Forme di indecisione per successioni

Abbiamo studiato l'algebra dei limiti di successioni e l'algebra degli infiniti e degli infinitesimi per le successioni. Essi ci forniscono i primi strumenti per affrontare lo studio dei limiti di successioni, ma ci sono casi per i quali è necessario approfondire la questione. Consideriamo ad esempio

 

\lim_{n\to \infty} \sqrt{n^2+1}-n

 

In una prima analisi, affermiamo che il limite è della forma [+\infty-\infty], ma quale valore dobbiamo attribuire a tale "simbologia"? Proviamo a risolvere il limite con una razionalizzazione "al contrario"

 

\begin{align*} \lim_{n\to \infty}\sqrt{n^2+1}-n&= \lim_{n\to \infty}\frac{(\sqrt{n^2+1}-n)(\sqrt{n^2+1}+n)}{\sqrt{n^2+1}+n}=\\ &=\lim_{n\to \infty}\frac{1}{\sqrt{n^2+1}+n}=\left[\frac{1}{+\infty}\right]=0\end{align*}

 

 

Potremmo (erroneamente) pensare di associare al simbolo [+\infty-\infty] il valore 0, ma purtroppo non è così. Il seguente esempio annienterà le nostre prime impressioni.

 

\lim_{n\to \infty}n^2-n

 

Siamo di fronte al caso: [+\infty-\infty], l'esperienza pregressa ci induce a pensare che esso valga zero. Se però mettiamo in evidenza n^2 avremo:

 

\begin{align*}\lim_{n\to \infty}n^2-n&=\lim_{n\to \infty}n^2\left(1-\frac{1}{n}\right)\\ &=[+\infty\cdot 1]=+\infty\end{align*}

 

Nonostante i due limiti si presentino nella forma [+\infty-\infty], abbiamo due diversi risultati. Non potendo dare a priori un valore al simbolo [+\infty-\infty] diremo che questa è una forma di indecisione o forma indeterminata. Di seguito riportiamo i simboli che stanno ad indicare i casi che necessitano uno studio più approfondito:

 

[+\infty-\infty],\,\,\left[\frac{\infty}{\infty}\right],\,\,\left[\frac{0}{0}\right],\,\, \left[1^{\infty}\right],\,\, \left[0^0\right],\,\,\left[\infty^{0}\right],\,\,\left[0\cdot\infty]

 

Ci chiediamo quale siano i modi per risolvere queste forme di indecisione, e a questo proposito la risposta è pronta e servita: i metodi di risoluzione sono del tutto analoghi a quelli visti nel caso delle funzioni, dunque vi invitiamo a dare un'occhiata alla lezione sui metodi di risoluzione delle forme di indecisione. La lezione del link è riferita ai limiti di funzioni reali, che comunque presenta strategie valide anche nel caso delle successioni.

 

Naturalmente, bisogna avere abilità algebriche per risolvere i limiti, e tale capacità si acquisisce solo con l'esercizio costante. Non scoraggiarti alle prime avversità, inizia in modo graduale, partendo dai limiti più semplici e via via risolvendone sempre di più elaborati. Con pazienza pachidermica ed insistenza riuscirai a risolvere limiti che prima ti sembravano impossibili.

 

A questo punto potresti pensare che la lezione si concluda qui. E invece no Wink perché c'è un aspetto importantissimo di cui dobbiamo parlare...

 

Il teorema ponte

 

L'occhio attento avrà notato che tra i metodi di risoluzione delle forme di indecisione nel caso delle funzioni c'è un mezzo molto potente: la regola di De l'Hopital.

 

Che problemi ci sono nell'utilizzo del metodo del Marchese? Se ne rileggi attentamente le ipotesi, ti renderai conto che abbiamo a che fare con funzioni reali, in cui x è una "variabile continua", che "vive" in un sottoinsieme di numeri reali, nelle successioni invece la variabile n è discreta e vive in un sottoinsieme illimitato di \mathbb{N}.  Inoltre interviene la derivata di una funzione reale, concetto  che non è definito per le successioni. Sotto opportune ipotesi è  però possibile aggirare questi ostacoli, sussiste infatti il teorema ponte o teorema di collegamento.

 

Vediamone l'enunciato: siano

 

1) f:I\subseteq\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R} una funzione reale

 

2) x_0\in \bar{A}

 

3) \ell\in\mathbb{R}\cup\left\{-\infty, +\infty\right\}

 

Diremo che:

 

\lim_{x\to x_0} f(x)=\ell  

 

se e solo se per ogni successione reale (x_n)_{n\in\mathbb{N}} tale che

 

4) x_n\in I\quad \forall n\in\mathbb{N} 

 

5) x_n\ne x_0\quad \forall n\in\mathbb{N} 

 

6) \lim_{n\to \infty}x_n= x_0

 

si ha che:

 

\lim_{n\to \infty}f(x_n)= \ell

 

La dimostrazione di tale teorema verrà omessa in questa sede, ma se ti serve ne abbiamo parlato qui: teorema ponte - click!.

 

 

Sostanzialmente questo teorema crea un collegamento (da qui il nome) tra i limiti di funzioni ed i limiti di successioni ed ha notevoli implicazioni, tra queste troviamo quella che ci serve...

 

Supponiamo di avere una successione (a_n)_{n\in\mathbb{N}}=\left(\frac{f(n)}{g(n)}\right)_{n\in\mathbb{N}}  dove f:[0,+\infty)\longrightarrow\mathbb{R},\,\, g:[0,+\infty)\longrightarrow\mathbb{R} , supponiamo inoltre di voler calcolare il limite:

 

\lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to \infty}\frac{f(n)}{g(n)}

 

grazie al suddetto teorema abbiamo l'uguaglianza tra i seguenti limiti:

  

\lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to \infty}\frac{f(n)}{g(n)}=\lim_{x\to \infty}\frac{f(x)}{g(x)}

  

invece di studiare il limite della successione, potremo passare al limite di funzione:

 

\lim_{x\to \infty} \frac{f(x)}{g(x)}

 

per cui è possibile utilizzare la regola di De l'Hopital, sempre se le ipotesi del Marchese sono rispettate.

 

Nota importante: molti professori universitari bandiscono l'utilizzo di De l'Hopital per le successioni (e sinceramente... anch'io). Utilizzatelo con estrema cautela, ok?. :)

 

 


 

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