Algebra dei limiti di successioni

In questa lezione continueremo a parlare delle proprietà fondamentale dei limiti di successioni, in particolare ci occuperemo dell'algebra dei limiti di successioni ed enunceremo e dimostreremo i teoremi sul limite del prodotto e sul limite del quoziente di successioni con limiti finiti, che giocano un ruolo importante nella risoluzione degli esercizi.

 

Nota bene: la lezione gemella che tratta il medesimo argomento nel caso dei limiti di funzioni la trovi qui → Algebra dei limiti

 

Teoremi sul calcolo dei limiti di successioni

 

Teorema sul limite della somma

 

Date due successioni reali, (a_n)_n e (b_n)_n, tali che 

 

1. \lim_{n\to \infty}a_n=a

 

2. \lim_{n\to \infty}b_n= b

 

con a, b numeri reali, si ha che:

 

\lim_{n\to \infty}a_n+ b_n= a+ b

 

Dimostrazione

 

Per definizione di limite di successione, fissato \varepsilon\,\,\textgreater 0

 

- esiste n_1\in\mathbb{N} tale che |a_n- a|\,\textless \frac{\varepsilon}{2}\quad(\clubsuit)

 

- esiste n_2\in \mathbb{N} tale che |b_n-b|\,\textless \frac{\varepsilon}{2}\quad (\spadesuit)

 

Sia ora \nu=\max\left\{n_1, n_2\right} allora:

 

|a_n+b_n- (a+b)|= |a_n-a+b_n-b|\le_{(1.1)} |a_n- a|+ |b_n-b|\le_{(1.2)} \frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}= \varepsilon

 

e questo per ogni n\,\textgreater \nu.

 

In (1.1) abbiamo utilizzato la celeberrima disuguaglianza triangolare e in (1.2) le relazioni determinate (\clubsuit) e  (\spadesuit)

 

Un ulteriore teorema di cui non riportiamo la dimostrazione è il seguente.

 

Teorema sul limite del prodotto tra una successione e uno scalare

 

Sia (a_n)_n una successione di numeri reali convergente ad a\in\mathbb{R}, e sia \alpha un numero reale qualsiasi. Allora:

 

\lim_{n\to \infty} \alpha a_n= \alpha a

 

e questo non è altro che un caso particolare del...

 

 

Teorema sul limite del prodotto

  

Siano (a_n)_{n\in\mathbb{N}}, (b_n)_{n\in\mathbb{N}} due successioni reali tali che:

 

1) \lim_{n\to \infty}a_n=a

 

2) \lim_{n\to \infty}b_n=b

 

con a, b numeri reali, allora:

 

\lim_{n\to \infty}a_n b_n=a b 

 

Dimostrazione


Per ipotesi sappiamo che la successione (a_n)_{n\in \mathbb{N}} è convergente, essa è quindi una successione limitata, cioè esiste una costante reale positiva M tale che:

 

|a_n|\le M\quad \forall n\in\mathbb{N} 

 

Fissiamo \varepsilon\textgreater 0, la quantità:

  

\begin{align*} |a_n b_n -a b|&= |a_n b_n -a_n b+ a_n b-a b|= \quad \mbox{(abbiamo sommato e sottratto }a_n b )\\ &=|a_n (b_n-b)+ b(a_n-a)|\le \quad \mbox{ (proprietà del modulo)}\\ &\le |a_n||b_n-b|+|b||a_n-a|\end{align*}

  

Poniamo N=\max(M, |b|+1) allora:

   

|a_n||b_n-b|+ |b||a_n-a|\le N |b_n-b|+N|a_n-a|= N\left(|b_n-b|+|a_n-a|\right)

  

Le successioni (a_n)_{n}, (b_n)_n sono convergenti, pertanto per l'\varepsilon fissato in precedenza:

 

(1)\qquad \exists n_1\in\mathbb{N}\mbox{ tale che }\forall n\textgreater n_1\mbox{ vale }|a_n-a|\textless \frac{\varepsilon}{2 N}

  

(2)\qquad \exists n_2\in\mathbb{N}\mbox{ tale che }\forall n\textgreater n_2\mbox{ vale }|b_n-b|\textless \frac{\varepsilon}{2 N}

  

Definito n_{\varepsilon}=\max(n_1, n_2) segue che \forall n\textgreater n_{\varepsilon}

  

N\left(|b_n-b|+|a_n-a|\right)\textless_{(1)\mbox{ e }(2)}  N\left(\frac{\varepsilon}{2N}+ \frac{\varepsilon}{2N}\right)=\varepsilon

  

Seguendo le disuguaglianze precedenti otteniamo che:

  

\forall\varepsilon\textgreater 0\,\, \exists n_{\varepsilon}\in\mathbb{N}\mbox{ tale che }\forall n\textgreater n_\varepsilon\mbox{ si ha che } |a_n b_n-a b|\textless\varepsilon

 

quindi per definizione di limite: 

 

\lim_{n\to \infty}a_n b_n=ab

 

La dimostrazione è conclusa! Mi rendo conto che può sembrare difficile, ma è importante conoscerla, essa deve far parte del bagaglio culturale di un qualsiasi studente di SMFN. Laughing

 

 

Teorema sul limite del reciproco

 

Sia (a_n)_{n\in\mathbb{N}} una successione reale tale che

 

1) a_n\ne 0\quad\forall n\in\mathbb{N} 


2) \lim_{n\to \infty}a_n= a\quad\quad a\in\mathbb{R}\setminus\{0\}\quad\mbox{ numero reale diverso da zero}

 

allora la successione \left(\frac{1}{a_n}\right)_{n\in\mathbb{N}} converge ad \frac{1}{a}:

 

\lim_{n\to \infty}\frac{1}{a_n}= \frac{1}{a}

 

La dimostrazione di questo teorema è leggermente più elaborata delle precedenti, bisogna stare attenti e non scoraggiarsi alla prima lettura Laughing e poi... Esiste sempre il forum per maggiori chiarimenti! Wink


Dimostrazione

 

Per ipotesi sappiamo che la successione (a_n)_n converge ad a

 

\forall\varepsilon\textgreater 0,\,\,\exists n_{\varepsilon}\in \mathbb{N}\mbox{ tale che }\forall n\textgreater n_{\varepsilon}\mbox{ se }|a_n-a|\textless \varepsilon

 

Per 0\textless \varepsilon\textless \frac{|a|}{2} e per n\textgreater n_{\varepsilon}, abbiamo la seguente catena di disuguaglianze:

 

\begin{align*}|a|&= |-a_n  +a + a_n |\le  &\quad \mbox{(abbiamo sommato e sottratto }a_n  )\\ &=|a -a_n|+ |a_n|\textless  &\quad \mbox{ (disuguaglianza triangolare)}\\ &\textless \varepsilon+|a_n|\textless \frac{|a|}{2}+|a_n|\end{align*}

 

Abbiamo mostrato che 

 

|a|\textless \frac{|a|}{2}+ |a_n|\implies |a_n|\textgreater \frac{|a|}{2}\quad \forall n\textgreater n_{\varepsilon}\mbox{ e }0\textless \varepsilon\textless \frac{|a|}{2} 

 

Passando ai reciproci:

 

\frac{1}{|a_n|}\textless \frac{2}{|a|}

 

Questa è una informazione che ci servirà tra poco, non dimentichiamocela...:)

 

Prendiamo in esame la quantità:

 

\begin{align*}\left|\frac{1}{a_n}-\frac{1}{a}\right|&= \left|\frac{a-a_n}{a a_n}\right|=\\&= \frac{|a-a_n|}{|a_n||a|}\textless\frac{2\varepsilon}{|a|^2 } \end{align*}

 

Questo conclude la dimostrazione. 

 

Nota: \frac{2\varepsilon}{|a|^2} è una quantità arbitrariamente piccola, non facciamoci fuorviare dalla presenza delle costanti. Wink

 

Teorema sul limite del quoziente

 

Siano (a_n)_{n\in\mathbb{N}}, (b_n)_{n\in\mathbb{N}} tali che:


1) b_n\ne 0\quad\forall n\in\mathbb{N}


2) \lim_{n\to\infty}a_n= a\in\mathbb{R} 


3) \lim_{n\to \infty}b_n= b\in\mathbb{R}\setminus\{0\}

 

allora:

 

\lim_{n\to \infty}\frac{a_n}{b_n}= \frac{a}{b}

 

Dimostrazione

 

La dimostrazione è praticamente immediata se vediamo il quoziente come:

 

\frac{a_n}{b_n}= a_n\cdot\frac{1}{b_n}

 

In questo modo possiamo far intervenire i  teoremi sul limite del prodotto e sul limite del reciproco.

 

 


 

Fine! Ti suggeriamo di leggere anche la lezione successiva, che si occupa dell'Algebra di infiniti e infinitesimi di successioniLaughing

 

Ifrit

 

Lezione precedente..........Esercizi correlati..........Lezione successiva


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