Successioni limitate e illimitate

In questa lezione parleremo delle successioni limitate e illimitate. Tendenzialmente questo argomento viene svolto abbastanza velocemente durante le lezioni universitarie e non è nemmeno molto complicato. Tornerà utilie nelle prossime lezioni, soprattutto in alcune dimostrazioni sui limiti.

 

Successione limitata superiormente 

 

Una successione reale (a_n)_{n\in\mathbb{N}} è limitata superiormente se e solo se esiste un numero reale M che sovrasta tutti i termini. Ciò si traduce formalmente in:


a_n\le M\quad\forall n\in\mathbb{N}

 

 

Esempi


1. Ogni successione costante è superiormente limitata.

 

2. La successione il cui termine n-esimo è a_n= \sin(n) è superiormente limitata. La costante  M è 1. 

 

3. La successione (a_n)_{n\in\mathbb{N}}=(\arctan(n))_{n\in\mathbb{N}} è superiormente limitata.

 

Mutatis mutandis otterremo la definizione di successione limitata inferiormente.


Successione limitata inferiormente 

 

Una successione reale (a_n)_{n\in\mathbb{N}} è limitata inferiormente se e solo se esiste un numero reale m che è più piccolo di tutti i termini della successione:

 

m\le a_n\quad\forall n\in\mathbb{N} 

 

Esempi


1. Ogni successione costante è inferiormente limitata.

 

2.  La successione il cui termine n-esimo è a_n= \sin(n) è inferiormente limitata. Una costante che funge da  m è -1.


3. (a_n)_{n\in\mathbb{N}}= (n^2+1)_{n\in\mathbb{N}} è inferiormente limitata. Basta prendere m=1.

 

Infine diamo la definizione di successione limitata, che comprende entrambi i casi appena visti.

 

Successione limitata

 

Una successione reale (a_n)_{n\in\mathbb{N}} è limitata se è sia limitata superiormente che inferiormente, cioè esistono m, M appartenenti ad R, tali che:

 

m\le a_n\le M\quad\forall n\in\mathbb{N}

 

o equivalentemente se esiste N numero reale positivo tale che:

 

|a_n|\le N\quad \forall n\in\mathbb{N} 

 

Esempi

 

1. Le successioni costanti sono limitate.

 

2. La successione (a_n)_n= (\sin(n))_n è limitata.

 

3. La successione (a_n)_{n}=(\arctan(n))_{n} è limitata.

 

Se una successione non è limitata allora diremo che è illimitata.

 

A proposito: avete notato le varie analogie con le nozioni di funzione limitata e funzione illimitata? :)

 

Tecniche per dimostrare la limitatezza di una successione

 

In realtà non esiste un unico metodo che ci permette di dimostrare la limitatezza, esistono accorgimenti, "barbatrucchi" ed è fondamentale conoscere  le proprietà delle funzioni elementari. Ci possiamo appoggiare alle funzioni reali, infatti abbiamo:

 

Primo criterio di limitatezza per le successioni

 

Data la funzione f:[0,+\infty)\longrightarrow\mathbb{R} reale limitata, allora la successione:

 

(a_n)_{n\in\mathbb{N}}= (f(n))_{n\in\mathbb{N}}

 

è limitata. Il criterio enunciato ha una generalizzazione:

 

Primo criterio di limitatezza generalizzato per le successioni

 

Data la funzione f:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R} reale limitata, ed una successione di numeri reali (a_n)_{n\in\mathbb{N}}. La successione

 

(b_n)_{n\in\mathbb{N}}=(f(a_n))_{n\in\mathbb{N}}

 

è limitata.

 

Secondo criterio di limitatezza per le successioni

 

Questo criterio si basa su un teorema molto importante. La dimostrazione non verrà riportata in questa sede per non appesantire la lettura.

 

Data una successione reale (a_n)_{n\in\mathbb{N}} se \lim_{n\to \infty}a_n= \ell\in\mathbb{R} allora la successione è limitata.

 

Attenzione: esistono successioni limitate che non ammettono limite, \left((-1)^n\right)_{n\in\mathbb{N}}, \left(\sin(n)\right)_{n\in\mathbb{N}} sono tra queste.

 

Terzo criterio di limitatezza per le successioni

 

a) La somma di due o più successioni limitate è limitata. 

 

b) Il prodotto di due o più successioni limitate è limitata.

 

 


 

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