicarli. :)

 

Ifrit

 

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