Infiniti e infinitesimi per successioni

Nella precedente lezione abbiamo trattato l'algebra dei limiti di successioni nel contesto dei limiti finiti, in questa lezione prenderemo in esame l'Algebra di infiniti e infinitesimi di successioni, dove con infinitesimo intendiamo una successione convergente a zero mentre con infinito intendiamo una successione divergente. In caso di dubbi preliminari, ti consigliamo di dare uno sguardo alle definizioni di successione convergente e successione divergente.

 

Le dimostrazioni non verranno riportate, sarebbe opportuno che tu provassi da solo ad effettuarne almeno una per conto tuo. Se non dovessi riuscirci, puoi chiedere chiarimenti nel forum di YouMath! Saremo lieti di aiutarti...Laughing

 

Algebra degli infiniti e degli infinitesimi di successioni

 

Ecco la tabella che riporta tutte le principali regole dell'Algebra di infiniti e infinitesimi di successioni.

 

(c>0)\cdot(+\infty)=(+\infty) (c>0)\cdot(-\infty)=(-\infty)

(c<0)\cdot(+\infty)=(-\infty)

(c<0)\cdot(-\infty)=(+\infty)

(+\infty)\cdot(+\infty)=(+\infty) (+\infty)\cdot(-\infty)=(-\infty)

(-\infty)\cdot(+\infty)=(-\infty)

(-\infty)\cdot(-\infty)=(+\infty)

\frac{c>0}{+\infty}=0^{+} \frac{c>0}{-\infty}=0^{-}

\frac{c<0}{+\infty}=0^{-}

\frac{c<0}{-\infty}=0^{+}

\frac{+\infty}{c>0}=+\infty \frac{-\infty}{c>0}=-\infty

\frac{+\infty}{c<0}=-\infty

\frac{-\infty}{c<0}=+\infty

\frac{0^{+}}{+\infty}=0^{+} \frac{0^{-}}{+\infty}=0^{-}

\frac{0^{+}}{-\infty}=0^{-}

\frac{0^{-}}{-\infty}=0^{+}

\frac{+\infty}{0^{+}}=+\infty \frac{-\infty}{0^{+}}=-\infty

\frac{+\infty}{0^{-}}=-\infty

\frac{-\infty}{0^{-}}=+\infty

(+\infty)^{(+\infty)}=+\infty (+\infty)^{(-\infty)}=0^{+}

(+\infty)^{k}=+\infty

\forall k>0\mbox{ fissato}

(+\infty)^{k}=0

\forall k<0\mbox{ fissato}

(-\infty)^{k}=+\infty

\forall k>0\mbox{ pari e fissato}

(-\infty)^{k}=-\infty

\forall k>0\mbox{ dispari e fissato}

(-\infty)^{k}=0^+

\forall k<0\mbox{ pari e fissato}

(-\infty)^{k}=0^-

\forall k<0\mbox{ dispari e fissato}

\sqrt[k]{(+\infty)}=+\infty

\forall k>0\mbox{ intero e fissato}

\sqrt[k]{(-\infty)}=-\infty

\forall k\mbox{ intero dispari e fissato}

 

 

Probabilmente avrai già visto questa tabella da qualche parte... ma dove? Laughing Effettivamente l'ho copiata e incollata dall'Algebra di infiniti e infinitesimi (quella relativa ai limiti di funzioni) che è stata presentata nel contesto delle funzioni e che vale in modo del tutto analogo anche per le successioni!

 

Attenzione: tutti i limiti che non sono state contemplati nella tabella precedente richiedono uno studio più approfondito, vengono chiamati limiti con forme di indecisione, o forme indeterminata. A causa della loro importanza, la loro trattazione verrà affrontata in una lezione a parte.

 

Esempi sull'Algebra degli infiniti e degli infinitesimi per successioni

 

1) \lim_{n\to \infty}\frac{-n^2}{e^{-n}}=\left[\frac{-\infty}{0^+}\right]

 

Dalla tabella abbiamo che \frac{-\infty}{0^{+}}= -\infty, conseguentemente:

 

\lim_{n\to \infty}\frac{-n^2}{e^{-n}}=-\infty

  

2) \lim_{n\to \infty}\frac{-2}{n^2}=\left[\frac{-2}{+\infty}\right]

 

Ricadiamo nel caso \frac{c\textless 0}{+\infty}=0^- pertanto:

 

\lim_{n\to \infty}\frac{-2}{n^2}=0^-

  

3)  \lim_{n\to \infty} -n^2\cdot e^{n}= [-\infty\cdot +\infty]= -\infty

 

Ifrit

 

Lezione precedente..........Esercizi correlati..........Lezione successiva


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