Successioni monotone

Ci sono svariate proprietà che caratterizzano una successione numerica: del segno delle successioni

ne abbiamo già parlato nella precedente lezione, qui ci occupiamo di monotonia.  Probabilmente non è la prima volta che senti questo termine, lo hai già incontrato in occasione dello studio delle funzioni crescenti o decrescenti. E' importante avere a mente i corrispondenti concetti nel continuo perché interverranno anche nel contesto delle successioni, in modo del tutto analogo.

 

Successioni monotone crescenti e non decrescenti

 

Una successione (a_n)_{n\in\mathbb{N}} è monotona crescente se per ogni numero naturale n si ha che:

 

a_{n}\textless a_{n+1}

 

Al crescere di n otterremo valori sempre più grandi! 

 

Una successione (a_n)_{n\in\mathbb{N}} è monotona non decrescente se per ogni numero naturale n risulta

 

a_{n}\le a_{n+1}

 

Esempi di successioni monotone crescenti e non decrescenti


1) (a_n)_{n\in\mathbb{N}}= \left(n\right)_{n\in\mathbb{N}}

 

È chiaro che la successione è crescente infatti:

 

a_n=n\textless n+1=a_{n+1}\quad\forall n\in\mathbb{N}

  

2) (a_n)_{n\in\mathbb{N}}= \left(n!\right)_{n\in\mathbb{N}}

 

Per mostrare che la successione è monotona non decrescente dimostreremo che \frac{a_{n+1}}{a_n}\ge 1

 

\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{(n+1)!}{n!}=\frac{(n+1)n!}{n!}= n+1\ge 1\quad \forall n\in\mathbb{N}

 

Osserva che per n=0 abbiamo l'uguaglianza, quindi a_n\le a_{n+1} pertanto (n!)_{n\in\mathbb{N}} è una successione non decrescente

 

Questa tecnica per dimostrare la monotonia di una successione verrà spiegata nel particolare in seguito.

 

Successioni monotone decrescenti e non crescenti

 

In modo del tutto simile a quanto appena visto, ma opposto, si definiscono le successioni monotone decrescenti e successioni monotone non crescenti. Andiamo nel dettaglio:

 

Una successione (a_n)_{n\in\mathbb{N}} è monotona decrescente se:

 

a_{n}\textgreater a_{n+1}\quad\forall n\in\mathbb{N}

 

all'aumentare di n, i valori che restituiscono le sucessioni sono via via più piccoli.

 

Una successione (a_n)_{n\in\mathbb{N}} è monotona non crescente se:

 

a_{n}\ge a_{n+1}\quad\forall n\in\mathbb{N}

 

Esempi di successioni monotone decrescenti e non crescenti

 

1) (a_n)_{n\in\mathbb{N}}=(-n^2)_{n\in\mathbb{N}} è una successione decrescente infatti:

 

a_{n+1}-a_{n}=-(n+1)^2+ n^2= (-n-1+n)(n+1+n)=-(2n+1)\textless 0

 

In questo modo abbiamo dimostrato che la differenza a_{n+1}-a_{n}\textless 0 da cui segue che:

 

a_{n+1}\textless a_{n}\qaud \forall n\in\mathbb{N}

 

e per definizione è monotona decrescente.

 

2) (a_n)_{n\in\mathbb{N}} dove:

 

a_n=\begin{cases}1&\mbox{ se }1\le n\le 4\\ \frac{1}{n}&\mbox{ se }n\ge 5\end{cases}

 

Bisogna osservare che i primi quattro termini della successione sono 1. Per n maggiore o uguale a 5 si ha che:

 

\frac{1}{n}\textless 1\qquad\forall n\ge 5

 

Ora ragioniamo così: è evidente che 0\textless 1, sommando membro a membro per n:



n\textless n+1\quad \forall n\ge 5


passando ai reciproci e ricordandoci di cambiare il verso della disuguaglianza:

 

\frac{1}{n+1}\textless \frac{1}{n}\quad \forall n\ge 5 da cui:

 

a_{n+1}\textless a_n\quad \forall n\ge 5

 

tenendo a mente che i primi quattro termini della successione sono uguali allora:

 

a_{n+1}\le a_n\qquad \forall n\ge 1

 

Ne deduciamo dunque che la successione è non crescente.

 

Come studiare la monotonia di una successione?

 

Di seguito inseriremo alcune delle tecniche più comuni per dimostrare che una successione è monotona crescente. Usando opportunemente i simboli \textless ,\ \textgreater,\ \le ,\ \ge otterremo tutti i casi.

 

Primo metodo

 

Dalla disuguaglianza a_n\textless a_{n+1} segue a_{n+1}-a_n\textgreater 0.

 

In questo modo ci riconduciamo allo studio del segno della successione (b_n)_{n\in\mathbb{N}}:= (a_{n+1}-a_{n})_{n\in\mathbb{N}}

 

Secondo metodo

 

Se (a_n)_{n\in\mathbb{N}} una successione positiva allora dalla disequazione:

 

a_{n}\textless a_{n+1}\iff \frac{a_{n+1}}{a_n}\textgreater 1

 

Terzo metodo (studio della derivata prima)

 

Sia f: [0,+\infty)\longrightarrow \mathbb{R} una funzione reale di variabile reale, continua e derivabile con f'(x)\textgreater 0\quad\forall x\in (0, +\infty) allora la successione a_n= f(n) è crescente.

 

Teorema sulla monotonia di una successione

 

Un teorema che ci viene in soccorso per lo studio della monotonia di una successione è il seguente: se (a_n)_{n\in\mathbb{N}}, (b_n)_{n\in\mathbb{N}} sono due successioni crescenti, allora la successione somma

 

(a_n+b_n)_{n\in\mathbb{N}}

 

è una successione monotona crescente.

 

Questo teorema è utile quando la legge che descrive la successione è particolarmente complicata.

 

 


 

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Ifrit

 

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